(山东专版)2019版中考数学总复习-第六章-空间与图形-6.1-图形的轴对称、平移与旋转(试卷部分)课件

第六章空间与图形§6.1图形的轴对称、平移与旋转中考数学

(山东专用)A组2014—2018年山东中考题组考点一轴对称与折叠五年中考1.(2018淄博,3,4分)下列图形中,不是轴对称的是

()

答案

C

C选项中的图形为中心对称图形,不是轴对称图形.2.(2018青岛,6,3分)如图,三角形纸片ABC,AB=AC,∠BAC=90°,点E为AB中点.沿过点E的直线折

叠,使点B与点A重合,折痕EF交BC于点F,已知EF=

,则BC的长是

()A.

B.3

C.3

D.3

答案

B∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=45°.由折叠的性质可得∠BAF=∠B=45°,∴∠AFB=18

0°-∠B-∠BAF=90°.在Rt△ABF中,点E是AB的中点,∴EF是斜边AB上的中线,∴AB=2EF=2×

=3.在Rt△ABC中,AB=AC=3,根据勾股定理得BC=

=3

.思路分析

利用△ABC是等腰直角三角形和折叠的性质求出EF的长,进而求出AB的长,再利

用勾股定理求出BC的长.3.(2017青岛,2,3分)下列四个图形中,是轴对称图形,但不是中心对称图形的是

()

答案

A选项B、C中的图形既是轴对称图形,也是中心对称图形;选项D中的图形是中心对

称图形,而不是轴对称图形;只有选项A中的图形是轴对称图形,但不是中心对称图形.故选A.思路分析

根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一进行判断即可.4.(2017潍坊,4,3分)小莹和小博士下棋,小莹执圆子,小博士执方子.如图,棋盘中心方子的位置

用(-1,0)表示,右下角方子的位置用(0,-1)表示.小莹将第4枚圆子放入棋盘后,所有棋子构成一个

轴对称图形.她放的位置是

()

A.(-2,1)

B.(-1,1)

C.(1,-2)

D.(-1,-2)答案

B根据题意描述,可建系如图,可知当第4枚圆子放入棋盘(-1,1)处时,所有棋子构成一

个轴对称图形,如图所示.

思路分析

根据题意描述,先确定坐标系,再根据轴对称图形的性质确定所放位置.5.(2017菏泽,7,3分)如图,矩形ABOC的顶点A的坐标为(-4,5),D是OB的中点,E为OC上的一点,当

△ADE的周长最小时,点E的坐标是

()

A.

B.

C.(0,2)

D.

答案

B作A关于y轴的对称点A',连接A'D交y轴于E,此时△ADE的周长最小,∵四边形ABOC是矩形,∴AC∥OB,AC=OB,∵A的坐标为(-4,5),∴A'(4,5),B(-4,0),∵D是OB的中点,∴D的坐标是(-2,0),设直线A'D的解析式为y=kx+b,k≠0,根据题意得

解得

∴直线A'D的解析式为y=

x+

,当x=0时,y=

,∴当△ADE的周长最小时,点E的坐标为

.6.(2018泰安,15,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,将矩形ABCD沿BE折叠,点A落在A'处,

若EA'的延长线恰好过点C,则sin∠ABE的值为

.

答案

解析由折叠知∠BA'E=∠A=90°,AE=A'E,A'B=AB=6,故在Rt△A'BC中,由勾股定理,得A'C=

=

=8,设AE=A'E=x,则CE=x+8,DE=10-x,在Rt△CDE中,由勾股定理,得(x+8)2=62+(10-x)2,解得x=2.在Rt△ABE中,BE=

=2

,所以sin∠ABE=

=

=

.7.(2017滨州,16,4分)如图,将矩形ABCD沿GH对折,点C落在Q处,点D落在AB边上的E处,EQ与

BC相交于点F.若AD=8,AB=6,AE=4,则△EBF的周长为

.

答案8解析设DH=x,则AH=8-x,由折叠可知EH=DH=x,在Rt△AEH中,由勾股定理,得AE2+AH2=EH2,即42+(8-x)2=x2,解得x=5.则AH=8-x=3.易证△AHE∽△BEF,因此

=

=

,即

=

=

,所以BF=

,EF=

.所以△EBF周长为

+

+2=8.8.(2016潍坊,17,3分)已知∠AOB=60°,点P是∠AOB的平分线OC上的动点,点M在边OA上,且OM

=4,则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是

.答案2

解析如图,OC平分∠AOB,作点M关于OC的对称点M',过点M'作M'N⊥OA于点N,交OC于点P,

则M'N的长度即为所求的最小值,在Rt△M'ON中,sin∠M'ON=

,所以M'N=OM'·sin60°=4×

=2

,即所求的最小值为2

.

思路分析

①作出点M关于OC的对称点M',②过点M'作边OA的垂线M'N,③M'N的长度即为所

求的最小值.9.(2018威海,21,8分)如图,将矩形ABCD(纸片)折叠,使点B与AD边上的点K重合,EG为折痕;点C

与AD边上的点K重合,FH为折痕.已知∠1=67.5°,∠2=75°,EF=

+1.求BC的长.

解析如图,过点K作KM⊥EF,垂足为M.

由题意,得∠3=180°-2∠1=45°,∠4=180°-2∠2=30°,BE=EK,KF=FC.设KM=x,则EM=x,MF=

x,∴x+

x=

+1,解得x=1,∴EK=

,KF=2,∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3+

+

,即BC的长为3+

+

.10.(2018枣庄,20,8分)如图,在4×4的方格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.(1)在图1中,画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形;(2)在图2中,画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形;(3)在图3中,画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形.

解析(1)如图①或图②所示:

图①图②(2)如图③或图④所示:

(3)如图⑤所示:

考点二图形的平移1.(2018枣庄,7,3分)在平面直角坐标系中,将点A(-1,-2)向右平移3个单位长度得到点B,则点B关

于x轴的对称点B'的坐标为

()A.(-3,-2)

B.(2,2)

C.(-2,2)

D.(2,-2)答案

B∵点A(-1,-2)向右平移3个单位长度后得到点B(-1+3,-2),即B(2,-2),∴点B(2,-2)关于x

轴对称的点B'的坐标为(2,2),故选B.2.(2018济宁,6,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A、C在x轴上,点C的坐标为(-1,0),AC=2,将Rt

△ABC先绕点C顺时针旋转90°,再向右平移3个单位长度,则变换后点A对应的点的坐标是

()

A.(2,2)

B.(1,2)

C.(-1,2)

D.(2,-1)答案

A如图所示,先根据题意画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A1B1C.因为点C

的坐标为(-1,0),A1C=AC=2,所以点A1的坐标为(-1,2);再画出将△A1B1C向右平移3个单位长度后

的图形△A2B2C2,所以点A2的坐标为(2,2).

3.(2017东营,9,3分)如图,把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置,它们重叠部分的面积是

△ABC面积的一半,若BC=

,则△ABC移动的距离是

()

A.

B.

C.

D.

-

答案

D由题意知AB∥DE,∴△CEH∽△CBA.由“相似三角形的面积比等于相似比的平

方”可得

=

,又∵BC=

,∴CE=

,∴BE=BC-CE=

-

.即△ABC移动的距离是

-

.思路分析

先根据平移的性质,得到△CEH∽△CBA,再根据相似三角形的面积比等于相似比

的平方,得到CE与CB的关系,从而求得平移距离.4.(2016菏泽,5,3分)如图,A、B的坐标分别为(2,0),(0,1),若将线段AB平移至A1B1,则a+b的值为

()

A.2

B.3

C.4

D.5答案

A由A点平移前后的横坐标分别为2和3,可知A点向右平移了1个单位;由B点平移前后

的纵坐标分别为1和2,可知B点向上平移了1个单位,因而可得线段AB向右平移1个单位,向上平

移1个单位得到线段A1B1,则a=0+1=1,b=0+1=1,∴a+b=1+1=2,故选择A.思路分析

点的坐标在变换中的规律:(1)平移:左右平移时横坐标左减右加,纵坐标不变;上下

平移时纵坐标上加下减,横坐标不变;(2)关于坐标轴对称,与其同名的坐标不变,另一个坐标变

为相反数;(3)关于原点对称,其横、纵坐标均互为相反数;(4)点(x,y)关于原点顺时针旋转90°后

的点的坐标为(y,-x),点(x,y)关于原点逆时针旋转90°后的点的坐标为(-y,x).注意:研究有关点旋

转时点的坐标变化规律时,若旋转方向不明,需分顺时针和逆时针两种情况进行讨论.5.(2016青岛,5,3分)如图,线段AB经过平移得到线段A'B',其中点A,B的对应点分别为点A',B',这

四个点都在格点上.若线段AB上有一个点P(a,b),则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为

()

A.(a-2,b+3)

B.(a-2,b-3)C.(a+2,b+3)

D.(a+2,b-3)答案

A线段AB向左平移2个单位长度,向上平移3个单位长度得到线段A'B',由此可知线段

AB上的点P(a,b)的对应点P'的坐标为(a-2,b+3),故选A.考点三图形的旋转1.(2018青岛,1,3分)观察下列四个图形,中心对称图形是

()

答案

C在平面内,如果一个图形绕某个点旋转180°后能与自身重合,那么这个图形叫做中

心对称图形,根据定义可知选项C是中心对称图形.2.(2018青岛,7,3分)如图,将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°,得到线段A'B',其中点A、B的对

应点分别是点A'、B',则点A'的坐标是

()

A.(-1,3)

B.(4,0)C.(3,-3)

D.(5,-1)答案

D将点A绕点P按顺时针方向旋转90°得到点A',如图所示,则点A'的坐标为(5,-1).

方法总结

旋转作图的一般步骤:(1)在已知图形上找出关键点;(2)作出这些关键点的对应点,对应点的作法:将各关键点与旋转中心连接;将上述连线绕旋转

中心旋转一定的角度即可得到各关键点的对应点;(3)顺次连接各对应点.3.(2018济南,9,4分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点都在方格线的格点上,将△ABC绕

点P顺时针旋转90°得到△A'B'C',则点P的坐标为

()

A.(0,4)

B.(1,1)C.(1,2)

D.(2,1)答案

C如图,连接AA',CC',分别作AA'和CC'的垂直平分线l1,l2,则l1与l2的交点为(1,2),即点P的

坐标为(1,2).

4.(2017菏泽,5,3分)如图,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到△A'B'C,连接AA',若∠1=

25°,则∠BAA'的度数是

()

A.55°

B.60°

C.65°

D.70°答案

C根据旋转的性质可得AC=A'C,∠ACA'=90°,所以△ACA'是等腰直角三角形,所以∠

CAA'=∠CA'A=45°,所以∠B'A'C=45°-25°=20°,由旋转的性质得∠BAC=∠B'A'C=20°,所以∠

BAA'=∠BAC+∠CAA'=20°+45°=65°.思路分析

由旋转的性质可得AC=AC',从而得出△ACA'是等腰直角三角形,从而可得∠CAA'=

∠CA'A=45°,故可求出∠B'A'C的度数,又由旋转的性质可知∠BAC=∠B'A'C,从而求出∠BAA'

的度数.5.(2017枣庄,2,3分)将数字“6”旋转180°,得到数字“9”,将数字“9”旋转180°,得到数字

“6”,现将数字“69”旋转180°,得到的数字是

()A.96

B.69

C.66

D.99答案

B根据数字“6”和“9”的特点及旋转的定义知,数字“69”旋转180°得到“69”.

故选B.思路分析

直接利用中心对称图形的性质结合“69”两个数字的特点得出答案.6.(2017青岛,5,3分)如图,若将△ABC绕点O逆时针旋转90°,则顶点B的对应点B1的坐标为

(

)

A.(-4,2)

B.(-2,4)

C.(4,-2)

D.(2,-4)答案

B如图.点B1的坐标为(-2,4).故选B.

7.(2017聊城,11,3分)如图,将△ABC绕点C顺时针旋转,使点B落在AB边上点B'处,此时,点A的对

应点A'恰好落在BC的延长线上,下列结论错误的是

()

A.∠BCB'=∠ACA'

B.∠ACB=2∠BC.∠B'CA=∠B'AC

D.B'C平分∠BB'A'答案

C由旋转的性质可知∠BCB'=∠ACA',BC=B'C,∠B=∠CB'A',∠B'A'C=∠B'AC,∠ACB=

∠A'CB',由BC=B'C可得∠B=∠CB'B,∴∠CB'B=∠CB'A',∴B'C平分∠BB'A',又∠A'CB'=∠B+∠CB'B=2∠B,∴∠ACB=2∠B.由题意推不出∠B'CA=∠B'AC,∴C错误.8.(2017德州,11,3分)如图放置的两个正方形,大正方形ABCD的边长为a,小正方形CEFG的边长

为b(a>b),M在BC边上,且BM=b,连接AM,MF,MF交CG于点P,将△ABM绕点A旋转至△ADN,将

△MEF绕点F旋转至△NGF.给出以下五个结论:①∠MAD=∠AND;②CP=b-

;③△ABM≌△NGF;

=a2+b2;⑤A,M,P,D四点共圆.其中正确的个数是

()

A.2

B.3

C.4

D.5答案

D由△ABM绕点A旋转至△ADN,可得∠AND=∠AMB,在正方形ABCD中,AD∥BC,∴∠AMB=∠MAD,∴∠MAD=∠AND,故①正确;由FG∥CM,易得△MCP∽△FGP,∴

=

,即

=

,解得CP=b-

,故②正确;∵BM=CE=b,∴BM+CM=CE+CM,即BC=EM,∴AB=EM.又∵∠B=∠E,BM=EF,∴△ABM≌△MEF.又△NGF是由△MEF旋转所得的,∴△NGF≌△MEF,∴△ABM≌△NGF,故③正确;由旋转的性质及△ABM≌△MEF,得AN=AM=MF=NF,∠MAN=∠MAD+∠DAN=∠AND+∠

DAN=90°,∴四边形AMFN是正方形,∴

=AM2=AB2+BM2=a2+b2,故④正确;连接AP,由∠AMP=∠ADP=90°,可得Rt△AMP与Rt△ADP的外接圆的圆心均为斜边AP的中点,半径均为斜边AP长的一半,即A,M,P,D四点共圆,故⑤正确.9.(2016德州,12,3分)在矩形ABCD中,AD=2AB=4,E是AD的中点,一块足够大的三角板的直角顶

点与点E重合,将三角板绕点E旋转,三角板的两直角边分别交AB,BC(或它们的延长线)于点M,

N,设∠AEM=α(0°<α<90°),给出下列四个结论:①AM=CN;②∠AME=∠BNE;③BN-AM=2;④S△EMN=

.上述结论中正确的个数是

()

A.1

B.2

C.3

D.4答案

C如图,作EF⊥BC于点F,则有AB=AE=EF=FC,

∵∠AEM+∠DEN=90°,∠FEN+∠DEN=90°,∴∠AEM=∠FEN.在Rt△AME和Rt△FNE中,

∴Rt△AME≌Rt△FNE,∴AM=FN,∴MB=CN.∵AM不一定等于BM,∴AM不一定等于CN,∴①错误;∵Rt△AME≌Rt△FNE,∴∠AME=∠BNE,∴②正确;∵AD=BC,AD=2AB=4,∴BC=4,AB=2,∴BN-AM=BC-CN-AM=BC-BM-AM=BC-(BM+AM)=BC-AB=4-2=2,∴③正确;∵Rt△AME≌Rt△FNE,∴ME=NE.∵cosα=

,∴ME=

=

,∴S△EMN=

ME·NE=

ME2=

=

,∴④正确,故选C.10.(2018枣庄,16,4分)如图,在正方形ABCD中,AD=2

,把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP,连接AP并延长交CD于点E,连接PC,则三角形PCE的面积为

.

答案9-5

解析∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°,∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP,∴

PB=BC=AB,∠PBC=30°,∴∠ABP=60°,∴△ABP是等边三角形,∴∠BAP=60°,∴AP=AB=AD=2

.在Rt△ADE中,∠DAE=30°,AE=4,DE=2,∴CE=2

-2,PE=4-2

,过点P作PF⊥CD于F(如图),在Rt△PFE中,∠PEF=60°,PE=4-2

,∴PF=

PE=2

-3,∴S△PCE=

CE·PF=

×(2

-2)×(2

-3)=9-5

.故答案为9-5

.

11.(2016枣庄,17,4分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=

,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置,连接C'B,则C'B=

.

答案

-1解析连接BB',延长BC'交AB'于点H,∵∠C=90°,AC=BC=

,∴AB=

=2,由题意可知:AB'=AB=2,且∠BAB'=60°,∴△ABB'为等边三角形,∴BB'=AB,∠ABB'=60°,又∵BC'=BC',B'C'

=AC',∴△B'BC'≌△ABC',∴∠B'BC'=∠ABC'=30°,∴BH⊥AB',且AH=

AB'=1,∴BH=

=

,∵∠AC'B'=90°,AH=B'H,∴C'H=

AB'=1,∴C'B=BH-C'H=

-1,故答案为

-1.

规律总结

解这类题通常抓住变换前后的全等图形中的对应边、对应角相等.当旋转角为60°

时,可以得到等边三角形;当旋转角为45°时,可以得到等腰直角三角形.12.(2017潍坊,24,12分)边长为6的等边△ABC中,点D、E分别在AC、BC边上,DE∥AB,EC=2

.(1)如图1,将△DEC沿射线EC方向平移,得到△D'E'C',边D'E'与AC的交点为M,边C'D'与∠ACC'

的平分线交于点N.当CC'多大时,四边形MCND'为菱形?并说明理由;(2)如图2,将△DEC绕点C旋转∠α(0°<α<360°),得到△D'E'C,连接AD'、BE'.边D'E'的中点为P.①在旋转过程中,AD'和BE'有怎样的数量关系?并说明理由;②连接AP,当AP最大时,求AD'的值.(结果保留根号)

图1图2解析(1)当CC'=

时,四边形MCND'为菱形.

(1分)理由:由平移的性质得CD∥C'D',DE∥D'E'.∵△ABC为等边三角形,∴∠B=∠ACB=60°,∴∠ACC'=180°-60°=120°.∵CN为∠ACC'的平分线,∴∠NCC'=60°.

(2分)∵AB∥DE,DE∥D'E',∴AB∥D'E',∴∠D'E'C'=∠B=60°,

(3分)∴∠D'E'C'=∠NCC',∴D'E'∥CN,∴四边形MCND'为平行四边形.

(4分)∵∠ME'C'=∠MCE'=60°,∠NCC'=∠NC'C=60°,∴△MCE'和△NCC'为等边三角形,∴MC=CE',NC=CC'.又E'C'=EC=2

,CC'=

,∴CC'=CE'.∴MC=CN,∴四边形MCND'为菱形.

(5分)(2)①AD'=BE'.

(6分)理由:当α≠180°时,由旋转的性质得∠ACD'=∠BCE'.由题意易知,AC=BC,CD'=CE',∴△ACD'≌△BCE',∴AD'=BE';

(8分)当α=180°时,AD'=AC+CD',BE'=BC+CE',又∵AC=BC,CD'=CE',∴AD'=BE'.综上可知,AD'=BE'.

(9分)②当A、C、P三点共线时AP最大,如图.

此时,AP=AC+CP.

(10分)在等边△D'CE'中,由P为D'E'的中点,得AP⊥D'E',PD'=

,∴CP=3,∴AP=6+3=9.

(11分)在Rt△APD'中,AD'=

=

=2

.

(12分)考点四尺规作图1.(2018潍坊,6,3分)如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是:(1)作线段AB,分别以A,B为圆心,以AB长为半径作弧,两弧的交点为C;(2)以C为圆心,仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D;(3)连接BD,BC.下列说法不正确的是

()

A.∠CBD=30°

B.S△BDC=

AB2C.点C是△ABD的外心

D.sin2A+cos2D=1答案

D由(1)可知,AB=AC=BC,∴△ABC为等边三角形,∴∠A=∠ACB=∠ABC=60°,S△ABC=

AB2.由(2)可知CD=AC=BC=AB,∴∠CBD=∠D=

∠ACB=30°,S△BDC=S△ABC=

AB2,点C是△ABD的外心.故选项A、B、C正确,故选D.思路分析

先判断△ABC的形状,再用边长表示出△ABC的面积,由△ABC与△CBD等底同高,

得S△BDC=S△ABC.2.(2018东营,15,4分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,以顶点C为圆心,适当长为半径画弧,分别交

AC,BC于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于

EF的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线CP交AB于点D.若BD=3,AC=10,则△ACD的面积是

.

答案15解析由作图知CD是∠ACB的平分线,∴点D到∠ACB两边的距离相等,又∠B=90°,BD=3,∴

点D到AC边的距离为3,∴△ACD的面积=

AC×3=

×10×3=15.3.(2017济宁,14,3分)如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,适当长为半径画弧,交x轴于点M,交

y轴于点N,再分别以点M,N为圆心,大于MN长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P.若点P的坐

标为(a,b),则a与b的数量关系为

.

答案

a+b=0解析由题意可得射线OP为∠MON的平分线,其所在直线的解析式为y=-x,故有b=-a,即a+b=0.4.(2018青岛,15,4分)已知:如图,∠ABC,射线BC上一点D.求作:等腰△PBD,使线段BD为等腰△PBD的底边,点P在∠ABC内部,且点P到∠ABC两边的距

离相等.

解析如图所示:等腰△PBD即为所求.思路分析

根据作图要求可知,点P在线段BD的垂直平分线上,且点P在∠ABC的平分线上,所

以点P是线段BD的垂直平分线与∠ABC的平分线的交点.疑难突破

根据题意,由两个条件确定点P的位置.B组2014—2018年全国中考题组考点一轴对称与折叠1.(2018辽宁沈阳,4,2分)在平面直角坐标系中,点B的坐标是(4,-1),点A与点B关于x轴对称,则点

A的坐标是

()A.(4,1)

B.(-1,4)

C.(-4,-1)

D.(-1,-4)答案

A关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数.2.(2018河北,3,3分)图中由“

”和“

”组成轴对称图形,该图形的对称轴是直线

()

A.l1

B.l2

C.l3

D.l4

答案

C如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,这个图形叫做轴对

称图形,由此知该图形的对称轴是直线l3,故选C.3.(2018天津,10,3分)如图,将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠,使点C落在AB边上的点

E处,折痕为BD,则下列结论一定正确的是

()

A.AD=BD

B.AE=ACC.ED+EB=DB

D.AE+CB=AB答案

D由折叠的性质知,BC=BE,∴AE+CB=AB.故选D.4.(2017四川内江,6,3分)下列图形:平行四边形、矩形、菱形、圆、等腰三角形,这些图形中只

是轴对称的有

()A.1个

B.2个

C.3个

D.4个答案

A矩形、菱形、圆既是轴对称又是中心对称图形,平行四边形是中心对称图形,可能

是轴对称图形;只有等腰三角形只是轴对称图形,故选A.5.(2017内蒙古呼和浩特,3,3分)下图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形,都是△ABC这个图形

进行了一次变换之后得到的,其中是通过轴对称得到的是

()

A.(1)

B.(2)

C.(3)

D.(4)答案

A根据轴对称的性质可知,序号(1)对应的三角形与△ABC的对应点所连的线段被一

条直线(对称轴)垂直平分,故选A.6.(2017辽宁营口,9,3分)如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在BC上,BD=3,DC=1,点P是

AB上的动点,则PC+PD的最小值为

()A.4

B.5

C.6

D.7答案

B过点C作CO⊥AB于O,延长CO到C',使OC'=OC,连接DC',交AB于P,连接CP.此时DP+CP=DP+PC'=DC'的值最小.∵DC=1,BD=3,∴BC=4,连接BC',由对称性可知∠C'BO=∠CBO=45°,∴∠CBC'=90°,∴C'B⊥BC,∠BCC'=∠BC'C=45°,∴BC=BC'=4,根据勾股定理可得DC'=

=

=5.故选B.

7.(2018四川成都,24,4分)如图,在菱形ABCD中,tanA=

,M,N分别在边AD,BC上,将四边形AMNB沿MN翻折,使AB的对应线段EF经过顶点D,当EF⊥AD时,

的值为

.

答案

解析延长NF与DC交于点H,∵∠ADF=90°,∴∠A+∠FDH=90°,∵∠DFN+∠DFH=180°,∠A+∠B=180°,∠B=∠DFN,∴∠A=∠DFH,∴∠FDH+∠DFH=90°,∴NH⊥DC.在Rt△EDM中,tanE=tanA=

,设DM=4k(k>0),则DE=3k,EM=5k,∴AD=9k=DC,DF=6k.∵tanA=tan∠DFH=

,则sin∠DFH=

,∴DH=

DF=

k,∴CH=9k-

k=

k,∵cosC=cosA=

=

,∴CN=

CH=7k,∴BN=2k,∴

=

.

思路分析

延长NF与DC交于点H,由菱形的性质及翻折变换的性质得出NH⊥DC,构造出Rt△

NHC,在Rt△NHC和Rt△DHF中,利用边角关系求得相应线段的长,再求出BN,CN的长,得出答

案.解题关键

本题主要考查了菱形的性质,翻折变换以及解直角三角形,灵活运用锐角三角函数

表示线段之间的关系是解题的关键.8.(2017四川成都,25,4分)如图1,把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD,再沿∠ADC的平分

线DE折叠,如图2,点C落在点C'处,最后按图3所示方式折叠,使点A落在DE的中点A'处,折痕是

FG.若原正方形纸片的边长为6cm,则FG=

cm.

答案

解析如图,连接AA',作GM⊥AD于点M,作A'N⊥AD于点N,设AA'与FG交于点O,由题意知DN=

DC'=

cm,∴AN=AD-DN=

cm,A'N=

cm.在Rt△AA'N中,AA'=

=

cm,由对称性得FG垂直平分AA',∴∠1+∠3=90°,又∠2+∠3=90°,∴∠1=∠2,∴Rt△ANA'∽Rt△GMF,∴

=

,∴GF=

cm.

9.(2017甘肃兰州,26,10分)如图1,将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠,顶点C落到点

E处,BE交AD于点F.(1)求证:△BDF是等腰三角形;(2)如图2,过点D作DG∥BE,交BC于点G,连接FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状,并说明理由;②若AB=6,AD=8,求FG的长.

解析(1)证明:由折叠得,△BDC≌△BDE,∴∠DBC=∠DBF.

(1分)又∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠DBC=∠FDB.

(2分)∴∠DBF=∠FDB.∴DF=BF.∴△BDF是等腰三角形.

(3分)(2)①四边形BFDG是菱形.

(4分)理由如下:∵四边形ABCD是矩形,∴FD∥BG,

(5分)又∵DG∥BE,∴四边形BFDG是平行四边形.

(6分)又∵DF=BF,∴四边形BFDG是菱形.

(7分)②∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∴BD=

=

=10.∵四边形BFDG是菱形,∴GF⊥BD,FG=2OF,OD=

BD=5.

(8分)∵∠FDO=∠BDA,∠FOD=∠A=90°,∴△OFD∽△ABD.

(9分)∴

=

,即

=

,∴OF=

.∴FG=2OF=

.

(10分)思路分析

(1)利用折叠及矩形的性质得到角的等量关系,再用等角对等边转化成边的等量关

系;(2)先判断四边形BFDG是平行四边形,再利用一组邻边相等即可判断四边形BFDG是菱形;

(3)利用相似三角形的性质,把线段OF与矩形的边联系起来,求得线段OF的长,再利用菱形的性

质求出FG的长.10.(2017江苏徐州,27,9分)如图,将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠与展

平后,得折痕AD,BE(如图①),点O为其交点.(1)探求AO与OD的数量关系,并说明理由;(2)如图②,若P,N分别为BE,BC上的动点,①当PN+PD的长度取得最小值时,求BP的长度;②如图③,若点Q在线段BO上,BQ=1,则QN+NP+PD的最小值=

.

解析(1)AO=2OD.理由:∵△ABC是等边三角形,∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°,∴AO=OB,∵BD=CD,∴AD⊥BC,∴∠BDO=90°,∴OB=2OD,∴OA=2OD.(2)①作点D关于BE的对称点D',过D'作D'N⊥BC分别交BE、BC于P、N,连接BD',

则此时PN+PD的长度取得最小值,∵BE垂直平分DD',∴BD=BD',∵∠ABC=60°,∴△BDD'是等边三角形,∴BN=

BD=

,∵∠PBN=30°,∴

=

,∴PB=

.②

.提示:作Q关于BC的对称点Q',作D关于BE的对称点D',连接PD、QN,Q'D',则Q'D'即为QN+NP+PD的最小值.根据轴对称的定义可知:∠Q'BN=∠QBN=30°,∠QBQ'=60°,∴△BQQ'为等边三角形,△BDD'为等边三角形,∴∠D'BQ'=90°,∴在Rt△D'BQ'中,D'Q'=

=

.∴QN+NP+PD的最小值为

.思路分析

(1)根据等边三角形的性质得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°,从而得到AO=OB,

根据直角三角形的性质即可得到结论;(2)①作点D关于BE的对称点D',过D'作D'N⊥BC分别交BE、BC于P、N,连接BD',则此时PN+

PD的长度取得最小值,根据线段垂直平分线的性质知BD=BD',从而推出△BDD'是等边三角形,

得到BN=

BD=

,从而可得结论;②作Q关于BC的对称点Q',作D关于BE的对称点D',连接PD、QN,Q'D',则Q'D'即为QN+NP+PD

的最小值.根据轴对称的定义得到∠Q'BN=∠QBN=30°,∠QBQ'=60°,从而得到△BQQ'为等边

三角形,△BDD'为等边三角形,解直角三角形即可得到结论.解题关键

本题考查了等边三角形的性质和判定,解直角三角形,最短路径问题,根据轴对称的

定义,找到相等的线段是解题的关键.考点二图形的平移1.(2018江西,5,3分)小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作,他发现平移前后的两个图

形所组成的图形可以是轴对称图形.如图所示,现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一

次平移操作,平移后的正方形的顶点也在格点上,则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形

的平移方向有

()

A.3个

B.4个

C.5个

D.无数个答案

C如图所示,正方形ABCD可以向上、向下、向右以及沿射线AC或BD方向平移,平移

后的两个正方形组成轴对称图形.故选C.

2.(2018河北,15,2分)如图,点I为△ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB平移使其顶点与I重

合,则图中阴影部分的周长为

()

A.4.5

B.4

C.3

D.2答案

B如图,连接AI,BI,∵点I为△ABC的内心,∴AI平分∠BAC,BI平分∠ABC,∵AC∥IE,∴

∠CAI=∠AIE,∴∠EAI=∠AIE,∴AE=EI.同理,BF=FI,∴阴影部分的周长=EI+FI+EF=AE+BF+

EF=AB,∵AB=4,∴阴影部分的周长为4,故选B.

3.(2017贵州铜仁,6,4分)如图,△ABC沿着BC方向平移得到△A'B'C',点P是直线AA'上任意一点,

若△ABC,△PB'C'的面积分别为S1,S2,则下列关系正确的是

()

A.S1>S2

B.S1<S2

C.S1=S2

D.S1=2S2

答案

C∵△ABC沿着BC方向平移得到△A'B'C',∴AA'∥BC',又∵点P是直线AA'上任意一点,∴△ABC,△PB'C'的高相等,∴S1=S2,故选C.4.(2017浙江舟山,7,3分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(

,0),B(1,1).若平移点A到点C,使以点O,A,C,B为顶点的四边形是菱形,则正确的平移方法是

()A.向左平移1个单位,再向下平移1个单位B.向左平移(2

-1)个单位,再向上平移1个单位C.向右平移

个单位,再向上平移1个单位D.向右平移1个单位,再向上平移1个单位答案

D如图,∵OB=

=

,OA=

,AB=

=

≠

,∴以点O,A,C,B为顶点的平行四边形有以下三种平移方法:①将点A向右移动1个单位,再向上移动1个单位得

点C1(

+1,1),此时四边形OAC1B是菱形,故D选项符合条件,C选项不符合条件;②将点A向左移动(

+1)个单位,再向向上移动1个单位得点C2(1-

,1),此时四边形OABC2仅仅是平行四边形,不是菱形,故B选项不符合条件,③将点A向左移动1个单位,再向向下移动1个单位得点C3(

-1,-1),此时四边形OAC1B仅仅是平行四边形,不是菱形,故A选项不符合条件,故选D.

5.(2017广西百色,16,3分)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点C在y轴正半轴上,点A的坐标

为(2,0),将正方形OABC沿着OB方向平移

OB个单位,则点C的对应点坐标是

.

答案(1,3)解析∵在正方形OABC中,O为坐标原点,点C在y轴正半轴上,点A的坐标为(2,0),∴OC=OA=2,C(0,2),∵将正方形OABC沿着OB方向平移

OB个单位,即将正方形OABC先向右平移1个单位,再向上平移1个单位,∴点C的对应点坐标是(1,3).6.(2017安徽,18,8分)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC

和△DEF(顶点为网格线的交点),以及过格点的直线l.(1)将△ABC向右平移两个单位长度,再向下平移两个单位长度,画出平移后的三角形;(2)画出△DEF关于直线l对称的三角形;(3)填空:∠C+∠E=

°.

解析(1)如图所示.

(3分)(2)如图所示.

(6分)

(3)45.

(8分)提示:∠A1C1F1=∠C+∠E,连接A1F1,易证三角形A1F1C1是等腰直角三角形且∠A1C1F1=45°.考点三图形的旋转1.(2018新疆乌鲁木齐,6,4分)在平面直角坐标系xOy中,将点N(-1,-2)绕点O旋转180°,得到的对

应点的坐标是

()A.(1,2)

B.(-1,2)

C.(-1,-2)

D.(1,-2)答案

A将点N绕点O旋转180°后得到的对应点与点N关于原点对称,故对应点的坐标为(1,

2),故选A.2.(2018云南昆明,5,3分)如图,点A的坐标为(4,2).将点A绕坐标原点O旋转90°后,再向左平移1个

单位长度得到点A',则过点A'的正比例函数的解析式为

.

答案

y=-4x或y=-

x解析分情况讨论:①当点A绕原点O顺时针旋转90°时,旋转后得点A'(2,-4),向左平移1个单位

长度得点(1,-4),代入y=kx(k≠0)中,得k=-4,所以y=-4x;②当点A绕原点O逆时针旋转90°时,旋转

后得点A'(-2,4),向左平移1个单位长度得点(-3,4),代入y=kx(k≠0)中,得k=-

,所以y=-

x.所以过点A'的正比例函数的解析式为y=-4x或y=-

x.思路分析

点A绕坐标原点O旋转90°,要分顺时针和逆时针两种情况分别求旋转后所得点的

坐标,从而得平移后的点的坐标,再将平移后的点的坐标代入y=kx(k≠0)求解即可.易错警示

本题考查了点在平面直角坐标系内的旋转和平移、正比例函数解析式的求法,题

中旋转未指出旋转方向,需分情况讨论,若考虑不全,则易造成错误,导致失分.3.(2018江西,10,3分)如图,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AE-

FG,点B的对应点E落在CD上,且DE=EF,则AB的长为

.

答案3

解析根据旋转的性质,得BC=EF,AB=AE,又四边形ABCD为矩形,DE=EF,∴AD=DE=3,∠D=9

0°,即△ADE为等腰直角三角形,根据勾股定理得AE=

=3

,所以AB=AE=3

.解题关键

熟练掌握旋转的性质是解决本题的关键.4.(2018安徽,17,8分)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中,已知

点O,A,B均为网格线的交点.(1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段A1B1(点A,B的对

应点分别为A1,B1).画出线段A1B1;(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1.画出线段A2B1;(3)以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是

个平方单位.

解析(1)线段A1B1如图所示.

(3分)

(2)线段A2B1如图所示.

(6分)(3)20.

(8分)提示:根据(1)(2)可知四边形AA1B1A2是正方形,边长为

=2

,∴以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积为(2

)2=20(个平方单位).5.(2016北京,28,7分)在等边△ABC中,(1)如图1,P,Q是BC边上两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度数;(2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的

对称点为M,连接AM,PM.①依题意将图2补全;②小茹通过观察、试验,提出猜想:在点P,Q运动的过程中,始终有PA=PM.小茹把这个猜想与

同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:想法1:要证PA=PM,只需证△APM是等边三角形.想法2:在BA上取一点N,使得BN=BP,要证PA=PM,只需证△ANP≌△PCM.想法3:将线段BP绕点B顺时针旋转60°,得到线段BK,要证PA=PM,只需证PA=CK,PM=CK.……请你参考上面的想法,帮助小茹证明PA=PM.(一种方法即可)解析(1)∵△ABC为等边三角形,∴∠B=60°.∴∠APC=∠BAP+∠B=80°.∵AP=AQ,∴∠AQB=∠APC=80°.(2)①补全的图形如图所示.

②想法1:证明:过点A作AH⊥BC于点H,如图.

由△ABC为等边三角形,AP=AQ,可得∠PAB=∠QAC.∵点Q,M关于直线AC对称,∴∠QAC=∠MAC,AQ=AM.∴∠PAB=∠MAC,AM=AP.∴∠PAM=∠BAC=60°.∴△APM为等边三角形.∴PA=PM.想法2:证明:在BA上取一点N,使BN=BP,连接PN,CM,如图.

由△ABC为等边三角形,可得△BNP为等边三角形.∴AN=PC,∠ANP=120°.由AP=AQ,可得∠APB=∠AQC.又∵∠B=∠ACB=60°,∴△ABP≌△ACQ.∴BP=CQ.∵点Q,M关于直线AC对称,∴∠ACM=∠ACQ=60°,CM=CQ.∴NP=BP=CQ=CM.∵∠PCM=∠ACM+∠ACQ=120°,∴△ANP≌△PCM.∴PA=PM.想法3:证明:将线段BP绕点B顺时针旋转60°,得到BK,连接KP,CK,MC,如图.

∴△BPK为等边三角形.∴KB=BP=PK,∠KPB=∠KBP=60°.∴∠KPC=120°.由△ABC为等边三角形,可得△ABP≌△CBK.∴AP=CK.由AP=AQ,可得∠APB=∠AQC.∵AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°,∴△ABP≌△ACQ.∴BP=CQ.∵点Q,M关于直线AC对称,∴∠BCM=2∠ACQ=120°,CQ=CM=PK.∴MC∥PK.∴四边形PKCM为平行四边形.∴CK=PM,∴PA=PM.考点四尺规作图1.(2018河北,6,3分)尺规作图要求:Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线;Ⅱ.作线段的垂直平分

线;Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线;Ⅳ.作角的平分线.下图是按上述要求排乱顺序的尺规作图:

则正确的配对是

()A.①—Ⅳ,②—Ⅱ,③—Ⅰ,④—ⅢB.①—Ⅳ,②—Ⅲ,③—Ⅱ,④—ⅠC.①—Ⅱ,②—Ⅳ,③—Ⅲ,④—ⅠD.①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ答案

D根据尺规作图的方法可知正确的配对是①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ.故选D.2.(2017广东深圳,8,3分)如图,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于

AB为半径作弧,连接弧的交点得到直线l,在直线l上取一点C,使得∠CAB=25°,延长AC至M,求∠BCM的度数为

()

A.40°

B.50°

C.60°

D.70°答案

B由作法知直线l是线段AB的垂直平分线,C在l上,∴AC=BC,∴∠B=∠CAB=25°,∴∠

BCM=50°,故选B.3.(2017广西南宁,7,3分)如图,△ABC中,AB>AC,∠CAD为△ABC的外角,观察图中尺规作图的

痕迹,则下列结论错误的是

()

A.∠DAE=∠B

B.∠EAC=∠CC.AE∥BC

D.∠DAE=∠EAC答案

D根据作图痕迹可知,题图是用尺规作一个角等于已知角,即∠DAE=∠B,进而得到

AE∥BC,从而有∠EAC=∠C,故选项A、B、C均正确;因为AB>AC,所以∠ABC≠∠ACB,即∠

DAE≠∠EAC,故选项D错误,故选D.思路分析

由作图痕迹可知,在三角形ABC的外角∠CAD内画了一个新角∠DAE,且∠DAE

=∠B,由此得到其他相关的结论.4.(2017湖北随州,6,3分)如图,用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心,以任意长

为半径画弧①,分别交OA、OB于点E、F,那么第二步的作图痕迹②的作法是

()

A.以点F为圆心,OE长为半径画弧B.以点F为圆心,EF长为半径画弧C.以点E为圆心,OE长为半径画弧D.以点E为圆心,EF长为半径画弧答案

D用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心,以任意长为半径画弧①,分

别交OA、OB于点E、F,第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心,EF长为半径画弧.故选择

D.5.(2017湖南邵阳,16,3分)如图所示,已知∠AOB=40°,现按照以下步骤作图:①在OA,OB上分别截取线段OD,OE,使OD=OE;②分别以D,E为圆心,以大于

DE的长为半径画弧,在∠AOB内两弧交于点C;③作射线OC.则∠AOC的大小为

.

答案20°解析如图,连接CD、CE,由作法得OE=OD,CE=CD,而OC为公共边,所以可根据“SSS”证明

△COE≌△COD,所以∠COE=∠COD,即OC平分∠AOB.∵OC为∠AOB的角平分线,所以∠

AOC=

∠AOB,故答案为20°.

6.(2017浙江绍兴,15,5分)以Rt△ABC的锐角顶点A为圆心,适当长为半径作弧,与边AB,AC各相

交于一点,再分别以这两个交点为圆心,适当长为半径作弧,过两弧的交点与点A作直线,与边

BC交于点D,若∠ADB=60°,点D到AC的距离为2,则AB的长为

.答案2

解析依据题意画出图形(如图),根据画图可知,AD平分∠BAC,∵∠B=90°,∠ADB=60°,∴∠

BAD=30°,又∵DE⊥AC,∴BD=DE=2,在Rt△ABD中,tan30°=

,即

=

,∴AB=2

.

7.(2018陕西,17,5分)如图,已知:在正方形ABCD中,M是BC边上一定点,连接AM.请用尺规作图

法,在AM上求作一点P,使△DPA∽△ABM.(不写作法,保留作图痕迹)

解析如图所示,点P即为所求.

(5分)思路分析

过D点作DP⊥AM于点P,进而可利用∠APD=∠B,∠DAP=∠AMB判断△DPA∽△

ABM.C组教师专用题组考点一轴对称与折叠1.(2018云南,11,4分)下列图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的是

()A.三角形

B.菱形

C.角

D.平行四边形答案

B三角形不一定是轴对称图形,且不是中心对称图形;菱形既是轴对称图形,又是中心

对称图形;角是轴对称图形,但不是中心对称图形;平行四边形是中心对称图形,但不一定是轴

对称图形.故选B.2.(2018湖北武汉,10,3分)如图,在☉O中,点C在优弧

上,将弧 折叠后刚好经过AB的中点D.若☉O的半径为

,AB=4,则BC的长是

()

A.2

B.3

C.

D.

方法指导

在求解涉及圆的性质的问题时,通常运用垂径定理或圆周角定理得到相等的线段

或角或垂直关系,求解过程中常需作合适的辅助线构造直角三角形,利用勾股定理等知识进行

求解.答案

B连接AO,并延长交☉O于点D',则∠ABD'=90°.连接BD',CD',DD',DD'交BC于点E,连接

OD,OB,OC,∵D为AB的中点,∴OD⊥AB,∵AB=4,∴BD=

AB=2,∵OB=

,∴OD=

=1,∴BD'=2OD=2,即BD=BD',显然点D与点D'关于直线BC对称.∵∠ABD'=90°,∴∠ABC=∠

CBD'=45°,根据圆周角定理得∠AOC=90°,∴∠D'OC=90°,∴CD'=

OC=

,∵∠CBD'=45°,BD'=2,∴BE=ED'=

,根据勾股定理得CE=

=2

,所以BC=BE+CE=3

,故选B.

3.(2016黑龙江绥化,5,3分)把一张正方形纸片按如图①,图②对折两次后,再按如图③挖去一个

三角形小孔,则展开后的图形是

()

答案

C

A、B、C、D四个图形都符合以折痕所在直线为对称轴的特征.据此不能排除选

项.由于题图③是经过两次对折后得到的图形,所以题图③是展开后的图形的一部分,对照A、

B、C、D四个选项,只有C与之吻合(如图),故选择C.

4.(2016湖北宜昌,3,3分)如图,若要添加一条线段,使之既是轴对称图形又是中心对称图形,正确

的添加位置是

()

答案

A选项A中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形,选项B,C中的图形既不是轴对

称又不是中心对称图形,选项D中的图形是轴对称图形,但不是中心对称图形.5.(2016黑龙江龙东地区,12,3分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是

()

答案

D

A,B选项中的图形是轴对称图形,不是中心对称图形,C选项中的图形不是轴对称图

形,是中心对称图形,D选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形,故选D.6.(2018重庆A卷,16,4分)如图,把三角形纸片折叠,使点B、点C都与点A重合,折痕分别为DE,

FG,得到∠AGE=30°,若AE=EG=2

厘米,则△ABC的边BC的长为

厘米.

答案(6+4

)解析过E作EH⊥AG于H.∵∠AGE=30°,AE=EG=2

,∴EH=

,GH=EGcos30°=3,∴AG=6,∴GC=AG=6,易知BE=AE=EG=2

,∴BC=BE+EG+GC=(6+4

)厘米.7.(2018新疆乌鲁木齐,15,4分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2

,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE所在直线把△BDE翻折到△B'DE的位置,B'D交AB于点F.若△AB'F为

直角三角形,则AE的长为

.

答案3或2.8解析易知∠B'AF不可能为直角.当∠B'FA是直角时,如图1,

图1∵∠C是直角,∠ABC=∠DBF,∴△BCA∽△BFD,∴

=

,又∵BC=2

,且易知BD=

,AB=4,∴BF=

×2

=

,由翻折可知△DBE≌△DB'E,∴BE=B'E,∠EB'F=∠ABD=30°,∴BE=EB'=2EF,∴BE=

BF=1,∴AE=4-1=3.当∠FB'A是直角时,如图2,

图2连接B'C、