【美赛尖端培训-数学建模-课件】第27节战斗机测评模型

战斗机选择问题研究问题重述选择战斗机，代测评或者购买的战斗机具有A1,A2,A3,A40E经确定的属性为：最高速度XJ大载荷X（103力）、价格X（106美元）、可靠性X3 4 5个属性的定量取值或者定性描述如下表所示。4种备选型号，分别是马赫）、航程X（103nmile）、最2、机动性X6。四种战斗机对6备选方案X1X2属性X3X4X5X6A121.5205.55中9很高A22.52.7186.53低5中A31.82214.57高7高A42.21.82055中5中请分别使用加权和法、加权积法、TOPSIS法计算方案对目标的权重。符号规定与基本假设.符号规定D 表示决策矩阵A 表示方案X 表示战斗机的相关属性W 表示权重.基本假设（1）战斗机的测评因素为以上6个;

(2)不考虑其他因素对战斗机使用的影响;(3)战斗机的排名选取因素仅供参考1.1.3模型分析与建立在正常情况下，区分上述指标最高速度X(马赫)、航程X(03nmile)、最1 2大载荷X(103lb)、价格X(106美元)、可靠性X、机动性X。其中，前四个为3 4 5 6费用属性，后两个为效用型的属性。通过对原属性值取倒数，将全部的属性转化为效益型属性可得决策矩阵D。如(1.1)式所示。「1 1 1 1「1 1 1 1u八〕— ——————592 1.5205.51 111cL _ 35D=2.52.7186.51 111rr———一——771.8 2 214.51 1 1 1LL———————55L2.2 1.820 5 」(1.1)再对决策矩阵进行比例尺度变换即决策矩阵标准化。主要分为以下三种形式，即归一化、最大化、模一化。归一化：R列所有向量的分量之和为1。r=——i— (1.2)j£di

i=1最大化：R列所有的向量的分量之和为1。r= i—— (1.3)ijmaxd...iji=1,2,,m模一化：R列所有列向量的模为1。dr=.i (1.4)Ugd2\iji=1决策矩阵D在经过上述式(1.2)、式(1.3)、式(1.4)之后，标准化之后分别化为：.归一化-0.26180.31860.24610.23990.25000.3462一r=0.20940.17700.27340.20300.15000.1923••j0.29090.23890.23440.29320.35000.26922.最大化_0.23800.26550.24610.26390.25000.1923_-0.90001.00000.90000.81820.71431.0000一r=0.72000.55561.00000.69230.42860.5556••j1.00000.75000.85711.00001.00000.77783.模一化_0.81820.83330.90000.90000.71430.5556_-0.51980.62430.49140.47570.48110.6708一r=0.41580.34680.54600.40250.28870.3727,•j0.57760.46820.46800.58140.67360.5217_0.47250.52030.49140.52320.48110.3727_完成数据标准化之后，需要确定属性权重。其中各个属性对决策目标的影响程度称为属性权重，简记为X1,X2,…,Xn的权重为>吗,...,匕且满足或*=1，i=1(W],W2,…,W6)T称为权向量。信息熵法属于典型的较为客观的方法。大多数决策中将按照归一化式所得到的各个列向量看作信息量的分布，各个方案中关于属性X,的熵为:E=-k力rlnr,k=1/Inm,j=1,2,•…，n (1.5)i=1当各个方案对某个Xj的属性值全部相同，即r广1/lnm(i=1,2,...,m)时，Ej1达到最大，这样的Xj对于辨别方案的优劣不起任何作用；当各方案对X,的属性值：只存在一个为1其余全部为0时，Ej0达到最小，这样的X,最能辨别方案的优劣。一般来说，属性值rj相差得越大，Ej越小，X,辨别方案优劣的作用越大。可定义F=1-E,0<F<1 (1.6)作为属性X的区分度。J且进一步将归一化得区分度取作属性Xj的权重',则攻=-J,j=1,2,…，n (1.7)J2nFjj=1根据上述三种方法可以计算出权重为.=10.0646,0.1901,0.145,0.0792,0.3681,0.2835]综合方法：在得到决策矩阵以及属性权重之后，使用多种方法将他们进行综合，按照决策者的需要确定一个最优化方案，即方案对目标的综合权重。加权和法：已知标准化决策矩阵R=«)以及属性权重'=(W1,吗,・・・,「上则方案Ai对于目标得权重匕是rj对、得加权和，即v=^nr'w (1.8)j=1上述式(1.8)可以简写为V=Rw (1.9)需要注意的是，对于决策矩阵采用不同的标准化方法会得到不同的结果。加权积法：将算术平均改为几何平均即将加权和改为加权积，对应的写法为v=可dwj (1.10)iijj=1TOPSIS法：将n个属性、m个方案得多属性决策放到n维空间种m个点的集合系统中进行处理。使用向量模一化对决策矩阵进行标准化再对其取欧式距离，从而每个点的坐标由各方案标准化之后的加权属性值确定。那么理论上的正理想解由所有可能的加权最优属性值，负理想解由所有可能的加权最劣属性值构成，在确定最优和最劣属性值时应区分效益型和费用型属性。选择相对接近度李定义距正理想解尽可能近、负理想解尽可能远的数量指标。一般的步骤为：1)将决策矩阵进行模一化之后的\乘以属性权重、，可得vi=rj、，可得矩阵0.03360.11870.00710.03770.17710.19020.03360.1187V=（匕.）=V=（匕.）=0.02690.03730.06590.00790.03190.10620.10570.08900.00680.04600.24790.14790.03050.09890.00710.04140.17710.10572)可以分别计算出正理想解和负理想解。v+=[0.0373,0.1187,0.0079,0.0460,0.2479,0.1902] (111)v-=[0.0269,0.0659,0.0068,0.0319,0.1062,0.1057] .3)方案与正理想解和负理想解的欧式距离都可以计算出来。S+=[0.0714,0.1741,0.0516,0.1123]S-=[0.1226,0.0011,0.1507,0.0788]S-4)定义方案A与正理想解的相对接近度为。+=,0<。+<1，则可以i i S++S- iii计算出C+=(C+,C+,C+)=(0.3519,0.0036,0.4148,0.2296)。i1 2 31.1.4模型的求解通过MATLAB进行编码计算：Clc,clearD=[1/21/1.51/201/5.559;1/2.51/2.71/181/6.535;1/1.81/21/211/4.577;1/2.21/1.81/201/555];[m,n/=size(D);%变量初始化R=zeros(m,n);E=zeros(1,n);F=E;%求解属性权 %归一化方法fori=1:nR(:ti)=D(:fi)/sum(D(:,i));end%每一属性的信息熵的确定forj=1:nfori=1:mE(j)=E(j)-1/log(m)*R(iij)*log(R(ifj));endend%属性区分度F=1-E;%属性权W=F/sum(F);%- %综合方法 %%R归一化加权和%V=R*W;%V=V/sum(V);%%R最大化加权和fori=1:nR(:,i)=D(:,i)/max(D(:,i));endV=R*卯;V=V/sum(V);%%加权积%V=ones(m,1);%fori=1:m% forj=1:n% V(i)=V(i)*D(i,j)^W(j);% end%end%V=V/sum(V);TOPSISClc,clearD=[1/21/1,51/201/5.559;1/2.51/2.71/181/6.535;1/1.81/21/211/4.577;1/2.21/1.81/201/555];[m,n]=size(D);%变量初始化R=zeros(m,n);%求解属性权 %变量初始化R=zeros(m,n);E=zeros(1,n);F=E;%求解属性权 %归一化方法fori=1:nR(:,i)=D(:,i)/sum(D(:,i));end%每一属性的信息熵的确定forj=1:nfori=1:mE(j)=E(j)-1/log(m)*R(iij)*log(R(itj));endend%属性区分度F=1-E;%属性权W=F/sum(F);%综合方法 %R模一化方法fori=1:nR(:,i)=D(:,i)/norm(D(:,i));endforj=1:nV(:J)=R(:J)*W(j);v1(j)=max(V(:,j));v2(j)=min(V(:,j));endfori=1:mS1(i)=norm(v1-V(i,:));S2(i)=norm(v2-V(i,:));C(i)=S2(i)/(S1(i)+S2(i));endC=C/sum(C);1.1.5结果分析可得最后计算结果为：表1.1计算结果选择方法选择方案加