北师版八年级数学下册第一章三角形的证明习题课件

第一章三角形的证明北师版1．1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质1．(成都中考)如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是()A．∠A＝∠DB．∠ACB＝∠DBCC．AC＝DBD．AB＝DCCA

B

4．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为()A．35°B．40°C．45°D．50°5．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD等于()A．36°B．54°C．18°D．64°AB6．(遵义中考)如图，在△ABC中．点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠CAE＝16°，则∠B为____度．377．(湖州中考)如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是()A．20°B．35°C．40°D．70°8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是()A．∠B＝∠CB．AD⊥BCC．∠BAD＝∠CAD＝∠CD．BD＝CDBC9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，∠BAD＝30°，且AD＝AE，则∠EDC等于()A．10°B．12.5°C．15°D．20°C10．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为()A．44°B．66°C．88°D．92°11．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为()A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°DD12．(娄底中考)如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝__cm.613．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠B＝∠C，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD＝AE14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在边AB，AC上，AM＝2MB，AN＝2NC，求证：DM＝DN.15．(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在边AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数；(2)如图2，在△ABC中，∠ACB＝40°，点D，E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，则∠DCE＝________；(3)在△ABC中，∠ACB＝n°(0＜n＜180)，点D，E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数(直接写出答案，用含n的式子表示)．解：(1)∵AD＝AC，BC＝BE，∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC，∴∠ACD＝(180°－∠A)÷2，∠BCE＝(180°－∠B)÷2.∵∠A＋∠B＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝180°－(∠A＋∠B)÷2＝180°－45°＝135°，∴∠DCE＝∠ACD＋∠BCE－∠ACB＝135°－90°＝45°(2)110°第一章三角形的证明北师版1．1等腰三角形第2课时等边三角形的性质1．若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°，则顶角的度数为()A．50°B．80°C．100°D．130°2．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的角平分线BD和CE相交于点O，则图中的全等三角形共有()A．1对B．2对C．3对D．4对BC3．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列说法中不正确的是()A．BC边上的高线和中线重合B．AB边上的中线和AC边上的中线相等C．∠ABC和∠ACB的平分线相等D．AB，BC两边上的高相等DD

5．下列说法：①等边三角形的每一个内角都等于60°；②等边三角形三条边上的高都相等；③等腰三角形两底角的平分线相等；④等边三角形任意一边上的高与这条边上的中线互相重合；⑤等腰三角形一腰上的高与这条腰上的中线互相重合．其中说法正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为()A．15°B．30°C．45°D．60°DD7．如图，△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC，△ADE是等边三角形，下列结论中：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD；④∠ABE＝60°.其中正确的个数为()A．4个B．3个C．2个D．1个8．如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于_____.A20°9．如图，△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝____度．1510．如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，AP的长是()A．4B．5C．6D．8C11．如图，△APB和△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD.有下列三个结论：①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个D12．如图，点D是等边△ABC的边AC上一点，以BD为边作等边△BDE，若BC＝10，BD＝8，则△ADE的周长为____.1813．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边△CDE，使点E，A在直线DC同侧．连接AE，求证：AE∥BC.证明：∵△ABC，△CDE是等边三角形，∴∠BCD＋∠ACD＝∠ACE＋∠ACD＝60°，∴∠BCD＝∠ACE.在△BCD和△ACE中，BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴∠B＝∠CAE.∵∠B＝∠ACB，∴∠CAE＝∠ACB，∴AE∥BC14．已知，如图所示，P为等边三角形ABC内的一点，它到三边AB，AC，BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高AM＝h.则h与h1，h2，h3有何数量关系？写出你的猜想并加以证明．15．如图1，已知点P是线段AB上的动点(P不与A，B重合)，分别以AP，PB为边向线段AB的同一侧作等边△APC和等边△PBD.连接AD，BC，相交于点Q，AD交CP于点E，BC交PD于点F.(1)图1中有______对全等三角形；(不必证明)(2)图1中设∠AQC＝α，那么α＝________°；(不必证明)(3)如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转(旋转角小于180°)，此时α的大小是否发生变化？请说明理由．解：(1)△APD≌△CPB，△EPD≌△FPB，△APE≌△CPF，一共有3对(2)∵△APC是等边三角形，∴PA＝PC，∠APC＝60°，∵△BDP是等边三角形，∴PB＝PD，∠BPD＝60°，∴∠APC＝∠BPD，∴∠APD＝∠CPB，在△APD和△CPB中，∴△APD≌△CPB(SAS)，∴∠PAD＝∠PCB，∵∠QAP＋∠QAC＋∠ACP＝120°，∴∠QCP＋∠QAC＋∠ACP＝120°，∴∠AQC＝180°－120°＝60°.故答案为60(3)此时α的大小不会发生改变，始终等于60°.理由：∵△APC是等边三角形，∴PA＝PC，∠APC＝60°，∵△BDP是等边三角形，∴PB＝PD，∠BPD＝60°，∴∠APC＝∠BPD，∴∠APD＝∠CPB，在△APD和△CPB中，

∴△APD≌△CPB(SAS)，∴∠PAD＝∠PCB，∵∠QAP＋∠QAC＋∠ACP＝120°，∴∠QCP＋∠QAC＋∠ACP＝120°，∴α＝∠AQC＝180°－120°＝60°第一章三角形的证明北师版1．1等腰三角形第3课时等腰三角形的判定1．在△ABC中，已知∠B＝∠C，则()A．AB＝BCB．AB＝ACC．BC＝ACD．∠A＝60°2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是△ABC，△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形共有()A．5个B．4个C．3个D．2个BA3．如图，OB平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB＝12，BC＝24，AC＝18，则△AMN的周长为()A．30B．33C．36D．394．如图，∠BAC＝100°，∠B＝40°，∠D＝20°，AB＝3，则CD＝___.A35．如图，在△ABC中，BC＝5cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是___cm.56．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设()A．至少有一个内角是直角B．至少有两个内角是直角C．至多有一个内角是直角D．至多有两个内角是直角7．请举反例说明命题“对于任意实数x，x2＋5x＋5的值总是正数”是假命题．你举的反例是____.(写出一个x的值即可)B－28．用反证法证明：等腰三角形的两底角必为锐角．已知：△ABC，AB＝AC.求证：∠B，∠C都是锐角．证明：①假设等腰三角形的底角∠B，∠C都是直角，则_________________，从而___________________＞180°，这与___________________矛盾；∠B＋∠C＝180°∠A＋∠B＋∠C三角形内角和定理②设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，则_______________________，从而___________________________，这与______________________矛盾．综上所述，假设①，②_______，所以∠B，∠C只能为_____，故等腰三角形的两底角必为锐角．∠B＋∠C＞180°∠A＋∠B＋∠C＞180°三角形内角和定理不成立锐角C10．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为()A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里D11．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出一种情形)：______________.①③或②③12．用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.已知：△ABC求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角小于或等于60°.证明：假设∠A，∠B，∠C中没有一个内角小于或等于60°.即∠A____60°，∠B____60°，∠C____60°，∴∠A＋∠B＋∠C___180°，这与三角形的内角和等于180°____，∴∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°.＞＞＞＞矛盾13．如图，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．解：OE和AB相互垂直．理由：在△ABC和△BAD中，AB＝BA，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，∴△ABC≌△BAD(SAS)，∴∠ABC＝∠BAD，∴OA＝OB，∵点E是AB的中点，∴OE⊥AB14．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．证明：∵DE∥AC，∴∠1＝∠3，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∵AD⊥BD，∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D不与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝________，∠DEC＝________；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变________(填“大”或“小”)；(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．解：(1)25°

115°小(2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE.理由：∵∠C＝40°，∴∠DEC＋∠EDC＝140°.又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB＋∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC.又∵AB＝DC＝2，∴△ABD≌△DCE(AAS)(3)当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．理由：当∠BDA＝110°时，∠ADC＝70°.∵∠C＝40°，∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－70°－40°＝70°，∴∠AED＝180°－∠DAC－∠ADE＝180°－70°－40°＝70°，∴∠AED＝∠DAE，∴AD＝ED，∴△ADE的形状是等腰三角形．当∠BDA＝80°时，∠ADC＝100°.∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－100°－40°＝40°，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE，∴△ADE的形状是等腰三角形第一章三角形的证明北师版1．1等腰三角形第4课时等边三角形的判定1．下列三角形，不一定是等边三角形的是()A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120°的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形D2．在△ABC中，∠A＝60°，若要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件，下面三种说法：①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果添加条件“边AB，BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．正确的说法有()A．3个B．2个C．1个D．0个AA3．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝5，BD＝3，则△ADE的周长为()A．2B．6C．9D．154．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是____________．B等边三角形A

2

7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是()A．3.5B．4.2C．5.8D．78．如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为____秒．D26D9．如图，在△ABC中，∠A＝60°，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD与BE相交于点O，且CD＝BE，则下列结论：①△ABC是等边三角形；②△BOC是等腰三角形；③∠BOC＝120°；④BD＝CE.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个B

11．如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM等于()A．3B．4C．5D．6C12．已知：如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E.(1)求证：AD＝AE；(2)若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．(2)△ABC是等边三角形．理由：∵BE∥AC，∴∠EAC＝90°，∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，∴∠BAC＝∠1＋∠3＝60°，∴△ABC是等边三角形13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AC的中点，DE⊥AC交BC于点E.求证：BE＝2CE.14．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1，求AD的长．15．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，连接AC.(1)如图①，点E，F分别在边BC，CD上，BE＝CF.求证：①△ABE≌ACF；②△AEF是等边三角形；(2)如图②，若点E在BC的延长线上，在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？证明你的结论．解：(1)①∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．同理可得△ACD是等边三角形．∵AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，BE＝CF，∴△ABE≌△ACF(SAS)②由△ABE≌△ACF得AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，∵∠BAE＋∠CAE＝60°，∴∠CAF＋∠CAE＝60°，即∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形(2)存在．证明：当BE＝CF时，与(1)同理证△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，∴∠CAF－∠CAE＝∠BAE－∠CAE，∴∠EAF＝∠BAC＝60°，∴△AEF是等边三角形第一章三角形的证明北师版1．2直角三角形第1课时直角三角形的性质和判定1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高线，则图中与∠A互余的角有()A．0个B．1个C．2个D．3个C2．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列说法错误的是()A．∠A＋∠B＝∠CB．a2＝c2－b2C．b2＝a2－c2D．∠B＝90°－∠AC3．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是()A．48B．60C．76D．80CD

6．已知△ABC三边长为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是()A．∠A＝37°，∠C＝53°B．a∶b∶c＝3∶4∶5C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．a2∶b2∶c2＝1∶2∶3C1

8．命题“全等三角形的对应角相等”是___命题(填“真”或“假”)，它的逆命题是______________________________，它是___命题(填“真”或“假”)，这两者是_____________．真对应角相等的两个三角形全等假互逆命题9．下列定理中，没有逆定理的是()A．等腰三角形的两个底角相等B．对顶角相等C．三边对应相等的两个三角形全等D．直角三角形两个锐角的和等于90°BD10．下列命题的逆命题不正确的是()A．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方B．如果x2＝4，那么x＝±2C．等腰三角形的两个底角相等D．如果a＞0，b＞0，那么ab＞011．(扬州中考)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是()A．BC＝ECB．EC＝BEC．BC＝BED．AE＝ECC12．如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20，3，2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是____.2513．一副直角三角板按如图所示方式放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，AC＝5，则CD的长为___________.14．如图，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．15．(益阳中考)如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．16．如图，在斜坡AB上有一棵树BD，由于受台风影响而倾斜，恰好与坡面垂直，测得∠BAE＝30°，∠DCA＝60°(D为树的顶端，C为地面上一点)，AB＝6米，AC＝4米，求树高BD是多少米？(结果保留根号)17．(1)以a，b为直角边，c为斜边作两个全等的Rt△ABE与Rt△FCD拼成如图1所示的图形，使B，E，F，C四点在一条直线上(此时E，F重合)，可知△ABE≌△FCD，AE⊥DF，请你证明：a2＋b2＝c2；(2)在(1)中，固定△FCD，再将△ABE沿着BC平移到如图2的位置(此时B，F重合)，请你重新证明：a2＋b2＝c2.第一章三角形的证明北师版1．2直角三角形第2课时用“斜边、直角边”证明三角形全等1．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是()A．AC＝DF，BC＝EFB．∠A＝∠D，AB＝DEC．AC＝DF，AB＝DED．∠B＝∠E，BC＝EFC2．如图，在△ABC与△ABD中，∠C＝∠D＝90°，要使△ABC≌△ABD(HL)成立，还需要加的条件是()A．∠BAC＝∠BADB．BC＝BD或AC＝ADC．∠ABC＝∠ABDD．AB为公共边B3．使两个直角三角形全等的条件是()A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条边对应相等4．如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD＝CA，过点D作DE⊥BC交AB于点E，则下列结论正确的是()A．DE＝DBB．DE＝AEC．AE＝BED．AE＝BDDB5．如图，点H是△ABC的高AD与BE的交点，且AD＝BE，则下列结论：①AE＝BD；②AH＝BH；③EH＝DH；④∠HAB＝∠HBA.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个D6．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)，你添加的条件是_____________________.AB＝DC或AC＝BD7．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D和点B，C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝BE，DE＝EC，则AB＝___.7C8．如图，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB于点R，作PS⊥AC于点S，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP.正确的是()A．①③B．②③C．①②D．①②③9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有()A．3对B．4对C．5对D．6对D5或10

12．如图①，E，F分别为线段AC上的两个点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB＝CD.AE＝CF，BD交AC于点M.(1)求证：MB＝MD，ME＝MF；(2)当E，F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明．解：(1)∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋FE，即AF＝CE.又∵AB＝CD，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴BF＝DE，∵∠BFM＝∠DEM＝90°，∠FMB＝∠EMD.∴△BFM≌△DEM(AAS)，∴MB＝MD，MF＝ME

(2)结论成立，证法同(1)13．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵AE＝CF，AB＝CB∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°，∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15°，∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°14．已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.(1)如图①，若点O在边BC上，求证：△ABC是等腰三角形；(2)如图②，若点O在△ABC的内部，求证：△ABC是等腰三角形；(3)若点O在△ABC的外部，△ABC还一定是等腰三角形吗？若是，请证明；若不是，请画图说明．解：(1)过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，则∠BDO＝∠CEO＝90°，OD＝OE，又∵OB＝OC，∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL)，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形

(2)过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，D，E分别是垂足，则∠BDO＝∠CEO＝90°，OD＝OE，又∵OB＝OC，∴Rt△BDO≌Rt△CEO(HL)，∴∠DBO＝∠ECO，又∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠DBO＋∠OBC＝∠ECO＋∠OCB，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形

(3)当点O在△ABC的外部时，△ABC不一定是等腰三角形，如图所示：第一章三角形的证明北师版1．3线段的垂直平分线第1课时线段的垂直平分线的性质1．如图，已知直线l垂直平分线段AB，P是l上一点，已知PA＝1，则PB()A．等于1B．小于1C．大于1D．不能确定2．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是()A．8B．9C．10D．11AC3．(黄冈中考)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为()A．50°B．70°C．75°D．80°4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分线DE分别交AB，BC于点D，E，则∠BAE的度数为______.B40°5．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有()A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACBA6．如图，在Rt△ABC中，过直角边AC上的一点P，作直线DE交AB于点D，交BC的延长线于点E，若∠DPA＝∠A，则D点在()A．线段BC的垂直平分线上B．线段BE的垂直平分线上C．线段AC的垂直平分线上D．以上答案都不对B7．如图，D是△ABC的边BC的延长线上一点，且BD＝BC＋AC，则点C在线段_____的垂直平分线上．ADA

9．(达州中考模拟)如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交AB边于点E.若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为___.10．(南充中考)如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝____度．62411．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线相交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为______度．10812．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O.(1)求证：AD垂直平分EF；(2)若∠BAC＝60°，写出DO与AD之间的数量关系，并证明．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在AB上，且AF垂直平分CD，BG垂直平分CE.(1)求∠ECD的度数；(2)若∠ACB为α，则∠ECD的度数能否用含α的式子来表示．解：(1)设∠ADC＝x，∠BEC＝y.∵AF垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD＝x，同理∠BEC＝∠BCE＝y.在△ACD中，∵∠ADC＋∠ACD＋∠CAD＝180°，∴2x＋∠CAD＝180°①，同理，2y＋∠CBE＝180°②，①＋②，得2x＋2y＋∠CAD＋∠CBE＝360°③，∵∠CAD＋∠CBE＋∠ACB＝180°，∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠CBE＝90°④，④代入③，得2x＋2y＋90°＝360°，∴x＋y＝135°，∴∠ECD＝180°－(x＋y)＝45°14．如图，在△ABC中，MP，NO分别垂直平分AB，AC.(1)若BC＝10cm，试求出△PAO的周长；(不用写过程，直接写出答案)(2)若AB＝AC，∠BAC＝110°，试求∠PAO的度数；(不用写过程，直接写出答案)(3)在(2)中，若无AB＝AC的条件，你能求出∠PAO的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由．解：(1)∵MP，NO分别垂直平分AB，AC，∴AP＝BP，AO＝CO，∴△PAO的周长＝AP＋PO＋AO＝BP＋PO＋OC＝BC，∵BC＝10cm，∴△PAO的周长为10cm(3)能．理由如下：∵∠BAC＝110°，∴∠B＋∠C＝180°－110°＝70°，∵MP，NO分别垂直平分AB，AC，∴AP＝BP，AO＝CO，∴∠BAP＝∠B，∠CAO＝∠C，∴∠PAO＝∠BAC－∠BAP－∠CAO＝∠BAC－(∠B＋∠C)＝110°－70°＝40°第一章三角形的证明北师版1．3线段的垂直平分线第2课时三角形三边的垂直平分线1．到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC的()A．三边垂直平分线的交点B．三边中线的交点C．三条高的交点D．无法确定2．在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点O，则有()A．O在△ABC的内部B．O在△ABC的外部C．O在BC边上D．OA＝OB＝OCAD3．如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD＝30°，∠BAD＝50°，则∠BCD的大小是()A．10°B．20°C．30°D．40°4．在△ABC中，AB，AC的垂直平分线相交于点P，那么P点必定在BC的_____________，且PA＝____＝_____.A垂直平分线上PBPC5．(宜昌中考)尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是()BP

点A

点B

MN

7．在平面内，到三点A，B，C距离相等的点()A．只有一个B．有两个C．有三个或三个以上D．有一个或没有8．等腰△ABC两腰AB，AC的垂直平分线交于点O，下列说法不正确的是()A．OA平分∠BACB．OA⊥BCC．OB＝OCD．OA＝BCDD9．等腰三角形的底角为40°，两腰的垂直平分线交于点P，则()A．点P在三角形内B．点P在三角形外C．点P在三角形底边上D．点P的位置与三角形的边长有关B10．如图，某地三个村子的中心A，B，C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个村子中心之间铺设自来水管道，以A村为出发点设计了三种连接方案：①AC＋BC；②AD＋BC(D为BC的中点)；③OA＋OB＋OC(O为△ABC三边的垂直平分线的交点)．要使铺设的水管长度最短，则应选择方案____.(填序号)③12．如图所示，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b(a＜b，尺规作图，保留作图痕迹)．解：作法：(1)作线段AD＝a；(2)过点D作直线MN⊥AD于点D；(3)以点A为圆心，b为半径画弧，交MN于B，C两点，连接AB，AC，△ABC即为所求，如图所示13．如图，在墙角点O处有一个老鼠洞，小猫在点A处发现老鼠从点B处往洞口逃窜，小猫想：这一次不会再让你逃掉．若小猫和老鼠的速度相同，你能确定小猫抓住的位置吗？解：

14．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使点P到该镇所属A村，B村，C村的村委会所在地的距离都相等(A，B，C不在同一条直线上，地理位置如下图)，请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：写出已知，求作，不写作法；保留作图痕迹．解：已知：A，B，C三点不在同一直线上．求作：一点P，使PA＝PB＝PC15．如图，在△ABC中，DE，MN是AB，AC的垂直平分线，垂足分别为点D，M，分别交BC于点E，N，且DE和MN交于点F.(1)若∠B＝20°，求∠BAE的度数；(2)若∠EAN＝40°，求∠F的度数；(3)若AB＝7，AC＝3，求△AEN周长的范围．解：(1)∵DE是边AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵∠B＝20°，∴∠BAE＝∠B＝20°

(2)∵DE，MN是AB，AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AN＝CN，∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，∵∠EAN＝40°，∠B＋∠BAE＋∠EAN＋∠CAN＋∠C＝180°，∴∠B＋∠BAE＋∠CAN＋∠C＝140°，∴∠B＋∠C＝70°，∵∠B＋∠BED＋∠C＋∠CNM＝90°＋90°＝180°，∴∠BED＋∠CNM＝110°，∴∠FEN＋∠FNE＝110°，∴∠F＝180°－(∠FEN＋∠FNE)＝70°(3)∵DE，MN是AB，AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AN＝CN，∴△AEN的周长为AE＋EN＋AN＝BE＋EN＋NC＝BC，在△ABC中，AB－AC＜BC＜AB＋AC，即4＜BC＜10，∴△AEN周长的范围是4～10第一章三角形的证明北师版1．4角平分线第1课时角平分线的性质定理及其逆定理1．(梧州中考)如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是()A．2B．3C．4D．62．(怀化中考)如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是()A．PC＝PDB．∠CPO＝∠DOPC．∠CPO＝∠DPOD．OC＝ODDB3．如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC，垂足为E，若OE＝2cm，则AB与CD间的距离为()A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD∶CD＝3∶2，则点D到线段AB的距离为___.C45．如图，AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于()A．50°B．60°C．70°D．80°6．(教材P29例1变式)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF，若DE＝4，则AD＝___.C87．如图，已知DB⊥AN于点B，交AE于点O，OC⊥AM于点C，且OB＝OC，若∠EAN＝25°，则∠ADB＝_____.8．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，∠C＝26°，且DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，则∠ADC的度数为_____.40°137°9．(威海中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD.以下结论不正确的是()A．∠BAC＝70°B．∠DOC＝90°C．∠BDC＝35°D．∠DAC＝55°B10．(遂宁中考)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()A．3B．4C．6D．5AC

12．如图，两条公路OA和OB相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论)13．(株洲中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．(1)证明：过点O作OM⊥AB，∵BD是∠ABC的平分线，∴OE＝OM.∵四边形OECF是正方形，∴OE＝OF，∴OF＝OM，∴AO是∠BAC的平分线，即点O在∠BAC的平分线上14．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.(1)求证：AM⊥DM；(2)若BC＝8，求点M到AD的距离．15．已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN.(1)如图1，∠AEB的度数为________；(2)如图2，过点E的直线交射线AM于点C，交射线BN于点D，求证：AC＋BD＝AB；(3)如图3，过点E的直线交射线AM的反向延长线于点C，交射线BN于点D，AB＝5，AC＝3，S△ABE－S△ACE＝2，求△BDE的面积．90°

(3)如图，延长AE交BD于F，∵∠AEB＝90°，∴BE⊥AF，BE平分∠ABN，∴AB＝BF＝5，AE＝EF，∵AM∥BN，∴∠C＝∠EDF，在△ACE与△FDE中，

∴△ACE≌△FDE，∴DF＝AC＝3，∵BF＝5，∴设S△BEF＝S△ABE＝5x，S△DEF＝S△ACE＝3x，∵S△ABE－S△ACE＝2，∴5x－3x＝2，∴x＝1，∴△BDE的面积＝8第一章三角形的证明北师版1．4角平分线第2课时三角形三个内角的平分线1．到三角形三条边的距离相等的点是这个三角形的()A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点D2．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于()A．1∶1∶1B．1∶2∶3C．2∶3∶4D．3∶4∶5C3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是()①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.A．1个B．2个C．3个D．4个D4．如图，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3.若△ABC的周长是22，则△ABC的面积是____.5．(广安中考)如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝____.3326．如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在()A．△ABC三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点C7．如图，有三条铁路a，b，c相互交叉，现在建一个货物中转站，要求到三条铁路的距离相等，可供选择的地址有___处．48．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE垂直平分AB，交BC于点D，垂足为E.则下列结论错误的是()A．DE＋BD＝BCB．BD＝2CDC．BE＋DE＝BCD．BE＋AC＝ABC9．如图，O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边AB，BC，AC的距离OD＝OE＝OF，若∠A＝70°，则∠BOC＝_______.125°10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，连接DE，DF⊥BC于点F，则∠EDC＝_____.30°11．如图，AB＝AC，PB＝PC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D，E.求证：PD＝PE.证明：连接AP，∵AB＝AC，PB＝PC，AP＝AP，∴△ABP≌△ACP(SSS)，∴∠BAP＝∠CAP，又∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴PD＝PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)12．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N.求证：FE＝FD.证明：连接BF，∵F是角平分线交点，∴BF也是角平分线，∴MF＝FN，∠DNF＝∠EMF＝90°，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠BAC＝15°，∴∠CDA＝75°，∵∠NFC＝45°，∠MFN＝120°，∴∠MFE＝15°，∴∠MEF＝75°＝∠NDF，

∴△DNF≌△EMF(AAS)，∴FE＝FD214．在△ABC中，∠ACB＝2∠B.(1)如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB＝AC＋CD；(2)如图②，当时∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；(3)如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．解：过点D作DE⊥AB，交AB于点E，(1)∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，∵AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AC＝AE，∠ACB＝∠AED，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，又∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE＝DC，则AB＝AE＋BE＝AC＋CD(2)AB＝CD＋AC(3)AB＝CD－AC.理由：在AF上截取AE＝AC，∵AD为∠FAC的平分线，∴∠EAD＝∠CAD，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADC(SAS)，∴CD＝ED，∠AED＝∠ACD，即∠FED＝∠ACB，∵∠ACB＝2∠B，∴∠FED＝2∠B，又∵∠FED＝∠B＋∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE＝CD，则AB＝BE－AE＝CD－AC第一章三角形的证明北师版易错课堂三角形的证明例1

若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为____cm.易错分析：等腰三角形中，腰和底不明确时需分类讨论，要看这条边是等腰三角形的腰还是底，然后看它们是否满足三边关系，不满足的要舍去．351．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为()A．7B．7或11C．11D．7或102．已知等腰三角形的周长为50cm，一条边长是12cm，则另两条边长为_______________.B19cm和19cm例2

等腰三角形的一个内角是80°，则它的顶角的度数是()A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°易错分析：等腰三角形中求角度时，要看给出的角是等腰三角形的顶角还是底角，若不确定，应分两种情况讨论．B3．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40°，则该等腰三角形的底角度数