天津杨村第三中学2022-2023学年高三数学文联考试题含解析

天津杨村第三中学2022-2023学年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B2.函数的部分图象如图，则A.；

B.；

C.；

D.。参考答案：C3.定义函数,则函数在区间内的所有零点的和为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D4.设全集，集合，则A．

B．

C．

D．参考答案：A5.若关于x的方程x2+ax+a2﹣1=0有一正根和一负根，则实数a的取值范围是(

) A．﹣＜a＜﹣1 B．﹣2＜a＜2 C．﹣1＜a＜1 D．1＜a＜参考答案：C考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得△=a2﹣4（a2﹣1）＞0，且两根之积a2﹣1＜0，由此求得a的范围．解答： 解：由题意可得△=a2﹣4（a2﹣1）＞0，且两根之积a2﹣1＜0，求得﹣1＜a＜1，故选：C．点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．6.的值为（

）A．

B．

C．-1

D．1参考答案：B7.观察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，则的末四位数字为

A．3125

B．5625

C．0625

D．8125参考答案：D8.设复数（i为虚数单位），则z的虚部是（

）A.4i B.4 C.－4i D.－4参考答案：D【分析】由复数，即可得到复数的虚部，得到答案。【详解】由题意，复数，所以复数的虚部为，故选D。【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的乘法运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。9.定义在R上的函数的单调增区间为（-1，1），若方程恰有4个不同的实根，则实数a的值为．A．

B．

C．1

D．－1参考答案：B10.设i为虚数单位，则复数的共轭复数（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，得出，再利用共轭复数的定义即可得出。【详解】解：，故选：A．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义。若，，，，在进行复数的除法运算时，分子分母同时应乘以分母的共轭复数。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知当且时，函数取得最大值，则a的值为__________．

参考答案：由题意可得：其中，，.因为要取得最大值，，带入以上所求，化简：，解：12.的二项展开式中含的项的系数为

.参考答案：1513.计算：（）+log2（log216）=．参考答案：【考点】对数的运算性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用指数幂与对数的运算性质即可得出．【解答】解：原式=+log24=+2=．故答案为：．【点评】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．14.若满足约束条件，则的最小值为__

__．参考答案：2画出可行域,平移直线经过点时,有最小值,最小值为.15.已知，且，则

，

．参考答案：，16.已知实数a，b满足ab=1，且a＞b≥，则的最大值为．参考答案：【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】由题意，化简==，求出a﹣b的取值范围，从而求的最大值．【解答】解：由题意，=，∵ab=1，a＞b≥，∴0＜a﹣b≤﹣=，∴==，∵y=x+在（0，）上是减函数，∴≤=．故答案为：．17.已知函数f（x）=|x﹣2|+1，g（x）=kx，若方程f（x）=g（x）有且只有一个实根，则实数k的取值集合为．参考答案：{k|k＜﹣1，或k≥1，或k=}【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】做出f（x）的函数图象，根据f（x）与g（x）的函数图象只有1个交点即可得出k的范围．【解答】解：做出f（x）的函数图象如图所示：∵方程f（x）=g（x）有且只有一个实根，∴y=ax与y=|x﹣2|+1的函数图象只有一个交点，∴k=或k≥1或k＜﹣1．故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.（1）求和的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.参考答案：（1）..（2）40；（3）甲校至少有一名学生的概率为.（1）解：∵甲班学生的平均分是85，∴.

……………1分∴.

……………2分∵乙班学生成绩的中位数是83，∴.

……………3分（2）解：甲班7位学生成绩的方差为.

……5分（3）解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为，

……………6分乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为.

……………7分从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：.

……………9分其中甲班至少有一名学生共有7种情况：.…11分记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件，则.答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为.……………12分19.（本题满分12分）已知向量,函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期;（Ⅱ）已知、、分别为内角、、的对边,其中为锐角,,且,求和的面积．参考答案：解:（Ⅰ）……………3分………5分因为,所以………………7分20.已知：函数.(1)试讨论函数的单调性；(2)若，且在上的最大值为，最小值为，令，求的表达式；（3）在(2)的条件下，求证：.

参考答案：解：（1）当时，函数在上为减函数；-----------------1分当时，抛物线开口向上，对称轴为∴函数在上为减函数，在上为增函数-----------------------2分当，抛物线开口向下，对称轴为∴函数在上为增函数，在上为减函数.-----------------------3分（2）∵由得

∴.-----------------------5分当，即时，,故；-----------7分当，即时，，故.-------------9分∴-------------------------------------------------10分（3）∵当时，，∴函数在上为减函数；---------11分当时，，∴函数在上为增函数，-------------12分∴当时，取最小值，,故.-------------------------------------------------------------------14分

略21.（本小题满分12分）如图（1），在等腰梯形中，，分别为和的中点，且，，为中点，现将梯形沿所在直线折起，使平面平面，如图（2）所示，是线段上一动点，且.（Ⅰ）当时，求证：平面；（Ⅱ）当时，求二面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）过点作于点，过点作于点，连接.由题意，，……2分且，，………4分又，则，即，可知且平面，则平面.

……………………6分（Ⅱ）以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示坐标系.由题意，，，，，，平面的法向量为平面的法向量，即，………………8分在平面中，，，即，……………………10分则，又由图可知二面角的平面角是锐角，所以二面角的大小的余弦值为.………………12分22.已知数列的前n项和为，且，（n=1，2，3…）数列中，，点在直线上。（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）记，求满足的最大正整数n。参考答案：解：（I）∵∴当时，即

∵

∴即数列是等比数列.

∵

∴

即∴