2019重点高中数学选修习题课时作业第3章空间向量与立体几何32(一)

§3.2立体几何中的向量方法(一)——空间向量与平行关系课时目标1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题.2.能用向量语言表述线线，线面，面面的平行关系．1．直线的方向向量________或______的向量，一条直线的方向直线的方向向量是指和这条直线向量有________个．2．平面的法向量直线l⊥α，取直线l的a，则向量a叫做平面α的__________．3．空间中平行关系的向量表示(1)线线平行a＝(a1，b1，c1，＝2，b2，c2，且222设直线l，m的方向向量分别为)b(a)abc≠0，则l∥m??__________?________________________.(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α?________?__________?________________________.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?__________?__________?________________________.一、选择题1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则以下向量能作为平面α的一个法向量的是()A．(0，－3,1)B．(2,0,1)C．(－2，－3,1)D．(－2,3，－1)2．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A．(1,2,3)B．(1,3,2)C．(2,1,3)D．(3,2,1)3．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为( )A．(1，－1,1)B．(2，－1,1)C．(－2,1,1)D．(－1,1，－1)4．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为( )A．(－9，－7,7)B．(18,17，－17)C．(9,7，－7)D．(－14，－19,31)5.1在正方体ABCD—A111D1中，棱长为a，M、N分别为A1、AC的中点，BCB则MN与平面BB1C1C的地点关系是()A．订交B．平行C．垂直D．不可以确立6．已知线段AB的两端点的坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则与线段AB平行的坐标平面是( )A．xOyB．xOzC．yOzD．xOy或yOz二、填空题7．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量坐标为________________________．18．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为1，2，2，且l∥α，则m＝________.9.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分别为棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥面DCC1D1；④A1M∥面D1PQB1.以上结论中正确的选项是________．(填写正确的序号)三、解答题10．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．11.以以下图，在空间图形P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°，求证：CM∥平面PAD.2【能力提高】12．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.13.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上能否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．平行关系的常用证法（1）证明线线平行只要要证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系，如证→→明AB∥CD只要证AB＝λCD.证明线面平行可转变成证直线的方向向量和平面的法向量垂直，而后说明直线在平面外．证面面平行可转变证两面的法向量平行．(2)证明线面平行问题或面面平行问题时也可利用立体几何中的定理转变成线线平行问题，再利用向量进行证明．§3.2立体几何中的向量方法(一)——空间向量与平行关系知识梳理1．平行重合无数2．方向向量法向量abc13．(1)a∥ba＝λb11(a2b2c2≠0)a2＝b2＝c2(2)a⊥ua·u＝012＋b12＋c12＝0aabc(3)u∥vu＝kva1b1c1(a2b2c2≠0)a2＝b2＝c2作业设计31．D[只若是与向量n共线且非零的向量都可以作为平面α的法向量．应选D.]→→的方向向量，．＝(2,4,6)，而与AB共线的非零向量都可以作为直线l2A[∵AB应选A.]a·n＝0，3．C[明显a与b不平行，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则b·n＝0，2x＋3y＋z＝0，∴5x＋6y＋4z＝0.令z＝1，得x＝－2，y＝1，∴n＝(－2,1,1)．]→4．B[设B(x，y，z)，AB＝(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，λ>0.故x－2＝8λ，y＋1＝9λ，z－7＝－12λ，又(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－7)2＝342，得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.∴x＝18，y＝17，z＝－17，即B(18,17，－17)．]→→．B[可以建立空间直角坐标系，经过平面的法向量和MN的关系判断．]5AB6．C→＝(0,5，－3)，AB与平面yOz平行．][AB7.3，3，3或－3，－3，－33333338．－8分析∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直．∴(2，m,1)·，1，2＝2＋1＋＝，∴＝－122m20m8.9．①③④→→→→→→分析∵A1M＝AM－AA1＝DP－DD1＝D1P，A1M∥D1P.D1P?面D1PQB1，∴A1M∥面D1PQB1.又D1P?面DCC1D1，∴A1M∥面DCC1D1.B1Q为平面DCC1D1的斜线，∴B1Q与1P不平行，∴1与1不平行．DAMBQ10．解∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，→，－，－→∴AB＝(14)，AC＝，－，－，2(243)设平面α的法向量为n＝(x，y，z)．→→依题意，应有AB＝，·AC＝0.n·0nx－2y－4z＝0x＝2y即2x－4y－3z＝0，解得.z＝0令y＝1，则x＝2.∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．11．证明建立以以下图的空间直角坐标系Cxyz.方法一∵∠PBC＝30°，PC＝2，4BC＝23，PB＝4.于是D(1,0,0)，C(0,0,0)，A(4,23，0)，P(0,0,2)．PB＝4PM，∴PM＝1，3M0，2，2.→33→→→→→CM，，，DPDA，23，0)．设CMDPDA022中x，y∈R.3则0，2，2＝x(－1,0,2)＋y(3,23，0)．x＋3y＝033123y＝2∴，解得x＝4，y＝4.32x＝23→1→→→→CM＝4DP＋4DA，∴CM，DP，DA共面．CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD.→33→→，2方法二由方法一可得CM＝0，2，DP＝(－1,0,2)，DA＝(3,23，0)．设平面PAD的法向量为n＝(x，y，z)，x＋2z＝0则有，即.3x＋23y＝013令x＝1，解得z＝2，y＝－2.1故n＝1，－2，2.→3331又∵CM0，2，2·1，－＝0.2，2→n，又平面∴CM⊥CM?PAD.n∴CM∥平面PAD.．证明方法一→→，121C＝A1D，B1?A1∵BDB1C∥A1D，又A1D?平面ODC1，B1C∥平面ODC1.→→→方法二∵B1C＝B1C1＋B1B→→→→→→＝B1O＋OC1＋D1O＋OD＝OC1＋OD.5→→→∴B1C，OC1，OD共面．又B1C?平面ODC1，∴B1C∥平面ODC1.方法三建系如图，设正方体的棱长为1，则可得B1(1,1,1)，C(0,1,0)，11O2，2，1，C1(0,1,1)，→B1C＝(－1,0，－1)，→11OD＝－2，－2，－1，→11OC1＝－2，2，0.设平面ODC1的法向量为n＝(x0，y0，z0)，则11－2x0－2y0－z0＝0，①得11－2x0＋2y0＝0，②令x0＝1，得y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1,1，－1)．→又B1C·n＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，→∴B1C⊥n，且B1C?平面ODC1，∴B1C∥平面ODC1.13．解方法一当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.→→1→→1→→＋DP∵BF＝BC＋CP＝AD＋22(CD)→1→→3→→AD＋2(AD－AC)＋2(AE－AD)3→1→2AE－2AC.→→→∴BF、AE、AC共面．又BF?平面AEC，∴BF∥平面AEC.方法二6如图，以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系．由题意，知相关各点的坐标分别为A(0,0,0)，B3，－1，，C31，2a2a02a，2a，01D(0，a,0)，P(0,0，a)，E0，3a，3a.→21→＝31因此AE＝0，3a，3a2a，2a，0，，AC→→31AP＝(0,0，a)，PC＝2a，2a，－a，→31BP＝－2a，2a，a.设点F是棱PC上的点，→→3