云南省昆明市嵩明县第三中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

云南省昆明市嵩明县第三中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.右图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为，则它的正视图为（

）参考答案：B2.已知，满足，则的最大值是

(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：B略3.函数在区间上的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：D4.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（

）A．336

B．509

C．1326

D．3603参考答案：B5.已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底数），若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，]C．（，2） D．[，）参考答案：A【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】根据若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，得到函数f（x）在区间（0，e]上不单调，从而求得a的取值范围．【解答】解：∵g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减，又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2﹣e＞0，∴g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．，当时，f′（x）=0，f（x）在处取得最小值，由题意知，f（x）在（0，e]上不单调，所以，解得，所以对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，当且仅当a满足条件且f（e）≥1因为f（1）=0，所以恒成立，由f（e）≥1解得综上所述，a的取值范围是．故选：A．6.定义域为的偶函数在区间（0，+）上的图象如图所示，则不等式>0的解集是

A．（－，－1）（0，1）

B．（－1，0）（1，+）

C．（－，－1）（1，+）

D．（－1，0）（0，1）参考答案：B略7.如图，已知抛物线和圆，直线l经过C1的焦点F，自上而下依次交C1和C2于A，B，C，D四点，则的值为A．

B．

C．1

D．2参考答案：C8.设偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x+3)=－，且当x∈时，f(x)=4x,则f(107.5)=

(

)A.10

B. C.－10 D.—参考答案：B9.在△ABC中，，BC=1，AC=5，则AB=A． B． C． D．参考答案：A因为所以，选A.

10.已知函数与轴相切于点，且极小值为，则（）A、12 B、15 C、13 D、16参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.平面内两定点M（0，一2）和N(0,2），动点P（x，y）满足，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题：

①m，使曲线E过坐标原点；

②对m，曲线E与x轴有三个交点；

③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；

④若P、M、N三点不共线，则△PMN周长的最小值为2＋4;

⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN

的面积不大于m。

其中真命题的序号是．（填上所有真命题的序号）参考答案：①④⑤【知识点】命题的真假判断与应用；轨迹方程．A2解析：∵平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足||?||=m（m≥4），∴?=m①（0，0）代入，可得m=4，∴①正确；②令y=0，可得x2+4=m，∴对于任意m，曲线E与x轴有三个交点，不正确；③曲线E关于x轴对称，但不关于y轴对称，故不正确；④若P、M、N三点不共线，||+||≥2=2，所以△PMN周长的最小值为2+4，正确；⑤曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积为2S△MNG=|GM||GN|sin∠MGN≤m，∴四边形GMHN的面积最大为不大于m，正确．故答案为：①④⑤．【思路点拨】利用平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足||?||=m（m≥4），可得?=m，对选项进行分析，即可得出结论．12.（2）对于任意实数和b，不等式恒成立，则实数x的取值范围是

参考答案：13.已知函数的图像在上单调递增，则

.参考答案：0或214.已知向量，若向量与垂直，则m=______．参考答案：7利用平面向量的加法公式可得：，由平面向量垂直的充要条件可得：，解方程可得：.

14.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是__________．【答案】【解析】由题意知圆的半径圆的方程为15.执行右边的程序框图，若输出的结果为2，则输入的x为

。参考答案：-1或416.定义运算a※b为.如1※2=1，则函数※的值域为

▲

.参考答案：略17.设，式中变量x、y满足下列条件

则z的最大值为

.参考答案：11三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）解关于的不等式参考答案：当时，原不等式化为；

当时，原不等式化为--------------①，解得：，，当，即时，不等式①的解为，当时，即时，不等式①的解为或；当时，即时，不等式①的解为或；当时，不等式①的解为；综上可得：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或；略19.已知直线的方程为，圆的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求直线与圆的交点的极坐标；（2）若为圆上的动点，求到直线的距离的最大值.参考答案：（1）直线：，圆：，联立方程组，解得或，对应的极坐标分别为，.（2）设，则，当时，取得最大值.20.

已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于两点.

（1）求圆的直角坐标方程及直线的普通方程.

（2）已知点，求的值.参考答案：（1）由得，所以所以圆C的直角坐标方程为.（3分）直线的普通方程为5分）(2)将直线的参数方程代入圆C：，并整理得所以.点P（1,0）在直线上,且点P在圆C的内部，所以.（10分）21.（本小题满分14分）

已知函数（e是自然对数的底数，e=2.71828……）

(1)若k=e，求函数的极值；

(2)若，求函数的单调区间；

(3)若，讨论函数在上的零点个数．参考答案：解：（1）由得，所以．

…………1分

令，得，解得．

由得，由得，

当变化时，、的变化情况如下表：10+单调递减极小值单调递增

…………2分所以当=1时，有极小值为0，无极大值．

…………3分（2）由，得．

①当时，则对恒成立，

此时的单调递增，递增区间为．

…………4分

②当时，由得到，由得到，

所以，时，的单调递增区间是；递减区间是．…………6分

综上，当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间是；递减区间是．………7分（3）解法一：

①当时，，对恒成立，所以函数在上无零点．………8分

②当时，由（2）知，对恒成立，函数在上单调递增，又，

…………9分

所以函数在上只有一个零点．

…………10分（若说明取绝对值很大的负数时，小于零给1分）③当时，令，得，且在上单调递减，在

上单调递增，在时取得极小值，即在上最多存在两个零点．（ⅰ）若函数在上有2个零点，则，解得；…11分（ⅱ）若函数在上有1个零点，则或，解得或；

…………12分（ⅲ）若函数在上没有零点，则或，解得

．

…………13分

综上所述，当时，在上有2个零点；当或时，在上有1个零点；当时，在上无零点．

…………14分

解法二：

．当时，对恒成立，所以函数在上无零点．8分

当时，在上的零点就是方程在上的解，即函数与在上的交点的横坐标．

…………9分①

当时，如图1，函数与只在上有一个交点，即函数在上有一个零点．

…………10分

②当时，若相切时，如图2，设切点坐标为，则

即切线的斜率是所以，解得，即当时，只有一个交点,函数

在上只有一个零点；…………11分由此，还可以知道，当时，函数在上无零点．

…………12分当过点时，如图3，，所以时，在上有两个交点，即函数在上有两个零点；时，在上只有一个交点，即函数在上只有一个零点．

…………13分综上所述，当时，函数在上有2个零点；当或时，函数在上有1个零点；当时，函数在上无零点．

…………14分22.(本题满分12分)下表是某市11月10日至23日的空气质量指数统计表,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择11月10日至11月21日中的某一天到达该市，并停留3天（包括到达的当天）.(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率;(Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;日期10111213141516空气质量指数8530561