D向量及其线性运算

会计学1D向量及其线性运算规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,

a∥b;与a

的模相同,但方向相反的向量称为a

的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线

.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面

.记作－a;第1页/共26页二、向量的线性运算1向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.第2页/共26页第3页/共26页2向量的减法三角不等式第4页/共26页可见3向量与数的乘法

是一个数,大小:注:（1）运算律:结合律分配律

与a

的乘积是一个新向量,记作方向:时，（2）∥第5页/共26页定理1

(为唯一实数)证明:,取＝±且故唯一

.则设

a

为非零向量,则a∥b设a∥b反向时取负号,,a,b

同向时取正号则b

与

a设又有b＝

a,显然若

b＝a,a∥b证毕..“”.“”.再证数的唯一性.方向相同,第6页/共26页例1

设M

为解:ABCD对角线的交点,第7页/共26页x轴(横轴)ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条两两垂直的单位向量按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴y轴(纵轴)z

轴(竖轴)过空间一定点O,

坐标面

卦限(八个)1空间直角坐标系的基本概念ⅠzOx面第8页/共26页在空间直角坐标系下向径坐标轴上的点

P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点

M特殊点的坐标:有序数组称为点

M

的坐标,原点O(0,0,0);记作第9页/共26页坐标轴:坐标面:第10页/共26页在空间直角坐标系下2向量的坐标表示的坐标分解式叫做向量在三个坐标轴上的分向量的坐标,叫做向量在三个坐标轴上的投影记作与其向径有相同的坐标.显然：第11页/共26页四、利用坐标作向量的线性运算则平行向量对应坐标成比例:

设类似的，若第12页/共26页例2求解以向量为未知元的线性方程组解:①②2×①－3×②,得代入②得第13页/共26页例3已知两点在AB所在直线上求一点M,使解:

设M

的坐标为如图所示及实数得即第14页/共26页说明:由得定比分点公式:点

M为AB

的中点,于是得中点公式:第15页/共26页设五、向量的模、方向角、投影作则对两点因得两点间的距离公式:1向量的模与两点间的距离公式第16页/共26页例4

求证以证明:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点第17页/共26页例6

已知两点解:求的单位向量例5在z轴上求与两点等距离的点

.解:

设该点为解得故所求点为及所以第18页/共26页2方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)

为向量

的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角

,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.

第19页/共26页方向余弦的性质:规定：零向量与其它向量的夹角可取0到

之间的任何值.第20页/共26页例7已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量第21页/共26页3向量在轴上的投影则

a

在轴u

上的投影为例如,在坐标轴上的投影分别为设a

与u

轴正向的夹角为

,,即投影的性质2)1)(为实数)或或第22页/共26页例8设立方体的一条对角线为OM,一条棱为OA,且求OA在OM

方向上的投影.解:如图所示,记∠MOA=,第23页/共26页备用题解:

因1

设求向量在x

轴上的投影及在y轴上