《复变函数与积分变换》期末考试试卷含

一．填空题（每题3分，共计15分）1．1i32k,k0,1,22的幅角是（3）；2.Ln(1i)的主值是（1ln23i）；243.f(z)1，f(5)(0)（0），1z24．z0是zsinzz4的（一级）极点；5．f(z)1，Res[f(z),]（-1）；z二．选择题（每题4分，共24分）1．剖析函数f(z)u(x,y)iv(x,y)的导函数为（B）；（A）f(z)uxiuy；（B）f(z)uxiuy；（C）f(z)uxivy；（D）f(z)uyivx.2．C是正向圆周z3，若是函数f(z)（D），则f(z)d0．C33(z1)3(z1)3（A）z2；（B）z2；（C）(z2)2；（D）(z2)2.3．若是级数n1cnzn在z2点收敛，则级数在（C）（A）z2点条件收敛；（B）z2i点绝对收敛；（C）z1i点绝对收敛；（D）z12i点必然发散．４．以下结论正确的选项是(B)（A）若是函数f(z)在z0点可导，则f(z)在z0点必然剖析；(B)若是f(z)在C所围成的地域内剖析，则Cf(z)dz0（C）若是Cf(z)dz0，则函数f(z)在C所围成的地域内必然剖析；（D）函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在地域内剖析的充分必要条件是

优选文档u(x,y)、v(x,y).优选文档在该地域内均为调停函数．5．以下结论不正确的选项是（D）．(A)、为sin1z的可去奇点；(B)、为sinz的本性奇点；(C)、为1的孤立奇点.(D)、为1的孤立奇点；1sinzsinz三．按要求完成以下各题（每题10分，共40分）（1）．设f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2)是剖析函数，求a,b,c,d.解：因为f(z)剖析，由C-R条件uvuvxyyx2xaydx2yax2by2cxdy,a2,d2,，a2c,2bd,c1,b1,给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。（2）．计算ezdz其中C是正向圆周：C(z1)2z解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗张开计算，仅给出用前者计算过程因为函数f(z)ez在复平面内只有两个奇点z10,z21，分别以z1,z2为圆心画互不(z1)2z相交互不包含的小圆c1,c2且位于c内ezezez2dz(z1)2dzz2dzC(z1)zC1zC2(z1)2i(ez)2iez2izz1(z1)2z0无论采用那种方法给出公式最少给一半分，其他酌情给分。z15（3）．解：设f(z)在有限复平面内全部奇点均在：z3内，由留数定理.优选文档z152iRes[f(z),]z3(1z2)2(2z4)3dz-----（5分）1f(z)z2

2iRes[f(1)1]zz2(1)15z(11)2(2(1)4)3z2z

----（8分）12z1)113有唯一的孤立奇点z0,f(2z(1z2)2(2z41)zzRes[f(1)12,0]limzf(1)12lim(1z22141)31zzz0zzz0)(2zz15z4)3dz2i--------（10分）z3(1z2)2(2（4）函数f(z)z(z21)(z2)3(z3)2在扩大复平面上有什么种类的奇点？，若是有极点，(sinz)3请指出它的级.解：f(z)z(z21)(z2)3(z3)2的奇点为zk,k0,1,2,3,，(sinz)3（1）zk,k0,1,2,3,为（sin30的三级零点，z）（2）z0，z1,为f(z)的二级极点，z2是f(z)的可去奇点，3）z3为f(z)的一级极点，（4）z2,3,4，为f(z)的三级极点；（5）为f(z)的非孤立奇点。备注：给出全部奇点给5分，其他酌情给分。四、（本题14分）将函数1在以下地域内张开成罗朗级数；f(z)z2(z1)（1）0z11，（2）0z1，（3）1z解：（1）当0z11.优选文档f(z)11[1z2(z1)](z1)(z11)而[1][(1)n(z1)n](z11)n0(1)nn(z1)n1n0f(z)n0(1)n1n(z1)n2-------6分（2）当0z1f(z)11=1znz2(z1)z2(1z)z2n0zn2-------10分n0（3）当1zf(z)11z2(z1)31(1)zzf(z)1(1)n1------14分z3n0zn0zn3一．填空题（每题3分，共计15分）1．2,k01,2,242.Ln(1i)的主值是（1ln2i4）；23.f(z)1，f(7)(0)（0）；1z24．f(z)zsinz，Res[f(z),0]（0）；z3f(z)15．z2，Res[f(z),]（0）；.优选文档得分二．选择题（每题3分，共计15分）1．x2y2是剖析函数f(z)u(x,y)iv(x,y)的实部，则（A）；（A）f(z)2(xiy)；（B）f(z)2(xiy)；（C）f(z)2(yix)；（D）f(z)2(yix).2．C是正向圆周z2，若是函数f(z)（A），则f(z)dz0．C1sinz；（C）(z11（A）z1；（B）z3)2；（D）(z1)2.3．若是级数cnzn在z2i点收敛，则级数在(C)n1（A）z2点条件收敛；（B）z2i点绝对收敛；（C）z1i点绝对收敛；（D）z12i点必然发散．４．以下结论正确的选项是(C)（A）若是函数f(z)在z0点可导，则f(z)在z0点必然剖析；(B)若是fzdzf(z)C()0,其中C复平面内正向封闭曲线,则在C所围成的地域内必然剖析；（C）函数f(z)在z0点剖析的充分必要条件是它在该点的邻域内必然可以张开成为zz0的幂级数，而且张开式是唯一的；（D）函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在地域内剖析的充分必要条件是u(x,y)、v(x,y)在该地域内均为调停函数．5．以下结论不正确的选项是（C）．（A）lnz是复平面上的多值函数；（B）cosz是无界函数；（C）sinz是复平面上的有界函数；（D）ez是周期函数．得分三．按要求完成以下各题（每题10分，共计40分）（1）求a,b,c,d使f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2)是剖析函数，解：因为f(z)剖析，由C-R条件.优选文档uvuvxyyx2xaydx2yax2by2cxdy,a2,d2,，a2c,2bd,c1,b1,给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。（2）．1dz．其中C是正向圆周z2；Cz(z1)2解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗张开计算，仅给出用前者计算过程因为函数f(z)1在复平面内只有两个奇点z10,z21，分别以z1,z2为圆心画互不(z1)2z相交互不包含的小圆c1,c2且位于c内1121dz(z1)zdzC(z1)2zdzC2(z1)2zC12i(1)2i10zz1(z1)2z01（3）．计算z3ezdz，其中C是正向圆周z2；C(1z)解：设f(z)在有限复平面内全部奇点均在：z2内，由留数定理z2f(z)dz2iRes[f(z),]2ic1-----（5分）1z11z3ezz2ezz2(1111)(1111)(1z)1z2!z23!z3zz2z31z(z2z111)(1111)2!3!z4!z2zz2z3.优选文档c1(1111)832!3!zf(z)dz82i23(z21)(z2)3（4）函数f(z)(sinz)3在扩大复平面上有什么种类的奇点？，若是有极点，请指出它的级.f(z)的奇点为zk,k0,1,2,3,，zk,k0,1,2,3,30的三级零点，为（sinz）z1,为f(z)的二级极点，z2是f(z)的可去奇点，z0,2,3,4，为f(z)的三级极点；为f(z)的非孤立奇点。给出全部奇点给5分。其他酌情给分。得分四、（本题14分）将函数f(z)1在以下地域内张开成罗朗级数；z2(z1)（1）0z11，（2）0z1，（3）1z（1）0z11，（2）0z1，（3）1z解：（1）当0z11f(z)111]1)(z[z