云南省昆明市罗丈中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析

云南省昆明市罗丈中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点P到轴距离为，P到的距离为，则的最小值为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C2.下列叙述中，正确的个数是（）①命题p：“?x∈[2，+∞），x2﹣2≥0”的否定形式为￢p：“?x∈（﹣∞，2），x2﹣2＜0”；②O是△ABC所在平面上一点，若?=?=?，则O是△ABC的垂心；③在△ABC中，A＜B是cos2A＞cos2B的充要条件；④函数y=sin（2x+）sin（2x）的最小正周期是π．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】求出命题p的否定形式可判断①，由已知条件得到OB⊥AC，同理可得O是△ABC三条高线的交点可判断②，由二倍角公式和正弦定理可判断③，直接求出函数y=sin（2x+）sin（2x）的最小正周期可判断④．【解答】解：对于①，命题p：“?x∈[2，+∞），x2﹣2≥0”的否定形式为￢p：“?x∈[2，+∞），x2﹣2＜0”，故①错误；对于②，由?=?，得到，又，得，可得OB⊥AC，因此，点O在AC边上的高BE上，同理可得：O点在BC边上的高AF和AB边上的高CD上，即点O是△ABC三条高线的交点，因此，点O是△ABC的垂心，故②正确；对于③，在△ABC中，cos2A＞cos2B?1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B?sin2A＜sin2B?sinA＜sinB?a＜b?A＜B，∴“A＜B”是“cos2A＞cos2B”的充要条件，故③正确；对于④，y=sin（2x+）sin（2x）=，∴T==，故④错误．∴正确的个数是：2．故选：B．3.复平面上点P表示复数（其中i为虚数单位），点P坐标是

A.（1，0）B.（一1，0）C.（0，一1）D.（0，1）参考答案：C4.已知为实数，，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：B5.如图，椭圆的中心在坐标原点，顶点分别是，焦点为，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C6.过点（，0）引直线与曲线交于A,B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线的斜率等于（

）A.

B. C. D.参考答案：B略7.（5分）已知抛物线y2=8x的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3参考答案：B【考点】：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：先求出抛物线y2=8x的焦点坐标，由此得到双曲线的一个焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的离心率．解：∵抛物线y2=8x的焦点是（2，0），∴c=2，a2=4﹣1=3，∴e=．故选B．【点评】：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解．8.已知命题p：?x0∈R，ex﹣mx=0，q：?x∈R，x2+mx+1≥0，若p∨（?q）为假命题，则实数m的取值范围是(

) A．（﹣∞，0）∪（2，+∞） B．[0，2] C．R D．?参考答案：B考点：复合命题的真假．专题：函数的性质及应用．分析：根据复合函数的真假关系，确定命题p，q的真假，利用函数的性质分别求出对应的取值范围即可得到结论．解答： 解：若p∨（?q）为假命题，则p，?q都为假命题，即p是假命题，q是真命题，由ex﹣mx=0得m=，设f（x）=，则f′（x）==，当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数单调递递减，当x＜0时，f′（x）＜0，此时函数单调递递减，∴当x=1时，f（x）=取得极小值f（1）=e，∴函数f（x）=的值域为（﹣∞，0）∪[e，+∞），∴若p是假命题，则0≤m＜e；若q是真命题，则由x2+mx+1≥0，则△=m2﹣4≤0，解得﹣2≤m≤2，综上，解得0≤m≤2．故选：B．点评：本题主要考查复合命题之间的关系，利用函数的性质求出相应的取值范围是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．9.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：答案：B解析：不妨设椭圆方程为（a>b>0），则有，据此求出e＝，选B10.抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为（）A． B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的方程求出p即可得到结果．【解答】解：抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为：p=1．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆和圆是球的大圆和小圆，其公共弦长等于球的半径，则球的表面积等于

.参考答案：16π12.对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是参考答案：

解析：

，令，求出切线与轴交点的纵坐标为，所以，则数列的前项和13.数列{an}满足a1=2，an+1=an（n∈N*），则=．参考答案：【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{an}满足a1=2，an+1=an（n∈N*），可得=2?，=1．利用等比数列的通项公式可得：an=（n+1）?2n﹣1．再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵数列{an}满足a1=2，an+1=an（n∈N*），∴=2?，=1．∴=2n﹣1，即an=（n+1）?2n﹣1．设其前n项和为Sn，则Sn=2+3×2+4×22+…+（n+1）?2n﹣1．∴2Sn=2×2+3×22+…+n?2n﹣1+（n+1）?2n．∴﹣Sn=2+2+22+…+2n﹣1﹣（n+1）?2n=1+﹣（n+1）?2n．∴Sn=n?2n．则==．故答案为：．14.在中，为边上的一点，，，，若，则

.参考答案：15.在等差数列中,，则的最大值为____________.参考答案：16.已知是定义在上以2为周期的偶函数，且当时，，则=___________．参考答案：略17.已知集合，，则集合的真子集的个数为

．参考答案：15

考点：集合的包含关系．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在数列中，已知（1）设，求证：数列是等比数列;（2）求数列的前项和参考答案：（1）……………5分

且

为以1为首项，以4为公比的等比数列

……7分

（2）由（1）得

…8分

，……10分

…13分19.（本小题满分12分）已知函数,（）（Ⅰ）当时，求在区间上的最大值和最小值；（Ⅱ）若对，恒成立，求的取值范围．参考答案：（Ⅰ）函数的定义域为

1分当时，，；

2分

当,有；当，有，∴在区间[，1]上是增函数，在[1，e]上为减函数，

3分

又，，∴，.

4分（Ⅱ），则的定义域为（0，+∞）.

①

5分

①若，令，得极值点，，

当，即时，在（，1)上有，在（1，)上有，在（，+∞)上有，此时在区间(，+∞)上是增函数，并且在该区间上有∈(，)，不合题意；

8分当，即时，同理可知，在区间(1，)上，有∈(，)，也不合题意；

9分②若，则有，此时在区间(1，+∞)上恒有，从而在区间(1，+∞)上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是.

综合①②可知，当时，对，恒成立.

12分

20.（本小题满分10分）选修4-—4：坐标系与参数方程已知坐标系中的极点与直角坐标系中的坐标原点重合，极轴与轴的正半轴重合，且两个坐标系选用相同的单位长度．曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程，并指明它是什么曲线；（Ⅱ）已知直线的参数方程为（为参数，），当直线与相切（即与只有一个交点）时，求．参考答案：解：（Ⅰ）由．即曲线的直角坐标方程为，它是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆．……5分（Ⅱ）将代入得

①依题意①式的判别式而或．

……10分21.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，，E为线段PB的中点．（1）若F为线段BC上的动点，证明：平面平面；（2）若F为线段BC，CD，DA上的动点（不含A，B），，三棱锥的体积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．参考答案：（1）证明见解析；（2）存在，.【分析】(1)利用,可得平面,根据面面垂直的判定定理可证平面平面;(2)由底面，得平面平面．将问题转化为点到直线的距离有无最大值即可解决.【详解】（1）证明:因为，为线段的中点，所以,因为底面，平面，所以,又因为底面为正方形，所以，,所以平面,因为平面，所以,因为，所以平面,因为平面，所以平面平面.（2）由底面，则平面平面,所以点到平面的距离（三棱锥的高）等于点到直线的距离,因此，当点在线段，上运动时，三棱锥的高小于或等于2,当点在线段上运动时,三棱锥的高为2,因为的面积为,所以当点在线段上，三棱锥的体积取得最大值,最大值为.由于三棱锥的体积等于三棱锥的体积,所以三棱锥的体积存在最大值.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质,考查了直线与平面垂直的判定定理,考查了平面与平面垂直的判定定理,考查了三棱锥的体积公式,属于中档题.22.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，SA底面ABCD，SA=AD，点M是SD的中点，ANSC且交SC于点N．

（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；

（Ⅱ）求证：平面SAC平面AMN．参考答案：（Ⅰ）连接BD，交AC于