2023年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷三题号一二总成绩13141516得分评卷人复核人考生注意：1.本试卷共三大题〔16小题〕，全卷总分值150分.考试时间：120分钟.2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.3.解题书写不要超出装订线.4.不能使用计算器.一、选择题〔此题总分值36分，每题6分〕得分评卷人此题共有6小题，每题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题的括号内.每题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个〔不管是否写在括号内〕，一律得0分.1.函数，那么答：[]〔A〕有最小正周期〔B〕有最小正周期〔C〕有最小正周期〔D〕无最小周期2.关于的不等式任意两个解的差不超过，那么的最大值与最小值的和是答：[]〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3.向量a、b，设ab，ab，ab，那么一定共线的三点是答：[]〔A〕、、〔B〕、、〔C〕、、〔D〕、、4.设、、为平面，、为直线，那么的一个充分条件是答：[]〔A〕，，〔B〕，，〔C〕，，〔D〕，，5.假设、，其中，，并且，那么实数对表示平面上不同点的个数为答：[]〔A〕个〔B〕个〔C〕个〔D〕个6.〔R〕，且那么a的值有答：[]〔A〕个〔B〕个〔C〕个〔D〕无数个二、填空题〔此题总分值54分，每题9分〕得分评卷人此题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.7.设为等差数列的前项和，假设，，那么公差为.8.设且的图象经过点，它的反函数的图象经过点，那么等于.9.函数的图象如图，那么满足的的取值范围为.yyOx1Ox110.圆锥曲线的离心率是.11.在中，，，，那么的面积为.12.设命题:，命题:对任何R，都有.命题与中有且仅有一个成立，那么实数的取值范围是.三、解答题〔此题总分值60分，共4小题，每题各15分〕得分评卷人13.设不等式组表示的平面区域为.区域内的动点到直线和直线的距离之积为.记点的轨迹为曲线.过点的直线与曲线交于、两点.假设以线段为直径的圆与轴相切，求直线的斜率.14.如图，斜三棱柱中，面是菱形，，侧面B1BA1CB1BA1C1AC求证：〔1〕；〔2〕求点到平面的距离.15.数列中，，，.求.16.平面上个圆，任意两个都相交.是否存在直线，与每个圆都有公共点？证明你的结论.2007年江苏省高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准一、选择题〔此题总分值36分，每题6分〕1．函数，那么〔B〕.〔A〕有最小正周期为〔B〕有最小正周期为〔C〕有最小正周期为〔D〕无最小正周期解：，那么最小正周期.应选〔B〕．2．关于的不等式任意两个解的差不超过9，那么的最大值与最小值的和是〔C〕.〔A〕2〔B〕1〔C〕0〔D〕解：方程的两根是，，那么由关于的不等式任意两个解的差不超过，得，即.应选〔C〕．3.向量a、b，设ab，ab，ab，那么一定共线的三点是〔A〕.〔A〕A、B、D〔B〕A、B、C〔C〕B、C、D〔D〕A、C、D解：ab，所以A、B、D三点共线.应选〔A〕．4．设、、为平面，、为直线，那么的一个充分条件是〔D〕.〔A〕，，〔B〕，，〔C〕，，〔D〕，，解：〔A〕选项缺少条件；〔B〕选项当，时，；〔C〕选项当、、两两垂直〔看着你现在所在房间的天花板上的墙角〕，时，；〔D〕选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行．本选项为真命题.应选〔D〕．5.假设、，其中，，并且，那么实数对表示平面上不同点的个数为〔C〕〔A〕个〔B〕个〔C〕个〔D〕个解：由及题设知，个位数字的选择有5种.因为，故〔1〕由知，首位数字的可能选择有种；〔2〕由及知，首位数字的可能选择有种.于是，符合题设的不同点的个数为种.应选〔C〕．6．〔R〕，且那么a的值有〔D〕.〔A〕2个〔B〕3个〔C〕4个〔D〕无数个解：由题设知为偶函数，那么考虑在时，恒有．所以当，且时，恒有．由于不等式的解集为，不等式的解集为．因此当时，恒有.应选〔D〕．二、填空题〔此题总分值54分，每题9分〕7．设为等差数列的前项和，假设，，那么公差为.解：设等差数列的首项为，公差为.由题设得即解之得.8.设且的图象经过点，它的反函数的图象经过点，那么等于.解：由题设知化简得解之得〔舍去〕.故等于4.9．函数的图象如图，那么满足的的取值范围为．yyOx1Ox1〔第9题〕〔第9题〕解：因为，所以.于是，由图象可知，，即，解得.故x的取值范围为．10．圆锥曲线的离心率是．解：原式变形为，即．所以动点到定点的距离与它到直线的距离之比为．故此动点轨迹为双曲线，离心率为．11．在中，，，，那么的面积为．解：在中，由得．由正弦定理得．因为，所以角可取锐角或钝角，从而．．故．12.设命题:，命题:对任何R，都有.命题与中有且仅有一个成立，那么实数的取值范围是或.解：由得．由对于任何R成立，得，即．因为命题、有且仅有一个成立，故实数的取值范围是或．三、解答题〔此题总分值60分，每题15分〕13.设不等式组表示的平面区域为.区域内的动点到直线和直线的距离之积为.记点的轨迹为曲线.过点的直线与曲线交于、两点.假设以线段为直径的圆与轴相切，求直线的斜率.解：由题意可知，平面区域如图阴影所示．xyO设动点为，那么，即xyO．由知，x－y<0，即x2－y2<0．所以y2－x2＝4(y＞0)，即曲线的方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1(y＞0)．…………5分设，，那么以线段为直径的圆的圆心为.因为以线段为直径的圆与轴相切，所以半径，即．①…………10分因为直线AB过点F(2eq\r(2)，0)，当ABx轴时，不合题意．所以设直线AB的方程为y＝k(x－2eq\r(2))．代入双曲线方程eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1(y＞0)得，k2(x－2eq\r(2))2－x2＝4，即(k2－1)x2－4eq\r(2)k2x＋(8k2－4)＝0．因为直线与双曲线交于A，B两点，所以k≠±1．所以x1＋x2＝eq\f(4eq\r(2)k2,k2－1)，x1x2＝eq\f(8k2－4,k2－1)．所以|AB|＝eq\r((x1－x2)2＋(y1－y2)2)＝eq\r((1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝eq\r((1＋k2)[eq\b\bc\((eq\f(4eq\r(2)k2,k2－1))eq\s\up10(2)－4eq\f(8k2－4,k2－1)])＝|x1＋x2|＝|eq\f(4eq\r(2)k2,k2－1)|，化简得：k4＋2k2－1＝0，解得k2＝eq\r(2)－1〔k2＝－eq\r(2)－1不合题意，舍去〕．由△＝(4eq\r(2)k2)2－4(k2－1)(8k2－4)＝3k2－1＞0，又由于y＞0，所以－1<k<－eq\f(eq\r(3),3)．所以k＝－eq\r(eq\r(2)－1)…15分解：由题意可知，平面区域D如图阴影所示．xyO设动点P(x，y)，那么eq\f(|x＋y|,eq\r(2))eq\f(|x－y|,eq\r(2))＝2，xyO即|x2－y2|＝4．由P∈D知：x＋y＞0，x－y<0，即x2－y2<0．所以y2－x2＝4(y＞0)．即曲线C的方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1(y＞0)．…………5分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么以线段AB为直径的圆的圆心为Q(eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(y1＋y2,2))．因为以线段AB为直径的圆与y轴相切，∴半径r＝eq\f(1,2)|AB|＝|eq\f(x1＋x2,2)|．即|AB|＝|x1＋x2|．①…10分因为直线AB过点F(2eq\r(2)，0)，当ABx轴时，不合题意．所以设直线AB的方程为y＝k(x－2eq\r(2))．代入双曲线方程eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1(y＞0)得，k2(x－2eq\r(2))2－x2＝4，即(k2－1)x2－4eq\r(2)k2x＋(8k2－4)＝0．因为直线与双曲线交于A，B两点，所以k≠±1．所以x1＋x2＝eq\f(4eq\r(2)k2,k2－1)，x1x2＝eq\f(8k2－4,k2－1)．所以|AB|＝eq\r((x1－x2)2＋(y1－y2)2)＝eq\r((1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝eq\r((1＋k2)[eq\b\bc\((eq\f(4eq\r(2)k2,k2－1))eq\s\up10(2)－4eq\f(8k2－4,k2－1)])＝|x1＋x2|＝|eq\f(4eq\r(2)k2,k2－1)|，化简得：k4＋2k2－1＝0，解得k2＝eq\r(2)－1〔k2＝－eq\r(2)－1不合题意，舍去〕．由△＝(4eq\r(2)k2)2－4(k2－1)(8k2－4)＝3k2－1＞0，又由于y＞0，所以－1<k<－eq\f(eq\r(3),3)．所以k＝－eq\r(eq\r(2)－1)…………15分14.如图，斜三棱柱中，面是菱形，，侧面B1BA1CB1BA1C1AC求证：〔1〕；〔2〕求点到平面的距离.证：〔1〕设中点为，连、.〔第14题〕因为，所以．因为面〔第14题〕，所以面．又为正三角形，，所以.从而．………………6分〔2〕由〔1〕，有，，面．设到面的距离为，那么A.A因为，CEB所以．CEB又，且.设的高为，那么，，.于是有，即到平面的距离为．………………15分15．数列中，，，.求.解：由题设，，那么.………5分由，得，那么.………………10分于是，所以a2007=2007．易知数列，，，符合此题要求．………………15分注意：猜得答案或，给2分．16．平面上个圆，任意两个都相交．是否存在直线，与每个圆都有公共点？证明你的结论．A1Ak10A2BA1Ak10A2B1B2Bm证明如下：如图，先作直线，设第个圆在直线上的正投影是线段，其中、分别是线段的左右端点．个圆有个投影线段，有个左端点，有个