《线性代数》化二次型为标准形

07

50

57

07

5

1

56

100.21

x

y

x

y

50

50

57

57

07

07A=2

A=0.5

2000.5A=/6

cossin

sincos

B=4.4

化二次型为标准形配方法化二次型为标准形合同变换化二次型为标准形正交变换化二次型为标准形二次曲面的标准方程

1.椭球面x2

a2

+y2

b2

+z2

c2

=1(a>0,b>0,c>0)bacxyzO2.单叶双曲面Oxyzabx2

a2

+y2

b2

z2

c2

=1(a>0,b>0,c>0)二次曲面的标准方程

3.双叶双曲面x2

a2

+y2

b2

z2

c2

=1(a>0,b>0,c>0)Oxyzc二次曲面的标准方程

4.二次锥面x2

a2

+y2

b2

z2

c2

=0(a>0,b>0,c>0)Oxyz二次曲面的标准方程

5.椭圆抛物面x2

a2

+y2

b2

=2z(a>0,b>0)Oxyz二次曲面的标准方程

Oxyz6.双曲抛物面x2

a2

y2

b2

=2z(a>0,b>0)(马鞍面)二次曲面的标准方程

7.椭圆柱面x2

a2

+y2

b2

=1(a>0,b>0)双曲柱面x2

a2

y2

b2

=1(a>0,b>0)zyOxyOxzzyOx抛物柱面x2=2py(p>0)二次曲面的标准方程

O

x

y

ax2+2bxy+cy2=1

abbcO

z

t

z2

d2+

t2

c2

=1

c

d

1/d001/c

例如，单位矩阵E为正交矩阵.

定义6

如果n阶实矩阵A满足

ATA=E或AAT＝E，则称A为正交矩阵.1.正交矩阵再如，矩阵也为正交矩阵.正交矩阵的概念

1．A为正交矩阵的充要条件是A-1=AT；

2.正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵；

3.两个正交矩阵的乘积是正交矩阵；

4.正交矩阵是满秩的且|A|=1或-1；

5.A为正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组是标准正交向量组.（证明见下页）正交矩阵的性质ATA=E或AAT＝E性质5

设A为n阶实矩阵，则A为正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组是标准正交向量组.证明：设A=(a1，a2，，an)，其中a1，a2，，an为A的列向量组，则AT的行向量组为a1T，a2T，，anT，于是显然，若A为正交矩阵，则a1，a2，，an为标准正交向量组；若a1，a2，，an为标准正交向量组，则A为正交矩阵.A的行向量组的证明类似，略.1.正交变换的概念与性质定义1

设P为n阶正交矩阵，X,Y是都是n维向量，称线性变换正交变换不改变向量的内积.X＝PY为正交变换.正交变换的概念正交变换的性质证明：因为回顾如何实现二次型的标准化X=PY回顾如何实现二次型的标准化二次型的标准化问题实质上为找到可逆矩阵P，使得PTAP=L回顾

实对称矩阵的性质定理2

实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的.定理1

实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵A的k重特征值li

对应

k个线性无关的特征向量.实对称矩阵一定可以找到n个线性无关的特征向量，即一定可以对角化定理3

设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P使其中为A的n个特征值，正交矩阵

P的

n个列向量是矩阵A对应于这n个特征值的标准正交的特征向量.1,2,…,s

A11

以a11,a21,…,a2t

,

…,

as1,…,asr

为列即构成可逆矩阵P.使得P-1AP=L

2

21,…,2t

,

…,

s

s1,…,st

回顾如何实现二次型的标准化

证明:(反证)

设a1，a2，，am线性相关，则其中至少有一向量可由其余向量线性表示，不妨设a1可由a2，，am线性表示，即有一组数k2，，km，使

a1＝k2a2+

+kmam

，于是

(a1,

a1)=(a1,k2a2+

+kmam)

=(a1,k2a2)+

+(a1,kmam)

=k2(a1,

a2)+

+km(a1,am)=0这与(a1,a1)≠0矛盾，所以a1，a2，，am线性无关.定理1

正交向量组是线性无关的向量组.2.8向量组的正交化标准化

定理2

对于线性无关的向量组a1,a2,,am，令则向量组b1,b2,,bm是正交向量组.施密特正交化方法另外：①很明显，向量组a1,a2,,am可由向量组b1,b2,,bm线性表示.②向量组b1,b2,,bm也可由向量组a1,a2,,am线性表示，因为：

向量组b1,b2,,bm与向量组a1,a2,,am是等价的！

例1．已知向量组a1=(1,1,1,1)T,

a2=(3,3,-1,-1)T,a3=(-2,0,6,8)T,线性无关，试将它们正交化、标准化.解:(1)先利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令b1=a1=(1,1,1,1)T=(3,3,-1,-1)T=(2,2,-2,-2)T

=(-1,1,-1,1)T(1,1,1,1)T此时b1,b2,

b3

为正交组.(2)再将正交化后的向量组标准化，即令此时1,2,3

即为所求标准正交组.说明：求标准正交组的过程为先正交化，再标准化.回顾如何实现二次型的标准化X=PY回顾如何实现二次型的标准化二次型的标准化问题实质上为找到可逆矩阵P，使得PTAP=L1,2,…,s

A11

以a11,a21,…,a2t

,

…,

as1,…,asr

为列即构成可逆矩阵P.使得

P-1AP=L

2

21,…,2t

,

…,

s

s1,…,st

同时要满足PTAP=L要找正交矩阵P-1=PT回顾

实对称矩阵的性质定理2

实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的.定理1

实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵A的k重特征值li

对应

k个线性无关的特征向量.实对称矩阵一定可以找到n个线性无关的特征向量，即一定可以对角化（可得知二次型一定可以标准化！）定理3

设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P使其中为A的n个特征值，正交矩阵

P的

n个列向量是矩阵A对应于这n个特征值的标准正交的特征向量.1,2,…,s

A11

以b11,b21,…,b2t

,

…,

bs1,…,bsr

为列即构成正交矩阵P.

2

21,…,2t

,

…,

s

s1,…,sr

回顾如何实现二次型的标准化直接标准化b11,先正交化，再标准化

bs1,…,bsr

b21,…,b2t

先正交化，再标准化3.用正交变换化二次型为标准形（要求：熟练掌握！）

(1)写出二次型的矩阵形式；

(2)求出A的全部特征值l1,l2,…,ln

；

(3)对每一个特征值li,

解方程(li

E-A)X=o,求出基础解系，然后用施密特正交化方法将其正交化，再标准化；

(4)将所有经过正交化标准化的特征向量作为列向量构成一个矩阵就得到了正交矩阵P，所求的正交变换为X＝PY；

(5)所求二次型的标准形为例1.

用正交变换化下列二次型为标准形．解:

二次型的

f系数矩阵为矩阵A的特征方程为解得l1=-2,l2=l3=7．对于l1=-2，解方程组(-2E-A)X=o,得基础解系将其正交化得将其单位化得将其单位化得得基础解系解得l1=-2,l2=l3=7．对于l2=l3=7，解方程组(7E-A)X=o,例1.

用正交变换化下列二次型为标准形．

令则通过正交变换将二次型f化为标准形例1.

用正交变换化下列二次型为标准形．l1=-2l2=7l2=7例2.

已知二次型通过正交变换X=PY化为标准形变换矩阵P．解：f的系数矩阵A及标准形的系数矩阵分别为由已知条件得即4(9-a2)

=32，解得a=1,a=-1(舍去).由A相似于对角阵Λ，得A的特征值为l1=2，l2=l3=4．对于l1=2，解方程组(2E-A)X=o,得基础解系故A相似于对角阵Λ，所以有｜A｜＝｜Λ｜求a及正交把x1单位化，得对应于l1=2的单位特征向量对于l2=l3=4，解方程组(4E-A)X=o,（注意求基础解系的过程）

4-4

0

0

00-1

4-30

4-3

0-1

0

0

0

0

-11

01

-100

00

0100-1例2.

已知二次型通过正交变换X=PY化为标准形变换矩阵P．求a及正交4E-A

4-4

0

0

00-1

4-304-30-1=

0

0

0

0

-11

01

-1=00

01

00-10000

00

0100-1=(4E-A)Xo的一般解为

x2=0