实验设计基础专题讲座

实验设计基础课程安排第一讲：正交试验第二讲：方差分析(ANOVA)第三讲：正交试验的方差分析第四讲：稳健设计第五讲：可靠性设计第一讲：正交试验第一节：实验设计的意义及其发展过程第二节：正交试验、正交表及其用法第三节：混合水平的正交试验设计第四节：有交互作用的正交试验设计实验设计（DOE）DesignofExperiment为什么要进行试验设计？==>让我们先看两个例子例1:这里有27个球，其中有且只有一个球质量为9克,其它26个都为10克。给你一架天平，请找出重为9克的那个球。请问，你至少要称几次？例2:这里有9框球(每框100个)，其中有且只有一框里的球质量全为9克,其它8框里的球都为10克。给你一架天平，请找出里面的球重为9克的那个框。请问，你至少要称几次？实验设计DesignofExperiment为什么要进行试验设计？==>我们要进行试验设计！实验设计的意义:应用数理统计学的基本知识，讨论如何合理地安排试验、取得数据，然后进行综合科学分析，从而尽快获得最优组合方案。在工程学领域是改进制造过程性能的非常重要的手段。在开发新工序中亦有着广泛的应用。在工序开发的早期应用实验设计方法能得出以下成果：1.提高产量；2.减少变异性，与额定值或目标值更为一致；3.减少开发时间；4.减少总成本；第一节：实验设计的意义及其发展过程实驗設計在生產/制造過程中的位置：生產/制造過程可控制因素

不可控制因素

資產統計技術在在生生產/制造造過程中中的應用是是對過過程中輸入入的的變量量(人,机机,料,法法,環)進進行有目目的地优化化,使使輸出的的結果更加加理想.实驗設計是其中較為為有效的一一种工程工工具.通過實驗進行优化設設計通過實驗,控制其不不良的影響程度度第一节：进进行实验设设计的意义义及其发展展过程实验设计的的发展过程程:试验设计始于20世世纪20年年代，其发发展过程大大致可分为为三个阶段段：1.早期期的方差分分析法:20世纪纪20年代代由英国生生物统计学学家、数数学家费歇歇(R.A.Fisher)提出出的，开始始主要应用用于农业、、生物学、、遗传学方方面，取得得了丰硕成成果。二战战期间，英英、美采用用这种方法法在工业生生产中取得得显著效果果；2.传统统的正交试试验设计法法：以日本本的田口玄玄一为代表表；3.信噪噪比试验设设计与三阶阶段设计：：1957年，田口口玄一提出出信噪比设计法和产产品的三阶阶段设计法法。他把信信噪比设计计和正交表表设计、方方差分析相结结合，开辟辟了更为重重要、更为为广泛的应应用领域。。为什么要进进行正交试试验:在实际生产产中，影响响试验的因因素往往是是多方面的的，我们要要考察各因因素对试验影影响的情况况。在多因因素、多水水平试验中中，如果对对每个因素素的每个水平平都互相搭搭配进行全全面试验，，需要做的的试验次数数就会很多多.比如对3因因素7水平平的试验，，如果3因因素的各个个水平都互互相搭配进进行全面试验，，就要做73=343次次试验，对对6因素7水平，进进行全面试试验要做76=117649次试试验。这显显然是不经经济的。我们应当在在不影响试试验效果的的前提下，，尽可能地地减少试验验次数。正正交设计就是是解决这个个问题的有有效方法。。正交设计的的主要工具具是正交表表。第二节：正正交试验、、正交表及及其用法右图是一個比较典型的正交表.“L”表示此为正交表,“8”表示試驗次次數,“2”表示兩水平平,“7”表示試驗最最多可以有7個因因素(包括單個因素及其其交互作用).第二节：正正交试验、、正交表及及其用法正交表:正交表的表表示方法:一般的正交交表记为Ln(mk)，n是表表的行数，，也就是是要安排的的试验数;k是表中中的列数，，表示因素素的个数；；m是各各因素的水水平数；常见的正交交表:2水平的有有L4(23),L8(27),L12(211),L16(215)等；3水平的有有L9(34),L27(313)等；4水平的有有L15(45);5水平的有有L25(56);第二节：正正交试验、、正交表及及其用法正交表的两两条重要性性质:1)每列列中不同数数字出现的的次数是相相等的，如如L9(34)中，每列列中不同的的数字是1，，2，3，，它们各出出现3次；；第二节：正正交试验、、正交表及及其用法2)在任任意两列中中，将同一一行的两个个数字看成一一个有序数数对，则每每一数对出出现的次数数是相等的的，如L9(34)中有序数对对共有9个个:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),它它们各出现现一次。所以，用正正交表来安安排试验时时，各因素的各种种水平的搭搭配是均衡衡的，这是正交表表的优点。。例1：(单单指标的分分析方法)某炼铁厂为为提高铁水水温度，需需要通过试试验选择最最好的生产产方案经初步分析析，主要有有3个因素素影响铁水水温度，它它们是焦比比、风压和底焦高高度，每每个因素都都考虑3个水平，，具体情况况见表。问问对这3个因因素的3个个水平如何何安排，才才能获得最最高的铁水水温度?第二节：正正交试验、、正交表及及其用法解：如果每每个因素的的每个水平平都互相搭搭配着进行行全面试验验，必须做试验33=27次。。现在我们们使用L9(34)正交表来安安排试验。。第二节：正正交试验、、正交表及及其用法我们按选定定的9个试试验进行试试验，并将将每次试验验测得的铁铁水温度记录下来来：为了便于分分析计算，，我们把这这些温度值值和正交表表列在一起起组成一个新表。。另外，由由于铁水温温度数值较较大，我们们把每一个个铁水温度的值都都减去1350，得得到9个较较小的数，，这样使计计算简单。。第三节：正正交试验、、正交表及及其用法分析表第二节：正正交试验、、正交表及及其用法解释：K1这一行的3个数分别别是因素A,B,C的第1水平平所在的试试验中对应应的铁水温温度之和;K2这一行的3个数分别别是因素A,B,C的第2水平平所在的试试验中对应应的铁水温温度之和;K3这一行的3个数分别别是因素A,B,C的第3水平平所在的试试验中对应应的铁水温温度之和;k1,k2,k3这3行的3个数，，分别是K1,K2,K3这3行中的的3个数的的平均值；；极差是同一一列中，k1,k2,k33个数中的的最大者减减去最小者者所得的差差。极差越越大，说明这个因素素的水平改改变时对试试验指标的的影响越大大。极差最最大的那一一列，就是是那个因素的水平平改变时对对试验指标标的影响最最大，那个个因素就是是我们要考考虑的主要要因素.通过分析可可以得出：：各因素对对试验指标标(铁水温温度)的影影响按大小小次序应当当是C(底焦高度)A(焦比)B(风压)；最最好的方案案应当是C2A3B2。与此结果比比较接近的的是第9号试验验。为了最最终确确定上上面找找出的的试验验方案案是不不是最最好的的，可可以按按这个个方案案再试试验一一次，，并同第第9号号试验验相比比，取取效果果最佳佳的方方案。。第二节节：正正交试试验、、正交交表及及其用用法例2：：(多多指标标的分分析方方法----综综合合平衡衡法)为提高高某产产品质质量，，要对对生产产该产产品的的原料料进行行配方方试验验。要要检验3项指指标：：抗压压强度度、落落下强强度和和裂裂纹度度，前前2个个指标标越大大越好，，第3个指指标越越小越越好。。根据据以往往的经经验，，配方方中有有3个个重要因素素：水水分、、粒度度和碱碱度。。它们们各有有3个个水平平。试试进行行试验验分析，找找出最最好的的配方方方案案。第二节节：正正交试试验、、正交交表及及其用用法解：我我们选选用正正交表表L9(34)来安排排试验验。第三节节：正正交试试验、、正交交表及及其用用法A水分分B粒度度C碱度度k3k3k3k3k3k3k3k3k3k1k1k1k1k1k1k1k1k1k2k2k2分析：：1)粒粒度度B对抗压压强度度和落落下强强度来来讲，，极差差都是是最大大的，，说明明它是是影响最大大的因因素，，而且且以取取8为为最好好；对对裂纹纹度来来讲，，粒度度的极极差不不是最大大，不不是影影响最最大的的因素素，而而且也也以取取8为为最好好；2)碱碱度度C对三个个指标标的极极差都都不是是最大大的，，是次次要的的因素素。对对抗压压强度和和裂纹纹度来来讲，，碱度度取1.1最好好；对对落下下强度度，取取1.3最最好，，但取取1.1也不不是太太差，，综合合考虑虑碱度度取1.1；3)水水分分A对裂纹纹度来来讲是是最大大的因因素，，以取取9为为最好好；但但对抗抗压强强度和落下下强度度来讲讲，水水分的的极差差都是是最小小的，，是影影响最最小的的因素素。综综合考虑虑水分分取9；最后较较好的的试验验方案案是B3C1A2第二节节：正正交试试验、、正交交表及及其用用法例3：：(多多指标标的分分析方方法----综综合合评分分法)某厂生生产一一种化化工产产品，，需要要检验验两下下指标标：核核酸统统一纯纯度和和回收率率，这这两个个指标标都是是越大大越好好。有有影响响的因因素有有4个个，各各有3个个水平平。试试通过过试验验分析析找出出较好好的方方案解：这这是4因素素3水水平的的试验验，可可以选选用正正交表表L9(34)。试验结结果如表表。第二节节：正正交试试验、、正交交表及及其用用法第二节节：正正交试试验、、正交交表及及其用用法总分=4x纯度+1x回收率率分析：：1)根根据据综合合评分分的结结果，，直观观上第第1号号试验验的分分数最最高，，应进进一步步分析它是是不是是最好好的试试验方方案；；2)通通过过直观观分析析法可可以得得知，，最好好的试试验方方案是是A1B3C2D1。A，，D两个因因素的的极差差都很很大，，是对对试验验影响响较大大的两两个因因素；；3)分分析析出来来的最最好方方案，，在已已经做做过的的9个个试验验中是是没有有的。。可以以按这个个方案案再试试验一一次，，看能能不能能得出出比第第一号号试验验更好好的结结果，，从而确确定出出真正正最好好的试试验方方案；；综合评评分法法是将将多指指标的的问题题，通通过加加权计计算总总分的的方法法化成成一个个指标的的问题题，使使对结结果的的分析析计算算都比比较方方便、、简单单。第二节节：正正交试试验、、正交交表及及其用用法利用正正交表表进行行试验验的步步骤：：1)明明确确试验验目的的，确确定要要考核核的试试验指指标；；2)根根据据试验验目的的，确确定要要考察察的因因素和和各因因素的的水平平；要要通过过对实际际问题题的具具体分分析选选出主主要因因素，，略去去次要要因素素；3)选选用用合适适的正正交表表，安安排试试验计计划；；4)根根据据安排排的计计划进进行试试验，，测定定各试试验指指标；；5)对对试试验结结果进进行计计算分分析，，得出出合理理的结结论；；6)若若最佳佳组合合方案案在试试验中中未出出现，，如果果条件件允许许，应应安排排一次次验证证试验验，进进行确确认。。第二节节：正正交试试验、、正交交表及及其用用法混合水水平正正交表表及其其用法法:混合水水平正正交表表就是是各因因素的的水平平数不不完全全相等等的正正交表表。譬譬如：：L8(41x24)就是一一种混混合水水平的的正交交表。。第三节节：混混合水水平的的正交交试验验设计计例4：：(直直接利利用混混合水水平正正交表表)某农科科站进进行品品种试试验，，共有有4个个因素素：A(品种)、B(氮肥量量)、、C(氮、磷磷、钾钾比例例)、、D(规格)。因因素A是4水水平的的，另另外3个因因素是2水水平的的。试试验指指标是是产量量，数数值越越大越越好。。第三节节：混混合水水平的的正交交试验验设计计解：分分析结结果见见下表表。第三节节：混混合水水平的的正交交试验验设计计例5：：(拟拟水平平法)今有一一试验验，试试验指指标只只有一一个，，它的的数值值越小小越好好，这这个试试验有4个因因素，，其中中因素素C是2水水平的的，其其余3个因因素都都是3水平平的，试试安排排试验验。解：我我们从从第1、第第2两两个水水平中中选一一个水水平让让它重重复一一次作作为第3水水平，，这就就叫虚虚拟水水平。。一般般应根根据实实际经经验，，选取取一个个较好的的水平平。第三节节：混混合水水平的的正交交试验验设计计分析结结果见见下表表。第三节节：混混合水水平的的正交交试验验设计计总结：：拟水平平法是是将水水平少少的因因素归归入水水平数数多的的正交交表中中的一一种处处理问题题的方方法。。在没没有合合适的的混合合水平平的正正交表表可用用时，，拟水水平法是是一种种比较较好的的处理理多因因素混混合水水平试试验的的方法法。它它不仅仅可以对对一个个因素素虚拟拟水平平，也也可以以对多多个因因素虚虚拟水水平。。第三节节：混混合水水平的的正交交试验验设计计什么是是交互互作用用：在多因因素试试验中中，各各因素素不仅仅各自自独立立地在在起作作用，，而且且各因因素还经经常联联合起起来起起作用用。也也就是是说，，不仅仅各个个因素素的水水平改改变时对对试验验指标标有影影响，，而且且各因因素的的联合合搭配配对试试验指指标也也有影响响。这这后一一种影影响就就叫做做因素素的交交互作作用。。因素素A和因素素B的交互互作用用记为为AXB.第四节节：有有交互互作用用的正正交试试验设设计单个因子的影响与其交互作作用的影响比較30m50Kg磷25m50Kg钾20kg磷30kg钾40m交互作作用=总效果-(20kg磷的效效果+30kg钾的效果果)交互作作用表表（以正交交表L8(27)为例））：用正交交表安安排有有交互互作用用的试试验时时，我我们把把两个个因素素的交交互作作用当成成一个个新的的因素素来看看，让让它占占有一一列，，叫交交互作作用列列。第四节节：有有交互互作用用的正正交试试验设设计例6：：(水水平数数相同同)我们用用一个个3因因素2水平平的有有交互互作用用的例例子来来说明明某产品品的产产量取取决于于3个个因素素A，B，C，每个因因素都都有两两个水水平。每每两个个因素素之间间都有有交互互作用用，试试验指指标为为产量量，越越高越好。。具体体如下下：第四节节：有有交互互作用用的正正交试试验设设计解：这这是3因素素2水水平的的试验验。3个因因素A,B,C要占3列，，它们们之间的交交互作作用AxB,BxC,AxC又又占3列。。可用用正交交表L8(27).第四节节：有有交互互作用用的正正交试试验设设计分析：：从极差差大小小看，，影响响最大大的因因素是是C，以2水水平为为好；；其次次是AxB，以2水水平为为好，，第3是因因素A，以1水水平为为好，，第4是因因素B以1水水平为为好。。列出A和B进行组组合的的几种种效果果表：：从此表表可知知，A和B的最佳佳组合合为A1B2。AxC和和BxC的的极差很很小，对对试验的的影响很很小，忽忽略不计计。综合合分析，最最好的方方案应是是A1B2C2，这与试验4相吻合合。第四节：：有交互互作用的的正交试试验设计计作业业要要求求1.按按照正交交试验(直观分分析法)的原理理，解决决你实际工作中中的一个个问题，，并总结结成实验验分析报报告。2.补补充作业业(另附附)第一节：：问题的的提出第二节：：单因素素试验的的方差分分析第三节：：双因素素试验的的方差分分析第二讲：：方差分分析（ANOVA）第一节：：问题的的提出先看一个个例子：：考察温度度对某一一化工厂厂产品的的得率的的影响，，选了五五种不同同的温度度，同一温度度做了三三次试验验，测得得结果如如下：要分析温温度的变变化对得得率的影影响总平均得得率=89.6%第一节：：问题的的提出从平均得得率来看看，温度度对得率率的影响响?1)同一温度度下得率率并不完完全一样样，产生生这种差差异的原原因是由由于试验验过程中中各种偶偶然性因因素的干干扰及测测量误差差等所致致，这一一类误差差统称为为试验误误差；2)两种温温度的得得率在不不同的试试验中的的倾向有有所差别别。如65oC与70oC相比较，，第一次次65oC比70oC好，而后后二次70oC比65oC好。产生这种种矛盾的的现象也也是由于于试验误误差的干干扰。由于试验验误差的的存在，，对于不不同温度度下得率率的差异异自然要要提出疑疑问，这这差异是是试验误误差造成成的，还还是温度度的影响响呢?第一节：：问题的的提出1)由由于温度度的不同同引起得得率的差差异叫做做条件变变差；例中的全全部15个数据，，参差不不齐，它它们的差差异叫做做总变差差(或总离差差)。产生总总变差的的原因一一是试验验误差，，一是条条件变差差。2)方方差分析析解决这这类问题题的思想想是：a.由由数据的的总变差差中分出出试验误误差和条条件变差差，并赋赋予它们们的数量量表示；；b.用用条件变变差和试试验误差差在一定定意义下下进行比比较，如如两者相相差不大大，说明明条件的的变化对对指标影影响不大大；反之之，则说说明条件件的变化化影响是是很大的的，不可可忽视；；c.选选择较较好的工工艺条件件或确定定进一步步试验的的方向；；第一节：：问题的的提出变差的数数量表示示：有n个参差不不齐的数数据x1,x2,…,xn,它们之间间的差异异称为变变差。如何给变变差一个个数量表表示呢?1)一一个最直直观的想想法是用用这n个个数中最最大值与与最小值值之差，，即极差差来表达达，用R记之；；2)变变差平方方和，以以S记之之。S是每个个数据离离平均值值有多远远的一个个测度，，它越大大表示数数据间的的差异越越大。其中第一节：：问题的的提出对变差平平方和的的进一步步讨论：：例：测得得某高炉炉的六炉炉铁水含含碳量为为:4.59，4.44，，4.53，4.52，4.72，4.55，求其变变差平方方和。第一节：：问题的的提出对变差平平方和的的进一步步讨论(2)：：我们看到到S的计算是是比较麻麻烦的，，原因是是计算x时有效效位数增增加了因而计算算平方时时工作量量就大大大增加。。另外，，在计算算x时由由于除不不尽而四舍舍五入，，在计算算S时，累计计误差较较大。为为此常用用以下公公式:对于前面面的例子子第一节：：问题的的提出自由度的的提出：：例2：在在上例的的基础上上在同样样的工艺艺条件下下又测了了四炉铁铁水，它它们是：4.60,4.42,4.68,4.54,加加上原来来的六炉炉共十炉炉，求其其变方和。第一节：：问题的的提出自由度的的提出(2)：：平均数与与过去的的结果是是相近的的，但平平方和是是显著地地变大了了。我们们要设法消消除数据据个数的的多少给给平方和和带来的的影响。。一个直观观的想法法是用平平方和除除以相应应的项数数，但从从数学理理论上推推知这不是是一个最最好的办办法，而而应把项项数加以以修正，，这个修修正的数数就叫做自自由度。。第一节：：问题的的提出自由度的的提出(3)：：设有n个个数y1,y2,…,yn,它们们的平方方和的的自由度度是多少呢?这这就看看{yi}之间间有没有有线性约约束关系系，如果果有m个个(0<m<n)线性约束束方程a11y1+a12y2+…+a1nyn=0a21y1+a22y2+…+a2nyn=0…am1y1+am2y2+…+amnyn=0并且这m个方程程相互独独立，即即方程系系数矩阵阵的秩等等于m,则S的自由度是n-m.第一节：：问题的的提出自由度的的提出(4)：：根据这个个定义，，如令yi=xi-x(i=1,2,……,n)则显然{yi}之间有有一个线线性约束束关系，，即即m=1,a11=a12=…=a1n=1所以变差差平方和和的自由由度=n-m=n-1第一节：：问题的的提出均方的概概念：平均平方方和(简简称均方方)等于于变差平平方和除除以相应应的自由由度f.平均平方方和以MS表示示，它的开方方叫做均均方差对例1、MS=0.043483/5=0.0086966,均方方差为0.09326对例2、、MS=0.07949/9=0.0088322，，均方差差为0.09398我们看到到六炉和和十炉的的MS是是很相近近的，这这与工艺艺条件相相同是吻吻合的，说说明用MS反映映波动的的大小是是更为合合理的。。假设：单因素A有a个水平A1，A2,………,Aa，在水平平Ai(i=1,2,………,a)下，进行行ni次独立试试验，得得到试验验指标的的观察值值列于下下表：我们假定定在各个个水平Ai下的样本本来自具具有相同同方差σσ2，均值分分别为μμi的正态总体Xi~N(μi,σ2)，其中μμi,σ2均为未知知，并且且不同水水平Ai下的样本本之间相互独立立。第二节：：单因素素试验的的方差分分析总离差平平方和的的分解:记在水平平Ai下的样本本均值为为样本数据据的总平平均值为为总离差平平方和为为将ST改写并分分解得第二节：：单因素素试验的的方差分分析总离差平平方和的的分解(2):上面展开开式中的的第三项项为0若记SA=SE=则有：ST=SA+SEST表示全部部试验数数据与总总平均值值之间的的差异SA表示在Ai水平下的的样本均均值与总总平均值值之间的的差异,是组组间差SE表示在Ai水平下的的样本均均值与样样本值之之间的差差异,是是组内内差，它是由随随机误差差引起的的。第二节：：单因素素试验的的方差分分析自由度的的概念:在实际计计算中，，我们发发现在同同样的波波动程度度下，数数据多的的平方和和要大于数据据少的平平方和，，因此仅仅用平方方和来反反映波动动的大小小还是不不够的。我们们要设法法消去数数据个数数的多少少给平方方和带来来的影响响。为此此引入了自由由度的概概念。一一个直观观的想法法是用平平方和除除以相应应的项数数，但应把项项数加以以修正，，这个修修正的数数就叫自自由度。。ST的自由度度为(n-1);SA的自由度度为(a-1);SE的自由度度为(n-a);均方:MSA=SA/(a-1);MSE=SE/(n-a)第二节：：单因素素试验的的方差分分析F检验法：：统计量F=MSA/MSE~F(a-1,n-a)，对于给出出的α，查出Fα(a-1,n-a)的值，由由样本本计算出出SA和SE，从而算出出F值。从而而有如下下判断：：若F>Fα(a-1,n-a)，则说明试试验条件件的变化化对试验验结果有有显著影影响；若F<Fα(a-1,n-a)，则说明试试验条件件的变化化对试验验结果无无显著影影响；为了方便便计算，，我们采采用下面面的简便便计算公公式：记i=1,2,………,a,则有第二节：：单因素素试验的的方差分分析方差分析析表:第二节：：单因素素试验的的方差分分析例1：(单因素素的方差差分析)人造纤维维的抗拉拉强度是是否受掺掺入其中中的棉花花的百分分比的影影响是有疑问的的。现确确定棉花花百分比比的5个个水平:15%,20%,25%,30%,35%。。每个水平平中测5个抗拉拉强度的的值，列列于下表表。问：：抗拉强度度是否受受掺入棉棉花百分分比的影影响(α＝0.01)?第二节：：单因素素试验的的方差分分析解:a=5,ni=5(i=1,2,………,5),n=25ST,SA,SE的自由度度分别为为24，，4，20第二节：：单因素素试验的的方差分分析解(2):已给出α=0.01，查表得Fα(a-1,n-a)=F0.01(4,20)=4.43这里F=14.76>4.43=F0.01(4,20)说明棉花花的百分分比对人人造纤维维的抗拉拉强度有有影响。。第二节：：单因素素试验的的方差分分析无交互作作用的方方差分析析:设两因素素A，B，，A有a个水平平A1，A2,………,Aa，B有b个水平平，B1，B2,………,Bb,在在每一个个组合水水平(Ai,Bj)下，进行行一次无无重复试试验，得得到试验验指标的的观察值值列于下下表：设Xij~N(μij,σ2)，各xij相互独立立。第三节：：双因素素试验的的方差分分析总离差平平方和的的分解:记在水平Ai下的样本均值值为记在水平Bj下的样本均值值为样本数据的总总平均值为总离差平方和和为将ST改写并分解得得记为ST=SA(效应平方和)+SB(效应平方和)+SE(误差平方和)第三节：双因因素试验的方方差分析自由度:ST的自由度为(ab-1);SA的自由度为(a-1);SB的自由度为(b-1);SE的自由度为(a-1)(b-1);均方:第三节：双因因素试验的方方差分析F检验法:统计量对于给出的α，查出Fα(a-1,(a-1)(b-1)),Fα(b-1,(a-1)(b-1))的值，由样本本计算出F1,F2值。从而有如如下判断：若F1>Fα(a-1,(a-1)(b-1))，则说明因素A的变化对试验验结果有显著著影响；若F2>Fα(b-1,(a-1)(b-1))，则说明因素B的变化对试验验结果有显著著影响；为了方便计算算，我们采用用下面的简便便计算公式：：第三节：双因因素试验的方方差分析方差分析表:第三节：双因因素试验的方方差分析例2：(双因因素无交互作作用的方差分分析)使用4种燃料料，3种推进进器作火箭射射程试验，每每一种组合情情况做一次试验，，则得火箭射射程列在表中中，试分析各各种燃料(Ai)与各种推进器(Bj)对火箭射程有有无显著影响响(α=0.05)第三节：双因因素试验的方方差分析解:这里a=4,b=3,ab=12第三节：双因因素试验的方方差分析解(2):给出的α=0.05,查出F0.05(3,6)=4.76,F0.05(2,6)=5.14因为F1=0.43<4.76,F2=0.92<5.14故不同的燃料料、不同的推推进器对火箭箭射程均无显显著影响。第三节：双因因素试验的方方差分析有交互作用的的方差分析(分析过程略略):自由度:ST的自由度为(abn-1);（n为重复试验次次数）SA的自由度为(a-1);SB的自由度为(b-1);SAxB的自由度为(a-1)(b-1):SE的自由度为ab(n-1);均方:第三节：双因因素试验的方方差分析有交互作用的的方差分析(2):简化公式第三节：双因因素试验的方方差分析有交互作用的的方差分析(3):方差分析表第三节：双因因素试验的方方差分析第一节：正交交设计方差分分析的步骤第二节：3水水平正交设计计的方差分析析第三节：混合合型正交设计计的方差分析析第四节：拟水水平法的方差差分析第五节：重复复试验的方差差分析第三讲：正交交试验的方差差分析计算离差的平平方和:设用正交表安安排m个因素素的试验，试试验总次数为为n,试验验的结果分别别为x1,x2,……,xn.假定每个个因素有na个水平，每个个水平做a次次试验，则n=ana.1)总离差差的平方和ST记记为其其中ST反映了试验结结果的总差异异，它越大，，说明各次试试验的结果之之间的差异越大。试试验结果之所所以有差异，，一是由因素素水平的变化化所引起的，二是因为为有试验误差差。第一节：正正交设计方差差分析的步骤骤2)各因素素离差的平方方和下面以计算因因素A的离差差的平方和SA为例来说明。。设因素A安安排在正交表的某列，，可看作单因因素试验。用用xij表示因素A的的第i个水平平的第j个试验的结果(i=1,2,……,na;j=1,2,…,a)，则有由单因素的方方差分析记为其其中Ki表示因素的第第i个水平平a次试验结结果的和。SA反映了因素A的水平变化化时所引起的的试验结果的的差异，即因因素A对试验结果的影影响。用同样样的方法可以以计算其它因因素的离差平平方和。对于两因素的交交互作用，我我们把它当作作一个新的因因素。如果交交互作用占两列，则交互互作用的离差差的平方和等等于这两列的的离差的平方方和之和。比如SAxB=S(AxB)1+S(AxB)2第一节：正正交设计方差差分析的步骤骤3)试验误误差的离差的的平方和SE设S因+交为所有因素以以及要考虑的的交互作用的的离差的平方方和，因为ST=S因+交+SE,所以SE=ST-S因+交计算自由度:试验的总自由由度f总=试验总次次数-1=n-1各因素的自由由度f因=因素的水水平数-1=na-1两因素交互作作用的自由度度等于两因素素的自由度之之积fAxB=fAXfB试验误差的自自由度fE=f总-f因+交第一节：正正交设计方差差分析的步骤骤计算平均离差差平方和(均方):在计算各因素素离差平方和和时，我们知知道，它们都都是若干项平平方的和,它们的大小与与项数有关，，因此不能确确切反映各因因素的情况。。为了消除项数的影响响，我们计算算它们的平均均离差的平方方和。因素的平均离离差平方和=(因素素离差的平方方和)/因素素的自由度=S因/f因试验误差的平平均离差平方方和=(试验误误差的离差的的平方和)/试验误差的的自由度=SE/fE求F比:将各因素的平平均离差的平平方和与误差差的平均离差差平方和相比比，得出F值。这个比值值的大小反映映了各因素对对试验结果影影响程度的大大小。第一节：正正交设计方差差分析的步骤骤对因素进行显显著性检验:给出检验水平平α，从F分分布表中查出出临界值Fα(f因，fE)。将在“求求F比”中算出的的F值与该临临界值比较，，若F>Fα(f因，fE)，说明该因因素对试验结果的影影响显著，两两数差别越大大，说明该因因素的显著性性越大。第一节：正正交设计方差差分析的步骤骤第二节：3水平正交设设计的方差分分析例1(无交互作用用):磁鼓电机是彩彩色录像机磁磁鼓组件的关关键部件之一一，按质量要要求其输出力矩应大于于210g.cm。某生生产厂过去这这项指标的合合格率较低，，从而希望通过试试验找出好的的条件，以提提高磁鼓电机机的输出力矩矩。根据工程技术人员员的经验，取取试验因素和和相应水平如如下表：第二节：3水平正交设设计的方差分分析解：(选用正交交表L9(34)表头设计：试验计划与试试验结果：第二节：3水平正交设设计的方差分分析详细计算如下下：第二节：3水平正交设设计的方差分分析列方差分析表表如下：最佳条件的选选择：对显著因子应应取最好的水水平，对不显著因子子的水平可以以任意选取；在实际中通常常从降低成本本操作方便等等角度加以选选择，上面的例子中中对因子A与与B应选择A2B2，因子C可以以任选，譬如如为节约材料料可选择C1第二节：3水平正交设设计的方差分分析验证试验：对A2B2C1进行三次试试验，结果果为：234，240，220，平均均值为231.3.此此结果是满满意的例2(有交互互作用):为提高某产产品的产量量，需要考考虑3个因因素：反应应温度、反反应压力和和溶液浓度。每每个因素都都取3个水水平，具体体数值见表表。考虑因因素之间的的所有一级交互互作用，试试进行方差差分析，找找出最好的的工艺条件件。第二节：3水平正正交设计的的方差分析析解：(选用正正交表L27(313)根据前面的的公式作如如下计算：：第二节：3水平正正交设计的的方差分析析由此得出类似地最后计算总总平方和，，得出第二节：3水平正正交设计的的方差分析析用公式计算算自由度：：再用公式计计算平均离离差的平方方和，然后后计算F值值，再与F分布表中中查出的相应的的临界值Fα(f因，fE)比较，判判断各因素素显著性的的大小。通常，若F>F0.01(f因，fE)，就称该该因素是高高度显著的的，用两个个星号表示；若F<F0.01(f因，fE)，但F>F0.05(f因，fE)，则称该该因素的影影响是显著的，用一一个星号表表示；若F<F0.05(f因，fE)，就称该该因素的影影响是不显著的，不不用星号表表示。第二节：3水平正正交设计的的方差分析析方差分析表表：因为SAXC和SBXC都很小，和和误差项合合并，作为为误差项。。通过F值值与临界值比比较看出，，因素A,B,C和和交互作用用AXB对对试验的影影响都是显显著的，从F值的大小小看，因素素C最显著著，以下依依次为A，，B，AXB第二节：3水平正正交设计的的方差分析析方差分析(2)：由于这里的的试验指标标是产品的的产量，越越大越好，，所以最优优方案应取取各因素中K的最大值所所对应的水水平。因素素A应取第1水水平，因素素B应取第3水平，，因素C应取第3水水平。交互互作用AXB也是显著的的，但由于AXB占两列，直直观分析法法有些困难难，因此把把A和B的各种组合合的试验结果对照照起来分析析。从表中看出出，当A取第1水平平、B取第3水平平时，试验验结果为13.17，是所有结果果中的最大大值，因此此取A1B3。于是，最最优方案就就取A1B3C3.第二节：3水平正正交设计的的方差分析析混合型正交交设计的方方差分析，，本质上与与一般水平平数相等正正交设计的的方差分析相相同，只要要在计算时时注意到各各水平数的的差别就行行了。现以L8(4X24)混合型正正交表为例例：总离差平方方和为因素偏差平平方和有两两种情况：：2水平因素素：4水平因素素：第三节：混混合型正交交设计的方方差分析例4:某钢厂生产产一种合金金，为便于于校直冷拉拉，需要进进行一次退退火热处理理,以降低合金金的硬度。。根据冷加加工变形量量，在该合合金技术要要求范围内内,硬度越低越越好。试验验的目的是是寻求降低低硬度的退退火工艺参参数。考察察的指标是洛洛氏硬度(HR)，，经分析研研究，要考考虑的因素素有3个：：退火温度A，保保温时间B，冷却介介质C。第三节：混混合型正交交设计的方方差分析解：第三节：混混合型正交交设计的方方差分析方差分析表表：从F值和临临界值的比比较看出，，各因素均均无显著影影响，相对对来说，B的影响大些。。为提高分分析精度，，我们只考考虑因素B，把因素素A，C都都并入误差。这这样一来，，SE就变成SA+SC+S4+S5=0.445+0.18+1.125+0.500=2.250，再列方方差分析表表。第三节：混混合型正交交设计的方方差分析方差分析表表(2)：：临界值F0.05(1，6)=5.99,F0.01(1,6)=13.75从F值和临临界值的比比较来看，，因素B就就是显著性性因素了。。因素影响从从大到小的的顺序为BCA，选选定的最优优方案应为为A2B2C1第三节：混混合型正交交设计的方方差分析例5:钢片在镀锌锌前要用酸酸洗的方法法除锈。为为了提高除除锈效率，，缩短酸洗洗时间，先安安排酸洗试试验。考察察指标是酸酸洗时间。。在除锈效效果达到要要求的情况下下，酸洗时时间越短越越好。要考考虑的因素素及其水平平如表：选取正交表表L9(34)，将因素素C虚拟1个水平。。据经验知知，海鸥牌牌比OP牌的的效果好好，故虚虚拟第2水平并并安排在在第1列列。第四节：：拟水平平法的方方差分析析解：虚拟水平平的因素素C的第第1水平平重复3次，第第二水平平重复6次。因因此，离离差平方和和为：其余因素素的离差差平方和和为误差的离离差平方方和为：：第四节：：拟水平平法的方方差分析析方差分析析表：从F值和和临界值值比较看看出，各各因素均均无显著著影响，，相对来来说，因因素D的影响大大些。我我们把影影响最小小的因素素B并入入误差，，使得新新的误差差平方和为SE‘=SE+SB，再列方方差分析析表第四节：：拟水平平法的方方差分析析方差分析析表(2)：由此看出出，因素素D有显显著影响响，因素素A，B均无显显著影响响。因素素重要性的顺序序为DCAB，，最优方方案为A3B1C2D3.第四节：：拟水平平法的方方差分析析第一节：：稳健性性和稳健健设计第二节：：产品的的三阶段段设计第三节：信信噪比第四讲：稳稳健设计稳健性：稳健性(robustness),也也叫鲁棒棒性，是指指因素状况况发生微小小变差对因因变量影响响的不敏感感性。换句句话说，产产品性能与与某个因素素有关，因因素状态变变化时，产产品的性能能也随之变变化。如果果因素状态态的变化对对产品性能能的影响不不大，我们们就说产品品性能对该该因素的变变化是不敏敏感的，又又称是稳健健性的，或或说产品性性能对该因因素的变化化具有稳健健性。如使产品性性能对所用用材质变差差不灵敏，，就能在一一些情况下下使用较低低廉的或低等等级的材料料；使产品品对制造尺尺寸变差不不灵敏，可可以提高产产品的可制造造性、降低低制造费用用；使产品品对使用环环境变化不不灵敏，就就能保证产品品使用的可可靠性和降降低操作费费用；第一节：稳稳健性和稳稳健设计稳健设计：：在实际问题题中存在不不少误差因因素，它们们影响着产产品质量。。对这些误误差因素可以以采取两种种办法：1)消除除这些因素素:实际上往往往很难做到到，有的情情况下，即即使能做到到,也要花费很很大力气和和很高的费费用，这是是不值得的的；2)尽量量降低误差差因素的作作用，使产产品性能因因误差因素素变化而变变化的敏感性最小小。根据这这种指导思思想，对产产品的性能能、质量和和成本综合合考虑，选择择出最佳设设计，既提提高了产品品质量，又又降低了成成本，这种种设计方法叫叫做稳健设设计；稳健设计是是一种最优优化设计方方法，它的的两个主要要工具是信信噪比和正正交表，用信信噪比作为为特征数衡衡量质量，，用正交表表安排试验验。第一节：稳稳健性和稳稳健设计何谓三阶段段设计：三阶段设计计就是在专专业设计的的基础上，，用正交设设计方法选选择最佳参参数组合和最最合理的容容差范围，，尽量用价价格低廉的的、低等级级的零部件件来组装整机机的优化设设计方法。。三阶段设计计由以下三三个阶段组组成：1)系统统设计(systemdesign)2)参数设计(parameterdesign)3)容差设计(tolerancedesign)系统设计的的设计质量量由设计人人员的专业业技术水平平和应用这这些专业知知识的能力所所决定。三三阶段设计计的重点是是参数设计计和容差设设计。第二节：产产品的三阶阶段设计参数设计：：在系统设计计的基础上上，对影响响产品输出出特性值的的各项参数数及其水平平，运用DOE方法，找出出使输出特特性值波动动最小的最最佳参数水水平组合的的一种优化化设计方法法。根据实践经经验，零部部件、元器器件全部采采用优质品品，装出的的整机不一一定就是优质质品，这是是因为整机机质量不仅仅与元器件件、零部件件本身的质质量有关，更更主要的是是取决于参参数水平的的组合。参参数设计就就是要找出出参数水平的的最佳组合合，它是设设计的重要要阶段、核核心阶段。。参数设计所所用的主要要方法就是是正交设计计法。具体体步骤如下下：1)分析析、明确问问题的要求求，选择出出因素及水水平；2)选择择正交表，，按表头设设计确定试试验方案；；3)具体体进行试验验，测出需需要的特性性值；4)进行行数据分析析；5)确定最最佳方案；；第二节：产产品的三阶阶段设计容差设计：：容差设计又又叫公差设设计，是在在参数设计计完成之后后再进行的的一种设计计.容差设计是是对产品质质量和成本本(包括市市场情况)进行综合合考虑，通通过试验设计方法法找出各因因素重要性性的大小，，据此给予予各参数更更合理的容容差范围。在容差设计计中，为减减少用户的的损失，需需要计算质质量损失，，以便对容容差设计方案案的优劣进进行评价。。第二节：产产品的三阶阶段设计容差设计的的步骤：1)针对对参数设计计所确定的的最佳参数数水平组合合，根据专专业知识设设想出可以选用的的低廉的元元器件进行行试验设计计和计算分分析；2)为简简化计算，，通常都选选取和参数数设计中相相同的因素素为误差因因素，3)选取取正交表，，安排误差差因素，进进行试验，，测出误差差值；4)方差差分析：为为研究误差差因素的影影响，对测测出的误差差值进行方方差分析；5)容差差设计：根根据方差分分析的结果果对各因素素选用合适适的元件。。A.影响响不显著的的因素，可可选用低等等级。低价价格的元件件；B.对影影响显著的的因素要综综合考虑；；总之要使使质量损失失最小，成成本尽可能低，按这这个原则确定定各因素的容容限。第二节：产品品的三阶段设设计信噪比的概念念：信噪比的概念念首先是在无无线电通信中中提出来的。。接收机输出出功率可分成两部分：：信号功率和和噪声功率。。理论上和实实践中经常要要考虑信号功率与噪声声功率的比值值，这个比值值就叫做信噪噪比，通常用用η表示η=信号功功率/噪声功功率=S/N在试验设计中中采用信噪比比是田口玄一一于1957年提出来的的。譬如在测测量中经常把(μ2/σ2)作为信噪比比，这里μ是是质量特征值值的平均值，，σ是样本方差。。为使用方便，，通常把这些些量取常用对对数再放大10倍作为信信噪比，仍记为η，但这这时的单位是是分贝(dB)，把η说说成为信噪比比的分贝值。。譬如信噪比这个量量，通常都是是越大越好。。第三节：信噪噪比及其应用用第一节：可靠靠性和可靠度度概念第二节：故障障的统计分布布函数第三节：可靠靠度的计算第四节：可靠靠度函数与故故障率第五节：可靠靠性设计第六节：可靠靠性试验第五讲：可靠靠性设计第一节：可靠靠性和可靠度度概念产品的质量指指标可分为两两类:性能指标------产产品完成规定定功能所需要要的指标例如：电视机机的图象、彩彩色、音质、、选择性能等等可靠性指标------产品性能随随时间的保持持能力例如：电视机机的平均寿命命元器件的失效效率100台计算算机开始工作作仍仍有95台在工作t=0t=1000第一节：可靠靠性和可靠度度概念可靠性:产品在规定条条件下和规定定的时间内完完成规定功能能的能力，称称为产品的可靠性。(可靠性的概概率度量称为为可靠度。)规定的条件：：常指使用条件件、维护条件件、环境条件件和操作技术术等。不同条件下，，产品的可靠靠性不同；规定的条件是是比较可靠性性高低的条件件；规定的时间：：这是可靠性的的核心，不谈谈论时间就无无可靠性可言言，可靠性是关于时时间的质量。。例如：火箭发发射系统，只只要在十分钟钟内把火箭送送上轨道即可可；海底电缆，要要求在几十年年内可靠；家用电器，有有几万小时可可靠，顾客也也就满意了。。第一节：可靠靠性和可靠度度概念可靠度:是指元器器件、设设备或系系统在给给定条件件下和规规定的时时间内完完成规定定功能的的概率。。1)工工作可靠靠度Ro(OperationalReliability):这这是实际际使用时时，机器器的可靠靠度。2)固固有可靠靠度Ri(InherentReliability):这这是产品品内在的的可靠度度，是厂厂家在生生产过程程中已经经确立下下来的可可靠度，，它是系系统、产产品从企企业规划划阶段就就已确立立的指标标，是综综合其它它指标后后的可靠靠性指标标。3)使使用可靠靠度Ru(UseReliability):它它与产产品的使使用有关关，与包包装、运运输、保保管、环环境、操操作情况况、维修修等因素素有关。。第二节：：故障的的统计分分布函数数设：N0:参加产品品试验的的总数;N0=Nf(t)+Ni(t)Nf(t):t时刻累积积故障数数；Ni(t):t时刻未失失效仍正正常工作作的数目目；Nf(t):t到t+t时间间隔隔内发生生的故障障数;则：单位时间间内失效效产品数数占参加加产品试试验总数数的频率率为：产品在t时刻的故故障概率率密度f(t)为：第二节：：故障的的统计分分布函数数可靠度R(t):即产品至至时刻t不发生故故障的概概率累积故障障概率F(t):即产品至至时刻t累积发生生故障的的概率第二节：：故障的的统计分分布函数数故障率(t):产品至时时刻t,单位时间间内发生生故障的的产品数数和仍在在正常工工作的产产品数之之比，即即产品工工作到某某个时间间后，单单位时间间内发生生故障的的概率。。关系：可靠度的的计算:设可靠度度为R，，累积故故障概率率为F，，R+F=1.我们就元元件构成成系统的的不同类类型，讨讨论系统统与元件件之间可可靠度的的关系。假设设各元件件故障的的发生是是独立的的，记Ei为元件i成功运运转事件件，Ri=P(Ei)为元元件i的的可靠靠度，Fi=P(Ei)为元件件i的的累积故故障概率率，Rs为系统的的可靠度度，Fs为系统的的累积故故障概率率。第三节：：可靠度度的计算算可靠度的的计算(2):串联方式式:设系统由由多个元元件构成成，如果果其中任任一元件件发生故故障，都都会导致整整个系统统发生故故障，这这种构成成方式称称为串联联方式。。假设系统统由n个个元件串串联而成成，则有有由于事件件的独立立性，有有由于Ri<1(I=1,2,……,n),所所以系系统的可可靠度随随着元件件个数的的增加而而下降计算串联联方式可可靠度的的近似方方法：1)假假设构成成系统的的n件元元件的故故障率都都相等，，记为q,则假定q很很小，利利用二项项式展开开，再忽忽略q的的高次项项，则2)假假设各元元件的累累积故障障率为qi,则有有第三节：：可靠度度的计算算可靠度的的计算(3):要提高系系统的可可靠度RS，可以从从两方面面考虑：：1)减减少串联联元件个个数；2)提提高各元元件的可可靠度；；由于元件件数目增增加而引引起系统统可靠度度的降低低在图上上表现得得很明显显，对同样数数量的元元件，元元件可靠靠度的提提高，可可使系统统的可靠靠度提高高。第三节：：可靠度度的计算算可靠度的的计算(4):并联方式式:设系统统由多个个元件构构成，如如果其中中某一元元件发生生故障，，系统仍能正正常工作作，只有有当所有有元件都都发生故故障时，，系统才才不能正正常工作，这这种构成成方式称称为并联联方式。。假设系统统由n个个元件并并联而成成，则有有由于事件件的独立立性，有有而所所以有由于Fi<1,因因此此系统的的累积故故障概率率随着元