时间序列经济学模型

第九章

时间序列计量经济学模型时间序列的平稳性及其检验随机时间序列分析模型协整分析与误差修正模型§9.1时间序列的平稳性及其检验一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型二、时间序列数据的平稳性三、平稳性的图示判断四、平稳性的单位根检验五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型

⒈常见的数据类型到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有：时间序列数据（time-seriesdata)截面数据(cross-sectionaldata)平行/面板数据（paneldata/time-seriescross-sectiondata)★时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据⒉经典回归模型与数据的平稳性经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致性”要求——被破怀。经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变量依概率收敛：(2)放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求：(1)X与随机扰动项不相关∶Cov(X,)=0

第（2）条是为了满足统计推断中大样本下的“一致性”特性：第（1）条是OLS估计的需要▲如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势），则（2）不成立，回归估计量不满足“一致性”，基于大样本的统计推断也就遇到麻烦。因此：注意：在双变量模型中：

表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性（有较高的R2)。例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。⒊数据非平稳，往往导致出现“虚假回归”问题在现实经济生活中，实际的时间序列数据往往是非平稳的，而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。

时间序列分析模型方法就是在这样的情况下，以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发展起来的全新的计量经济学方法论。时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内容，并广泛应用于经济分析与预测当中。二、时时间序序列数数据的的平稳稳性定义：：假定某某个时时间序序列是是由某某一随机过过程（stochasticprocess）生成成的，，即假假定时时间序序列{Xt}（t=1,2,……）的每每一个个数值值都是是从一一个概概率分分布中中随机机得到到，如如果满满足下下列条条件：：1）均值值E(Xt)=是与时时间t无关的的常数数；2）方差差Var(Xt)=2是与时时间t无关的的常数数；3）协方方差Cov(Xt,Xt+k)=k是只与时时期间间隔k有关，，与时时间t无关的的常数数；则称该该随机机时间间序列列是平稳的的（stationary)，而该该随机机过程程是一一平稳随随机过过程（stationarystochasticprocess）。．一个最最简单单的随随机时时间序序列是是一具具有零零均值值同方方差的的独立立分布布序列列：Xt=t，t~N(0,2)该序列列常被被称为为是一一个白噪声声（whitenoise）。由于Xt具具有相相同的的均值值与方方差，，且协协方差差为零零,由由定义义,一个白白噪声声序列列是平平稳的的。．另一个个简单单的随随机时时间列列序被被称为为随机游游走（（randomwalk）），该序列列由如如下随随机过过程生生成：：Xt=Xt-1+t这里，，t是一个个白噪噪声。。容易知知道该该序列列有相相同的的均值值：E(Xt)=E(Xt-1)为了检检验该该序列列是否否具有有相同同的方方差，，可假假设Xt的的初值值为X0，，则易易知:X1=X0+1X2=X1+2=X0+1+2………Xt=X0+1+2+…+t由于X0为常数数，t是一个个白噪噪声，，因此此:Var(Xt)=t2即Xt的方差差与时时间t有关而而非常常数，，它是是一非非平稳稳序列列。然而而，，对对X取取一阶阶差差分分（firstdifference）:Xt=Xt-Xt-1=t由于于t是一一个个白白噪噪声声，，则则序序列列{Xt}是平平稳稳的的。。后面面将将会会看看到到:如果果一一个个时时间间序序列列是是非非平平稳稳的的，，它它常常常常可可通通过过取取差差分分的的方方法法而而形形成成平平稳稳序序列列。事实实上上，，随机机游游走走过过程程是下下面面我我们们称称之之为为1阶阶自自回回归归AR(1)过过程程的特特例例:Xt=Xt-1+t不难难验验证证:1)||>1时时，，该该随随机机过过程程生生成成的的时时间间序序列列是是发发散散的的，，表表现现为为持持续续上上升升(>1)或或持持续续下下降降(<-1)，，因因此此是是非非平平稳稳的的；；2)=1时时，，是是一一个个随随机机游游走走过过程程，，也也是是非非平平稳稳的的。§9.2中中将将证证明明:只有有当当-1<<1时，，该该随随机机过过程程才才是是平平稳稳的的。。1阶阶自自回回归归过过程程AR(1)又是是如如下下k阶阶自自回回归归AR(K)过过程程的特特例例：：Xt=1Xt-1+2Xt-2…+kXt-k该随随机机过过程程平平稳稳性性条条件件将将在在第第二二节节中中介介绍绍。。三、、平平稳稳性性检检验验的的图图示示判判断断给出出一一个个随随机机时时间间序序列列，，首首先先可可通通过过该该序序列列的的时间间路路径径图图来粗粗略略地地判判断断它它是是否否是是平平稳稳的的。。一个个平稳稳的的时时间间序序列列在图图形形上上往往往往表表现现出出一一种种围围绕绕其其均均值值不不断断波波动动的的过过程程。。而非平平稳稳序序列列则往往往往表表现现出出在在不不同同的的时时间间段段具具有有不不同同的的均均值值（（如如持持续续上上升升或或持持续续下下降降））。。进一一步步的的判判断断:检验验样样本本自自相相关关函函数数及及其其图图形形定义义随随机机时时间间序序列列的的自相相关关函函数数（autocorrelationfunction,ACF）如如下下：k=k/0自相相关关函函数数是是关关于于滞滞后后期期k的的递递减减函函数数(Why?)。。实际际上上,对对一一个个随随机机过过程程只只有有一一个个实实现现（（样样本本）），，因因此此，，只只能能计计算算样本本自自相相关关函函数数（Sampleautocorrelationfunction））。。一个个时时间间序序列列的的样样本本自自相相关关函函数数定定义义为为：：易知知，，随随着着k的的增增加加，，样样本本自自相相关关函函数数下下降降且且趋趋于于零零。。但但从从下下降降速速度度来来看看，，平平稳稳序序列列要要比比非非平平稳稳序序列列快快得得多多。。注意意:确定定样样本本自自相相关关函函数数rk某一一数数值值是是否否足足够够接接近近于于0是是非非常常有有用用的的，，因因为为它它可可检验验对对应应的的自自相相关关函函数数k的真真值值是是否否为为0的的假假设设。。Bartlett曾曾证证明明:如如果果时时间间序序列列由由白白噪噪声声过过程程生生成成，，则则对对所所有有的的k>0，，样样本本自自相相关关系系数数近近似似地地服服从从以以0为为均均值值，，1/n为为方方差差的的正正态态分分布布，，其其中中n为为样样本本数数。。也可可检检验验对对所所有有k>0，，自自相相关关系系数数都都为为0的的联联合合假假设设，，这这可可通通过过如如下下QLB统统计计量量进进行行：：该统统计计量量近近似似地地服服从从自自由由度度为为m的的2分布布（（m为为滞滞后后长长度度））。。因此此:如果果计计算算的的Q值值大大于于显显著著性性水水平平为为的临界值值，则有有1-的把握拒拒绝所有有k(k>0)同时时为0的的假设。。序序列Random1是是通过一一随机过过程（随随机函数数）生成成的有19个样样本的随随机时间间序列。。容易验证证：该样本序序列的均均值为0，方差差为0.0789。从图形看看：它在其样样本均值值0附近近上下波波动，且且样本自自相关系系数迅速速下降到到0，随随后在0附近波波动且逐逐渐收敛敛于0。。由于该序序列由一一随机过过程生成成，可以以认为不不存在序序列相关关性，因因此该序列为为一白噪噪声。根据Bartlett的理论论：k~N(0,1/19)，因此任一一rk(k>0)的95%的的置信区区间都将将是:可以看出出:k>0时，，rk的值确实实落在了了该区间间内，因因此可以以接受k(k>0)为为0的假假设。同样地，从QLB统计量量的计算算值看，，滞后17期的的计算值值为26.38，未超超过5%显著性性水平的的临界值值27.58，，因此,可以接接受所有有的自相相关系数数k(k>0)都都为0的的假设。。因此，该随机过过程是一一个平稳稳过程。。序列Random2是是由一随随机游走走过程Xt=Xt-1+t生成的一一随机游游走时间间序列样样本。其其中，第第0项取取值为0，t是由Random1表表示的白白噪声。。图形表示示出：该序列具具有相同同的均值值，但从从样本自自相关图图看，虽虽然自相相关系数数迅速下下降到0，但随随着时间间的推移移，则在在0附近近波动且且呈发散散趋势。。样本自相相关系数数显示：r1=0.48，落落在了区区间[-0.4497,0.4497]之外，，因此在在5%的的显著性性水平上上拒绝1的真值为为0的假假设。该随机游游走序列列是非平平稳的。。例9.1.4检验中国国支出法法GDP时间序序列的平平稳性。表9.1.21978~2000年中中国支出出法GDP（单单位：亿亿元）图形：表表现出了了一个持持续上升升的过程程，可初步步判断是非平稳稳的。样本自相相关系数数：缓慢慢下降，再次表表明它的的非平稳性。从滞后18期的的QLB统计量量看：QLB(18)=57.18>28.86=20.05拒绝：该时间间序列的的自相关关系数在在滞后1期之后后的值全全部为0的假设设。结论:1978—2000年年间中国国GDP时间序序列是非非平稳序序列。例9.1.5检验§2.10中关于于人均居居民消费费与人均均国内生生产总值值这两时时间序列列的平稳稳性。原图样样本自自相关图图从图形上上看：人均居民民消费（（CPC）与人人均国内内生产总总值（GDPPC）是非平稳稳的。从滞后14期的的QLB统计量看看：CPC与与GDPPC序序列的统统计量计计算值均均为57.18，超过过了显著著性水平平为5%时的临临界值23.68。再再次表明它们们的非平平稳性。。就此来说说，运用用传统的的回归方方法建立立它们的的回归方方程是无无实际意意义的。。不过，§9.3中将看到到，如果果两个非非平稳时时间序列列是协整的，则则传统统的回回归结结果却却是有有意义义的，，而这这两时时间序序列恰恰是协整的。四、平平稳性性的单单位根根检验验（unitroottest）1、DF检检验随机游游走序序列:Xt=Xt-1+t是非平平稳的的，其其中t是白噪噪声。。而该该序列列可看看成是是随机机模型型:Xt=Xt-1+t中参数数=1时的情情形。。（*））式可可变形形式成成差分分形式式：Xt=(1-)Xt-1+t=Xt-1+t(**)检验（（*））式是是否存存在单单位根根=1，，也可可通过过（**））式判判断是是否有有=0。。对式：：Xt=Xt-1+t（（*））进行回回归，，如果果确实实发现现=1，，就说说随机机变量量Xt有一一个单位根根。一般地地:检验一一个时时间序序列Xt的的平稳稳性，，可通通过检检验带带有截截距项项的一一阶自自回归归模型型：Xt=+Xt-1+t（（*））中的参参数是否小小于1。或者：：检验其其等价价变形形式：：Xt=+Xt-1+t（（**）中的参参数是否小小于0。。在第二二节中中将证证明，，（*）式式中的的参数数>1或或=1时时，时时间序序列是是非平平稳的的;对对应应于（（**）式式，则则是>0或或=0。因此，，针对对式：：Xt=+Xt-1+t我们关关心的的检验验为：零假设设H0：：=0。备择假假设H1：<0上述检检验可可通过过OLS法法下的的t检检验完完成。。然而，，在零零假设设（序序列非非平稳稳）下下，即即使在在大样样本下下t统统计量量也是是有偏偏误的的（向向下偏偏倚）），通通常的的t检检验验无法法使用用。Dicky和和Fuller于于1976年年提提出出了了这这一一情情形形下下t统统计计量量服服从从的的分分布布（（这这时时的的t统统计计量量称称为为统计计量量），，即DF分分布布（见见表））。。由于于t统统计计量量的的向向下下偏偏倚倚性性，，它它呈呈现现围围绕绕小小于于零零值值的的偏偏态态分分布布。。因此此，，可可通通过过OLS法法估估计计：：Xt=+Xt-1+t并计计算算t统统计计量量的的值值，，与与DF分分布布表表中中给给定定显显著著性性水水平平下下的的临临界界值值比比较较：：如果果：：t<临临界界值值，，则则拒拒绝绝零零假假设设H0：=0，，认为为时时间间序序列列不不存存在在单单位位根根，，是是平平稳稳的的。。注意意：：在在不不同同的的教教科科书书上上有有不不同同的的描描述述，，但但是是结结果果是是相相同同的的。。例如如：：““如如果果计计算算得得到到的的t统统计计量量的的绝绝对对值值大大于于临临界界值值的的绝绝对对值值，，则则拒拒绝绝ρρ=0””的的假假设设，，原原序序列列不不存存在在单单位位根根，，为为平平稳稳序序列列。。问题题的的提提出出：：在利利用用Xt=+Xt-1+t对时间序序列进行行平稳性性检验中中，实际上假定了时时间序列列是由具具有白噪噪声随机机误差项项的一阶阶自回归归过程AR(1)生成成的。但在实际际检验中中，时间序序列可能能由更高高阶的自自回归过过程生成成的，或或者随机机误差项项并非是是白噪声声，这样用OLS法法进行估估计均会会表现出出随机误误差项出出现自相相关（autocorrelation），导致DF检验无无效。2、ADF检验验另外，如果时间间序列包包含有明明显的随随时间变变化的某某种趋势势（如上上升或下下降），，则也容容易导致致上述检检验中的的自相关随随机误差差项问题题。为了保证证DF检检验中随随机误差差项的白白噪声特特性，Dicky和Fuller对对DF检检验进行行了扩充充，形成成了ADF（（AugmentDickey-Fuller）检检验。ADF检检验是通通过下面面三个模模型完成成的：模型3中中的t是时间间变量，代表了时时间序列列随时间间变化的的某种趋趋势（如如果有的的话）。。模型1与另两两模型的的差别在在于是否否包含有有常数项项和趋势势项。检验的假假设都是是：针对对H1:<0,检检验H0：=0，即即存在一一单位根根。实际检验验时从模模型3开开始，然然后模型型2、模模型1。。何时检验验拒绝零零假设，，即原序序列不存存在单位位根，为为平稳序序列，何何时检验验停止。。否则，，就要继继续检验验，直到到检验完完模型1为止。。检验原理理与DF检检验相同同，只是是对模型型1、2、3进进行检验验时，有有各自相相应的临临界值。。给给出了三三个模型型所使用用的ADF分布布临界值值表。2.202.182.172.162.162.162.612.562.542.532.522.522.972.892.862.842.832.833.413.283.223.193.183.182550100250500〉500-2.62-2.60-2.58-2.57-2.57-2.57-3.00-2.93-2.89-2.88-2.87-2.86-3.33-3.22-3.17-3.14-3.13-3.12-3.75-3.58-3.51-3.46-3.44-3.432550100250500〉5002-1.60-1.61-1.61-1.61-1.61-1.61-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-2.26-2.25-2.24-2.23-2.23-2.23-2.66-2.62-2.60-2.58-2.58-2.582550100250500〉50010.100.050.0250.01样本容量量统计量模型不不同模型型使用的的ADF分布临临界值表表ststat2.392.382.382.382.382.382.852.812.792.792.782.783.253.183.143.123.113.113.743.603.533.493.483.462550100250500〉5002.772.752.732.732.722.723.203.143.113.093.083.083.593.423.423.393.383.384.053.873.783.743.723.712550100250500〉500-3.24-3.18-3.15-3.13-3.13-3.12-3.603.50-3.45-3.43-3.42-3.41-3.95-3.80-3.73-3.69-3.68-3.66-4.38-4.15-4.04-3.99-3.98-3.962550100250500〉50030.100.050.0250.01样本容容量统计量量模型续表：不不同模模型使使用的的ADF分分布临临界值值表statbt同时估估计出出上述述三个个模型型的适适当形形式，，然后后通过过ADF临临界值值表检检验零假设设H0：=0。1）只要其其中有有一个个模型型的检检验结结果拒拒绝了了零假假设，，就可可以认认为时时间序序列是是平稳稳的；；一个简简单的的检验验过程程：2）当三个个模型型的检检验结结果都都不能能拒绝绝零假假设时时，则则认为为时间间序列列是非非平稳稳的。。这里所所谓模型适适当的的形式式就是在在每个个模型型中选选取适适当的的滞后后差分分项，，以使使模型型的残残差项项是一一个白白噪声声（主主要保保证不不存在在自相相关））。例9.1.6检验1978~2000年间间中国国支出出法GDP序列列的平平稳性性。1）经过偿偿试，，模型型3取取了2阶滞滞后：：通过拉格朗朗日乘乘数检检验（Lagrangemultipliertest）对随机机误差差项的的自相相关性性进行行检验验：LM（（1））=0.92，，LM（2）=4.16，小于5%显显著性性水平平下自自由度度分别别为1与2的2分布布的临临界值值，可可见不不存在在自相相关性性，因因此该该模型型的设设定是是正确确的。。从的系系数数看看，，t>临临界界值值，，不不能能拒拒绝绝存存在在单单位位根根的的零零假假设设。。时间间T的的t统统计计量量小小于于ADF分分布布表表中中的的临临界界值值，，因因此此不能能拒拒绝绝不不存存在在趋趋势势项项的的零零假假设设。需进进一一步步检检验验模模型型2。2））经经试试验验，，模模型型2中中滞滞后后项项取取2阶阶：：LM检检验验表表明明模模型型残残差差不不存存在在自自相相关关性性，，因因此此该该模模型型的的设设定定是是正正确确的的。。从GDPt-1的的参参数数值值看看，，其其t统统计计量量为为正正值值，，大大于于临临界界值值，不能能拒拒绝绝存存在在单单位位根根的的零零假假设设。常数数项项的的t统统计计量量小小于于AFD分分布布表表中中的的临临界界值值，不能能拒拒绝绝不不存存常常数数项项的的零零假假设设。。需进进一一步步检检验验模模型型1。。3)经经试试验验，，模模型型1中滞滞后后项项取取2阶：LM检检验验表表明明模模型型残残差差项项不不存存在在自自相相关关性性，，因因此此模模型型的的设设定定是是正正确确的的。。从GDPt-1的的参参数数值值看看，，其其t统统计计量量为为正正值值，，大大于于临临界界值值，，不能能拒拒绝绝存存在在单单位位根根的的零零假假设设。。可断断定定中中国国支支出出法法GDP时时间间序序列列是是非非平平稳稳的的。。例检验验§2.10中中关关于于人人均均居居民民消消费费与与人人均均国国内内生生产产总总值值这这两两时时间间序序列列的的平平稳稳性性。。1)对对中国国人人均均国国内内生生产产总总值值GDPPC来说说，，经经过过偿偿试试，，三三个个模模型型的的适适当当形形式式分分别别为为：：三个个模模型型中中参参数数的的估估计计值值的的t统统计计量量均均大大于于各各自自的的临临界界值值，，因因此此不能能拒拒绝绝存存在在单单位位根根的的零零假假设设。结论论：：人均均国国内内生生产产总总值值（（GDPPC））是是非非平平稳稳的的。。2））对对于于人均均居居民民消消费费CPC时间间序序列列来来说说，，三三个个模模型型的的适适当当形形式式为为：三个模型中中参数CPCt-1的t统计量量的值均比比ADF临临界值表中中各自的临临界值大，不能拒绝该该时间序列列存在单位位根的假设设，因此,可判断人均均居民消费费序列CPC是非平平稳的。五、单整、、趋势平稳稳与差分平平稳随机过过程随机游走序序列Xt=Xt-1+t经差分后等等价地变形形为Xt=t，由于t是一个白噪噪声，因此此差分后的序序列{Xt}是平稳的的。如果一个时时间序列经经过一次差差分变成平平稳的，就就称原序列列是一阶单整（integratedof1）序列，记为I(1)。。⒈单整一般地，如如果一个时时间序列经经过d次差分后变变成平稳序序列，则称称原序列是是d阶单整（integratedofd）序列，记为I(d)。显然，I(0)代表一平稳稳时间序列列。现实经济生生活中:1)只有少少数经济指指标的时间间序列表现现为平稳的的，如利率等;2)大多数数指标的时时间序列是是非平稳的的，如一些价格格指数常常常是2阶单单整的，以以不变价格格表示的消消费额、收收入等常表表现为1阶阶单整。大多数非平平稳的时间间序列一般般可通过一一次或多次次差分的形形式变为平平稳的。但也有一些些时间序列列，无论经经过多少次次差分，都都不能变为为平稳的。。这种序列列被称为非单整的（（non-integrated）。例9.1.8中国支出法法GDP的的单整性。。经过试算，，发现中国支出法法GDP是是1阶单整整的，适当的检验验模型为：：例9.1.9中国人均居居民消费与与人均国内内生产总值值的单整性性。经过试算，，发现中国人均国国内生产总总值GDPPC是2阶单整的的，适当的检验验模型为：：同样地，CPC也是是2阶单整整的，适当的检验验模型为：：⒉趋势平稳与与差分平稳稳随机过程程前文已指出出，一些非非平稳的经经济时间序序列往往表表现出共同同的变化趋趋势，而这这些序列间间本身不一一定有直接接的关联关关系，这时时对这些数数据进行回回归，尽管管有较高的的R2，但其结果果是没有任任何实际意意义的。这这种现象我我们称之为为虚假回归或伪回归（spuriousregression）。如：用中国国的劳动力力时间序列列数据与美美国GDP时间序列列作回归，，会得到较较高的R2，但不不能认为两两者有直接接的关联关关系，而只只不过它们们有共同的的趋势罢了了，这种回回归结果我我们认为是是虚假的。。为了避免这种种虚假回归的的产生，通常常的做法是引引入作为趋势势变量的时间间，这样包含含有时间趋势势变量的回归归，可以消除除这种趋势性性的影响。然而这种做法法，只有当趋趋势性变量是是确定性的（deterministic）而非随机性的（stochastic）），才会是有效的的。换言之，如果一个包含含有某种确定定性趋势的非非平稳时间序序列，可以通通过引入表示示这一确定性性趋势的趋势势变量，而将将确定性趋势势分离出来。。1)如果=1，=0，则（*）式成成为一带位移的随随机游走过程程：Xt=+Xt-1+t（**）根据的正负，Xt表现出明显的的上升或下降降趋势。这种种趋势称为随机性趋势（（stochastictrend）。考虑如下的含含有一阶自回回归的随机过过程：Xt=+t+Xt-1+t（*）其中:t是一白噪声，，t为一时间间趋势。2)如果=0，0，则（*）式成为一带时时间趋势的随随机变化过程程：Xt=+t+t（***）根据的正负，Xt表现出明显的的上升或下降降趋势。这种种趋势称为确定性趋势（（deterministictrend））。3)如果=1，0，则Xt包含含有确定性与随机机性两种趋势势。判断一个非平平稳的时间序序列，它的趋趋势是随机性性的还是确定定性的，可通通过ADF检检验中所用的的第3个模型型进行。该模型中已引引入了表示确确定性趋势的的时间变量t，即分离出出了确定性趋趋势的影响。。因此：(1)如果检检验结果表明明所给时间序序列有单位根根，且时间变变量前的参数数显著为零，，则该序列显显示出随机性性趋势;(2)如果没没有单位根，，且时间变量量前的参数显显著地异于零零，则该序列列显示出确定定性趋势。随机性趋势势可通过差差分的方法法消除例如：对式式：Xt=+Xt-1+t可通过差分分变换为：：Xt=+t该时间序列列称为差分平稳过过程（differencestationaryprocess））；确定性趋势势无法通过过差分的方方法消除，，而只能通通过除去趋趋势项消除除例如：对式式：Xt=+t+t可通过除去去t变换为：：Xt－t=+t该时间序列列是平稳的的，因此称称为趋势平稳过过程（trendstationaryprocess）。。最后需要说说明的是，，趋势平稳过过程代表了了一个时间间序列长期期稳定的变变化过程，，因而用于于进行长期期预测则是是更为可靠靠的。§9.2随随机时间间序列分析析模型一、时间序列模模型的基本本概念及其其适用性二、随机时间序序列模型的的平稳性条条件三、随机时间序序列模型的的识别四、随机时间序序列模型的的估计五、随机时间序序列模型的的检验说明经典计量经经济学模型型与时间序序列模型确定性时间间序列模型型与随机性性时间序列列模型一、时间序序列模型的的基本概念念及其适用用性1、时间序序列模型的的基本概念念随机时间序序列模型（（timeseriesmodeling）是指仅用它它的过去值值及随机扰扰动项所建建立起来的的模型，其其一般形式式为:Xt=F(Xt-1,Xt-2,…,t)建立具体的的时间序列列模型，需需解决如下下三个问题题：(1)模型型的具体形形式(2)时序序变量的滞滞后期(3)随机机扰动项的的结构例如，取线线性方程、、一期滞后后以及白噪噪声随机扰扰动项（t=t），模型将将是一个1阶自回归归过程AR(1)：Xt=Xt-1+t，这里，t特指一白噪声。一般的p阶自回归归过程AR(p)是Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(*)(1)如果果随机扰动动项是一个个白噪声(t=t)，则称(*)式为为一纯AR(p)过程（（pureAR(p)process），记为:Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(2)如果果t不是一个个白噪声，，通常认为为它是一个个q阶的移动平均（（movingaverage）过过程MA(q)：t=t-1t-1-2t-2--qt-q该式给出了了一个纯MA(q)过程（pureMA(p)process）。将纯AR(p)与纯纯MA(q)结合，，得到一个个一般的自回归移动动平均（autoregressivemovingaverage）过程ARMA（p,q）：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t-1t-1-2t-2--qt-q该式表明：：（1）一个个随机时间间序列可以以通过一个个自回归移移动平均过过程生成，，即该序列可可以由其自自身的过去去或滞后值值以及随机机扰动项来来解释。（2）如果果该序列是是平稳的，即它的行为为并不会随随着时间的的推移而变变化，那么我们就就可以通过过该序列过过去的行为为来预测未未来。这也正是随随机时间序序列分析模模型的优势势所在。经典回归模模型的问题题：迄今为止，，对一个时间间序列Xt的变动进进行解释或或预测，是是通过某个个单方程回回归模型或或联立方程程回归模型型进行的，，由于它们们以因果关关系为基础础，且具有有一定的模模型结构，，因此也常常称为结构式模型型（structuralmodel）。2、时间序序列分析模模型的适用用性然而，如果Xt波波动的主要要原因可能能是我们无无法解释的的因素，如如气候、消消费者偏好好的变化等等，则利用用结构式模模型来解释释Xt的变变动就比较较困难或不不可能，因因为要取得得相应的量量化数据，，并建立令令人满意的的回归模型型是很困难难的。有时，即使能估计出出一个较为满满意的因果关关系回归方程程，但由于对对某些解释变变量未来值的的预测本身就就非常困难，，甚至比预测测被解释变量量的未来值更更困难，这时时因果关系的的回归模型及及其预测技术术就不适用了了。例如，时间序列过去去是否有明显显的增长趋势势，如果增长趋势势在过去的行行为中占主导导地位，能否否认为它也会会在未来的行行为里占主导导地位呢？或者时间序列列显示出循环环周期性行为为，我们能否利用用过去的这种种行为来外推推它的未来走走向？另一条预测途途径：通过时间序列列的历史数据据，得出关于于其过去行为为的有关结论论，进而对时时间序列未来来行为进行推推断。随机时间序列列分析模型，，就是要通过过序列过去的的变化特征来来预测未来的的变化趋势。使用时间序列列分析模型的的另一个原因因在于：如果经济理论论正确地阐释释了现实经济济结构，则这这一结构可以以写成类似于于ARMA(p,q)式式的时间序列列分析模型的的形式。例如，对于如下最简简单的宏观经经济模型：这里，Ct、It、Yt分别表示消费费、投资与国国民收入。Ct与Yt作为内生变量量，它们的运运动是由作为为外生变量的的投资It的运动及随机机扰动项t的变化决定的的。上述模型可作作变形如下：两个方程等式式右边除去第第一项外的剩剩余部分可看看成一个综合合性的随机扰扰动项，其特特征依赖于投投资项It的行为。如果It是一个白噪声声，则消费序列列Ct就成为一个1阶自回归过过程AR(1)，而收入序列列Yt就成为一个(1,1)阶阶的自回归移移动平均过程程ARMA(1,1)。二、随机时间间序列模型的的平稳性条件件自回归移动平平均模型（ARMA）是是随机时间序序列分析模型型的普遍形式式，自回归模模型（AR））和移动平均均模型（MA）是它的特特殊情况。关于这几类模模型的研究，，是时间序列分析析的重点内容容：主要包括模型的平稳性性分析、模型的识别和模型的估计。1、AR(p)模型的平平稳性条件随机时间序列列模型的平稳稳性，可通过它所生生成的随机时时间序列的平平稳性来判断断。如果一个p阶自回归模型型AR(p)生成的时间间序列是平稳稳的，就说该该AR(p)模型是平稳稳的。否则，就说该该AR(p)模型是非平平稳的。考虑p阶自回回归模型AR(p)Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(*)引入滞后算子（lagoperator）L：LXt=Xt-1,L2Xt=Xt-2,…,LpXt=Xt-p(*)式变换换为：(1-1L-2L2-…-pLp)Xt=t记(L)=(1-1L-2L2-…-pLp),则称多项式方方程：(z)=(1-1z-2z2-…-pzp)=0为AR(p)的特征方程(characteristicequation)。可以证明，如如果该特征方方程的所有根根在单位圆外外（根的模大大于1），则则AR(p)模型是平稳稳的。例9.2.1AR(1)模模型的平稳性性条件。对1阶自回归归模型AR(1)方程两边平方方再求数学期期望，得到Xt的方差：：由于Xt仅与t相关，因此，，E(Xt-1t)=0。如果该模型型稳定，则有有E(Xt2)=E(Xt-12)，从而上式可可变换为：在稳定条件下下，该方差是是一非负的常常数，从而有有||<1。而AR(1)的特征方程程：的根为：z=1/AR(1)稳稳定，即||<1，意意味着特征根根大于1。例9.2.2AR(2)模型的平稳性性。对AR(2)模型：方程两边同乘乘以Xt，再再取期望得：：又由于：于是：同样地，由原原式还可得到到：于是方差为：由平稳性的定定义，该方差差必须是一不不变的正数，，于是有1+2<1,2-1<1,|2|<1这就是AR(2)的平稳性条件件，或称为平稳域。它是一顶点分分别为（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角形。对应的特征方方程1-1z-2z2=0的两个根z1、z2满足：z1z2=-1/2,z1+z2=-1/2AR(2)模型：解出1，2：由AR(2)的平稳性，，|2|=1/|z1||z2|<1，则至少有一一个根的模大大于1，不妨妨设|z1|>1，有：于是|z2|>1。由2-1<1可推出同样的的结果。对高阶自回模模型AR(p)来说，多数情况下下没有必要要直接计算算其特征方方程的特征征根，但有有一些有用的的规则可用用来检验高高阶自回归归模型的稳稳定性：(1)AR(p)模型稳定的的必要条件件是：1+2++p<1(2)由于i(i=1,2,p)可正可可负，AR(p)模型稳定的的充分条件件是：|1|+|2|++|p|<1对于移动平平均模型MR(q)：Xt=t-1t-1-2t-2--qt-q其中t是一个白噪噪声，于是是：2、MA(q)模型的平稳稳性当滞后期大大于q时，Xt的的自协方差差系数为0。因此:有限阶移动动平均模型型总是平稳稳的。由于ARMA(p,q)模型是AR(p)模型与MA(q)模型的组合合：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t-1t-1-2t-2--qt-q3、ARMA(p,q)模型的平稳稳性而MA(q)模型总是平平稳的，因因此ARMA(p,q)模型的平稳稳性取决于于AR(p)部分的平稳稳性。当AR(p)部分平稳时时，则该ARMA(p,q)模型是平稳稳的，否则则，不是平平稳的。4、总结（1）一个平平稳的时间间序列总可可以找到生生成它的平平稳的随机机过程或模模型；（2）一个个非平稳的的随机时间间序列通常常可以通过过差分的方方法将它变变换为平稳稳的，对差差分后平稳稳的时间序序列也可找找出对应的的平稳随机机过程或模模型。因此，如果我们将将一个非平平稳时间序序列通过d次差分，，将它变为为平稳的，，然后用一一个平稳的的ARMA(p,q)模型作作为它的生生成模型，，则我们就就说该原始始时间序列列是一个自回归单整整移动平均均（autoregressiveintegratedmovingaverage）时间间序列，记记为ARIMA(p,d,q)。例如，一个ARIMA(2,1,2)时间序序列在它成成为平稳序序列之前先先得差分一一次，然后后用一个ARMA(2,2)模型作为为它的生成成模型的。。当然，一个ARIMA(p,0,0)过程表表示了一个个纯AR(p)平稳稳过程；一一个ARIMA(0,0,q)表示一一个纯MA(q)平平稳过程。。三、随机时时间序列模模型的识别别所谓随机时时间序列模模型的识别别，就是对于一一个平稳的的随机时间间序列，找找出生成它它的合适的的随机过程程或模型，即判断该该时间序列列是遵循一一纯AR过过程、还是是遵循一纯纯MA过程程或ARMA过程。。所使用的工工具主要是时间序列的的自相关函数数（autocorrelationfunction，ACF）及偏自相关函函数（partialautocorrelationfunction，PACF）。1、AR(p)过程程(1)自相相关函数ACF1阶自回归归模型AR(1)：：Xt=Xt-1+t的k阶滞后自协方差为：=1,2,…因此，AR(1)模型的自相关函数数为：=1,2,…由AR(1)的稳定性知知||<1，因此，k时，呈指数数形衰减，，直到零。这种现象称称为拖尾或称AR(1)有无穷记忆忆（infinitememory）。注意，<0时，呈振荡荡衰减状。Xt=1Xt-1+2Xt-2+t该模型的方方差0以及滞后1期与2期的自协方方差1,2分别为：２阶自回归归模型AR(2)类似地,可可写出一般般的k期滞后自协协方差：(K=2,3,…)于是,AR(2)的k阶自相关函函数为：(K=2,3,…)其中:1=1/(1-2),0=1如果AR(2)稳定，则则由1+2<1知|k|衰减趋于零零，呈拖尾状状。至于衰减的形形式，要看AR(2)特特征根的实虚虚性，若为实根，则则呈单调或振振荡型衰减，，若为虚根，，则呈正弦波波型衰减。一般地，p阶自回归模型型AR(p)：：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…pXt-p+tk期滞后协方差差为:从而有自相关函数:可见，无论k有多大大，k的计算均与其其１到p阶滞滞后的自相关关函数有关，因此呈拖尾状。如果AR(p)是稳定的的，则|k|递减且趋于于零。事实上，自相相关函数：是一p阶差分分方程，其通通解为：其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的的特征根，由由AR(p)平稳的条件件知，|zi|<1;因此，当1/zi均为实数根时时，k呈几何型衰减减（单调或振振荡）；当存在虚数根根时，则一对对共扼复根构构成通解中的的一个阻尼正正弦波项，k呈正弦波衰减减。（2）偏自相相关函数自相关函数ACF(k)给出了Xt与Xt-1的总体相关性性，但总体相相关性可能掩掩盖了变量间间完全不同的的隐含关系。。例如，在AR(1)随机过程中，，Xt与Xt-2间有相关性可可能主要是由由于它们各自自与Xt-1间的相关性带带来的:即自相关函数数中包含了这这种所有的““间接”相关关。与之相反，Xt与Xt-k间的偏自相关函数数(partialautocorrelation，，简记为PACF)则是消除了中中间变量Xt-1，…，Xt-k+1带来的间接相相关后的直接接相关性，它它是在已知序序列值Xt-1，…，Xt-k+1的条件下，Xt与Xt-k间关系的度量量。从Xt中去掉掉Xt-1的的影响，则只只剩下随机扰扰动项t，显然它与与Xt-2无无关，因此我我们说Xt与与Xt-2的的偏自相关系系数为零，记为：在AR(1)中，同样地，在AR(p)过程中，对所有的k>p，Xt与Xt-k间的偏自相关系数数为零。AR(p)的的一个主要特特征是:k>p时，k*=Corr(Xt,Xt-k)=0即k*在p以后是截尾的的。一随机时间序序列的识别原原则：若Xt的偏自相关函函数在p以后截尾，即即k>p时，k*=0，而它的的自相关函数数k是拖尾的，则则此序列是自自回归AR(p)序列。。在实际识别时时，由于样本本偏自相关函函数rk*是总体偏自相相关函数k*的一个估计，，由于样本的的随机性，当当k>p时，rk*不会全为0，而是在0的上下波动。。但可以证明明，当k>p时，rk*服从如下渐近近正态分布:rk*~N(0,1/n)式中n表示样本容量量。需指出的是，我们就有95.5%的把握判断原原时间序列在在p之后截尾。因此，如果计计算的rk*满足：对MA(1)过程：2、MA(q)过过程可容易地写出出它的自协方差系数数：于是，MA(1)过程的的自相关函数为：可见，当k>1时，，k>0，即Xt与Xt-k不相关，，MA(1)自相关函数数是截尾的。。MA(1)过过程可以等价价地写成t关于无穷序序列Xt，Xt-1，……的线性组合合的形式：或：（*）(*)是一个AR()过程，它的的偏自相关函函数非截尾但但却趋于零，，因此MA(1)的的偏自相关函函数是非截尾尾但却趋于零零的。注意:(*)式只有当||<1时才有意义，，否则意味着着距Xt越远远的X值，对Xt的的影响越大，，显然不符合合常理。因此，我们把||<1称为MA(1)的可逆性性条件（invertibilitycondition）或可逆逆域。其自协方差系数数为：一般地，q阶移动平均过过程MA(q)相应的自相关函数为：可见，当k>q时，Xt与Xt-k不相关，即存存在截尾现象象，因此，当k>q时，，k=0是MA(q)的一个个特征。于是：可以根据自相相关系数是否否从某一点开开始一直为0来判断MA(q)模型型的阶。与MA(1)相仿，可以以验证MA(q)过程的的偏自相关函函数是非截尾尾但趋于零的的。MA(q)模型的识别规规则：若随机序列的的自相关函数数截尾，即自自q以后，k=0（k>q）；而它它的偏自相关关函数是拖尾尾的，则此序序列是滑动平平均MA(q)序列。同样需要注意意的是：在实际识别别时，由于于样本自相相关函数rk是总体自相相关函数k的一个估计计，由于样样本的随机机性，当k>q时，rk不会全为0，而是在0的上下波动动。但可以以证明，当当k>q时，rk服从如下渐渐近正态分分布:rk~N(0,1/n)式中n表示示样本容量量。因此，如果计算的的rk满足：我们就有95.5%的把把握判断原原时间序列列在q之后截尾。ARMA(p,q)的自相关函函数，可以看作MA(q)的自相关函函数和AR(p)的自相关函函数的混合合物。当p=0时，它具有有截尾性质质；当q=0时，它具有有拖尾性质质；当p、q都不为0时，它具有有拖尾性质质3、ARMA(p,q)过过程从识别上看看，通常：：ARMA(p，q)过程的偏偏自相关函函数（PACF）可能在p阶阶滞后前有有几项明显显的尖柱（（spikes），，但从p阶阶滞后项开开始逐渐趋趋向于零；；而它的自相关关函数（ACF）则是在q阶阶滞后前有有几项明显显的尖柱，，从q阶滞滞后项开始始逐渐趋向向于零。四、随机时时间序列模模型的估计计AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估估计方法较较多，大体上分为为3类：（1）最小小二乘估计计；（2）矩估估计；（3）利用用自相关函函数的直接接估计。下面有选择择地加以介介绍。结构阶数模型识别确定估计参数⒈AR(p)模型型的YuleWalker方程估计计在AR(p)模型的识别别中，曾得得到：利用k=-k，得到如下下方程组：此方程组被被称为YuleWalker方程组。该方程组建建立了AR(p)模模型的模型型参数1,2,,p与自相关函函数1,2,,p的关系，利用实际时时间序列提提供的信息息，首先求求得自相关关函数的估估计值：然后利用YuleWalker方程组，，求解模型型参数的估估计值：由于：于是,从而可得2的估计值在具体计算算时，可用样本自自相关函数数rk替代。⒉MA(q)模型型的矩估计计将MA(q)模型的自协协方差函数数中的各个个量用估计计量代替，，得到：(*)首先求得自协方方差函数的的估计值，，(*)是一个包含含(q+1)个待估参数数的非线性方方程组，可可以用直接法或迭代法求解。常用的迭代代方法有线性迭代法法和Newton-Raphsan迭代法法。（1）MA(1)模模型的直接接算法对于MA(1)模型型，（*））式相应地地写成：于是：或：有：于是有解：：由于参数估估计有两组组解，可根根据可逆性性条件|1|<1来判断选取取一组。（2）MA(q)模模型的迭代代算法对于q>1的MA(q)模型型，一般用用迭代算法法估计参数数：由（*）式式得（**）第一步，给出的一组初值值，比如,代入（**）式，计算算出第一次次迭代值，第二步，将第一次次迭代值代代入（**）式，计算算出第二次次迭代值按此反复迭迭代下去，，直到第m步的迭代值值与第m-1步的迭代值值相差不大大时（满足足一定的精精度），便便停止迭代代，并用第第m步的迭代结结果作为（（**）的近似解解。⒊ARMA(p,q)模型型的矩估计计在ARMA(p,q)中共有有(p+q+1)个个待估参数数1,2,,p与1,2,,q以及2，其估计量计计算步骤及及公式如下下：第一步，估计1,2,,p是总体自相相关函数的的估计值，，可用样本本自相关函函数rk代代替。第二步，改写模型，，求1,2,,q以及2的估计值将模型：改写为：令，于是(*)可以写成：(*)构成一个MA模型。按照照估计MA模型参数的的方法，可可以得到1,2,,q以及2的估计值。。⒋AR(p)的最最小二乘估估计假设模型AR(p)的参数估计计值已经得得到，即有有，残差的平方方和为：(*)根据最小二二乘原理，，所要求的的参数估计计值是下列列方程组的的解：即，j=1,2,…,p(**)解该方程组组，就可得得到待估参参数的估计计值。为了与AR(p)模型的YuleWalker方程估计进进行比较，，将(**)改写成：j=1,2,…,p由自协方差差函数的定定义，并用用自协方差差函数的估估计值。代入，上式式表示的方方程组即为为：或