上海市青浦区重固中学2023年高三数学理测试题含解析

上海市青浦区重固中学2023年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a，b为实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B由，则成立，反之：如，则不成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B．

2.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

（A） （B） （C）

（D）参考答案：A【命题意图】本小题主要考查三视图、空间几何体的体积，等基础知识，考查空间想像能力、运算求解能力、创新意识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查数学抽象、直观想象等．【试题简析】该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个圆锥，然后挖掉一个相同的圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此，故选A.【错选原因】错选B：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个圆锥，且未挖掉一个相同的圆锥.错选C：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个圆锥，且未挖掉一个相同的圆锥.错选D：圆锥的公式记忆错误.3.已知是函数的一个零点，若，则（

）A．

B．C．

D．参考答案：D4.设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（A）， （B）， （C）， （D），参考答案：A由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A．

5.把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四点所在的球面上,B与D两点之间的球面距离为(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：答案：C解析：把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四点所在的球面上,球的半径为1，B与D两点恰好是两条垂直的半径的端点，它们之间的球面距离为个大圆周长，即，选C。6.设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数的图象经过区域D，则a的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.已知菱形ABCD的对角线AC长为2，则·=

A．4

B．2

C．1

D．参考答案：C8.若是第二象限的角，且，则

（

）

A. B. C. D.参考答案：A略9.某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的为A．

B.

C.

D.参考答案：A10.命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是(

) A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0参考答案：C考点：命题的否定．分析：根据命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．解答： 解：∵命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题∴否定命题为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0故选C．点评：本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化．要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率是e=，则该双曲线两渐近线夹角是．参考答案：【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】有离心率求得一条渐近线的斜率，进而得到此渐近线的倾斜角，从而求得该双曲线两渐近线夹角．【解答】解：由题意得==，∴=，故一条渐近线的倾斜角等于，故该双曲线两渐近线夹角是，故答案为．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出一条渐近线的斜率是解题的关键．12.定义：在数列中，若，则称为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的有关判断：①若是“等方差数列”，则数列是等差数列；②是“等方差数列”；③若是“等方差数列”，则数列也是“等方差数列”；④若既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列．其中正确的命题为

．（写出所有正确命题的序号）参考答案：③④13.已知中的内角为，重心为，若，则_________。参考答案：【知识点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．F2F3

设a，b，c为角A，B，C所对的边，由正弦定理，可得，则，即，又∵,不共线，则，，即，∴，∴．故答案为：．【思路点拨】利用正弦定理化简已知表达式，通过,不共线，求出a、b、c的关系，利用余弦定理求解即可．14.函数的图象与轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图象，只要将的图象向右平移

个单位参考答案：15.已知向量=（x，2），=（2，1），=（3，x），若∥，则向量在向量方向上的投影为．参考答案：4【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】先根据xlde平行求出x的值，再根据投影的定义即可求出．【解答】解：∵=（x，2），=（2，1），∥，∴x=2×2=4，∴=（3，4），∴||=5，=（4，2）?（3，4）=12+8=20，∴向量在向量方向上的投影为==4，故答案为：4．16.在平面直角坐标系中，若点，，，则________．参考答案：17.已知函数f（x）=ax+1﹣ex（a∈R，e为自然对数的底数），若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，则a=．参考答案：e【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用．【分析】先求出函数的导数，得到f′（1）=a﹣e=0，解出即可．【解答】解：直线平行于x轴时斜率为0，由f′（x）=a﹣ex，得k=f′（1）=a﹣e=0，得出a=e，故答案为：e．【点评】本题考查了导数的应用，考查曲线的切线问题，是一道基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数．（1）解不等式f(x)>0；（2）若f(x)+>m对一切实数x均成立，求m的取值范围．参考答案：解：（1）当x

时f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0得x>-5所以x成立

当时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0

得x>1，所以1<x<4成立

当时f(x)=-x-5>0得x<-5

所以x<-5成立.19.中，角所对应的边分别为，若.(Ⅰ)求角；(Ⅱ)若函数，求函数的取值范围.参考答案：解：(Ⅰ)由，得………………1分即，即，所以，……………3分由余弦定理，

，因为,所以

…5分(Ⅱ)…7分…9分…10分因为，所以………………11分由二次函数的图象，所以函数的取值范围…………12分20.（本小题满分12分）已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1．F2分别是椭圆的左．右焦点，直线PF1与圆C相切．（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求的范围．参考答案：解：（Ⅰ）点A代入圆C方程，得．∵m＜3，∴m＝1．

………2分圆C：．设直线PF1的斜率为k，则PF1：，即．∵直线PF1与圆C相切，∴．解得．……4分当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意舍去．当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，

∴c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）．2a＝AF1＋AF2＝，，a2＝18，b2＝2．椭圆E的方程为：．

………………6分（Ⅱ），设Q（x，y），．∵，即，

……………9分而，∴－18≤6xy≤18．则的取值范围是[0，36]．

………………11分的取值范围是[－6，6]．∴的取值范围是[－12，0]．

…12分略21.平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于两点，试求.参考答案：（1）将，代入直线方程得，由可得，曲线的直角坐标方程为.（2）直线的倾斜角为，∴直线的倾斜角也为，又直线过点，∴直线的参数方程为（为参数），将其代入曲线的直角坐标方程可得，设点对应的参数分别为.由一元二次方程的根与系数的关系知，，∴.22.（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，给定三点，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。（1）求点P的轨迹方程；（2）若直线L经过的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。参考答案：（1）,(2)知识点：轨迹方程的求法;斜率的取值范围;分类讨论思想.解析：解：（1）直线AB、AC、BC的方程依次为。点到AB、AC、BC的距离依次为。依设，，即，化简得点P的轨迹方程为圆S：（2）由前知，点P的轨迹包含两部分圆S：

①与双曲线T： ②因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为 ③（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分（ii）当时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为。代入方程②得，解得。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。 情况2：直线L不经过点B和C（即），因为L与S有两个不同的交点，所以