等式性质与不等式性质学案-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.1等式性质与不等式性质课程标准(1)会用不等式组表示不等关系．(2)能够用作差法比较两个数或式的大小．(3)掌握不等式的有关性质．(4)能利用不等式的性质证明不等式或解决范围问题．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一不等式与不等关系1．不等式的定义所含的两个要点(1)不等符号＜、≤❶、＞、≥❷或≠.(2)所表示的关系是________________．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于符号语言＞≥＜≤≤≥≥≤要点二实数大小比较的基本事实a>b⇔________；a＝b⇔________；a<b⇔________．❸要点三重要不等式∀a，b∈R，a2＋b2________2ab，当且仅当________时，等号成立．要点四等式性质与不等式性质的比较等式的性质不等式的性质a＝b⇔b＝aa>b⇔________a＝b，b＝c⇒a＝ca>b，b>c⇒________a＝b⇔a＋c＝b＋ca>b⇔________a＝b⇒ac＝bca>b，c>0⇒________；a>b，c<0⇒________❹a＝b，c＝d⇒a＋c＝b＋da>b，c>d⇒________❺a＝b，c＝d⇒ac＝bda>b>0，c>d>0⇒________a＝b≥0⇒an＝bna>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)助学批注批注❶不等符号“≤”是指“<”或者“＝”．批注❷不等符号“≥”是指“＞”或者“＝”．批注❸比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．批注❹要特别注意“乘数c的符号”．例如当c≠0时，若a>b，则ac2>bc2；若无c≠0这个条件，若a>b，则ac2>bc2就是错误的．批注❺同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)在一个不等式的两边同乘一个非零实数，不等式仍然成立．()(2)同向不等式具有可加性和可乘性．()(3)若两个数的比值大于1，则分子上的数就大于分母上的数．()(4)若a>b，则1a<12．某路段竖立的的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速vkm/h应满足的关系式为()A.v＜60B．v＞60C．v≤60D．v≥363．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A.M＞NB．M＝NC．M＜ND．与x有关4．用不等号填空．(1)如果a＞b＞0，那么1a2______(2)如果a＞b＞c＞0，那么ca______c题型探究·课堂解透——强化创新性题型1实数(式)的比较大小例1已知a＞0，试比较a与1a方法归纳用作差法比较两个实数大小的一般步骤巩固训练1(1)已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为()A．p＞qB．p≥qC．p＜qD．p≤q(2)已知b＞a＞0，m＞0，比较b+ma+m与b题型2利用不等式的性质判断命题的真假例2(1)[2022·山东青岛高一期末]已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，则下述一定正确的是()A．ae＞beB．c2＜d2C．ea−c+ed−b＞0D．(d－c(2)(多选)下列命题为真命题的有()A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则1a＜D．若a＞b＞0，c＜0则ca＞方法归纳判断与不等式有关命题真假的3种常用方法巩固训练2(1)已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是()A．ac2＞bc2B．ab＞b2C．1a＞1bD．b(2)(多选)下列命题正确的是()A．ca＜cb且c＞0⇒aB．a＞b且c＞d⇒ac＞bdC．a＞b＞0且c＞d＞0⇒ad＞D．ac2＞bc2题型3利用不等式的性质证明不等式例3若bc－ad≥0，bd＞0，求证：a+bb方法归纳利用不等式的性质证明不等式的策略巩固训练3若a＜b＜0，求证：ba＜a题型4利用不等式的性质求范围例4已知1<a<4，2<b<8.试求2a＋3b与a－b的取值范围．方法归纳利用不等式的性质求范围的策略巩固训练4已知1<a<6，3<b<4，求a－b，ab2．1等式性质与不等式性质新知初探·课前预习[教材要点]要点一1．(2)不等关系要点二a－b>0a－b＝0a－b<0要点三≥a＝b要点四b<aa>ca＋c>b＋cac>bcac<bca＋c>b＋dac>bd[基础自测]1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．答案：C3．解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝x+122＋34>0，所以答案：A4．解析：(1)∵a＞b＞0，∴a2＞b2＞0，∴1a2＜(2)∵a＞b＞0，∴0＜1a＜1又c＞0，∴ca＜c答案：(1)＜(2)＜题型探究·课堂解透例1解析：因为a－1a＝a2−1a＝所以当a＞1时，a−1a+1有a＞1a当a＝1时，a−1a+1a＝0，有a＝当0＜a＜1时，a−1a+1有a＜1a综上，当a＞1时，a＞1a当a＝1时，a＝1a当0＜a＜1时，a＜1a巩固训练1解析：(1)由题意，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p－q＝(a－1)(a－3)－(a－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4)＝－1<0，所以p－q<0，即p<q.(2)作差：b+ma+m−ba＝ab+am−ab−bmaa+m＝ma−baa+m.∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，a＋m答案：(1)C(2)见解析例2解析：(1)因为a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，所以ae＜be，c2＞d2，故A，B错误；－c＞－d＞0，所以a－c＞b－d＞0，所以1a−c＜1b−d，所以ea−c即ea−c对于D，若a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－12，e则(d－c)e＝2＝ab(2)选项A：当c＝0时，ac2＝bc2，判断错误；选项B:推导符合不等式性质，判断正确；选项C：1a−1b＝b−aab可知ab＞0，b－a＞0，则b−aab＞0，即1a＞选项D：ca−cb＝cb−a可知ab＞0，b－a＜0又有c＜0则cb−aab＞0，即ca答案：(1)C(2)BD巩固训练2解析：(1)当c＝0时，ac2＞bc2不成立，A错误．因为a＞b＞0，所以ab＞b2，1b＞1a，(2)A，ca＜cbc>0⇒1a＜1b；当a＜0，b＞0时，满足已知条件，但推不出a＞b，∴A错误；B，当a＝3，bC，a＞b＞0，c＞d＞0⇒ad＞bc＞0⇒ad＞D，显然c2＞0，∴两边同乘以c2得a＞b，∴D正确．答案：(1)B(2)CD例3证明：方法一：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)．又bd＞0，两边同除以bd，得a+bb方法二：∵a+bb−c+dd＝ad+bd−bc−bd∴a+bb巩固训练3证明：由于ba−ab＝∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，∴b+ab−aab＜0，故ba例4解析：∵1<a<4，2<b<8，∴2<2a<8，6<3b<24