2011年中考数学试题分类43开放型问题

第43章开放型问题1.

（2011四川宜宾,22,7分）如图，飞机沿水平方向（A，B两点所在直线）翱翔，前面有一座顶峰，为了防备飞机翱翔过低，就一定丈量山顶M到翱翔路线AB的距离MN．飞机能够丈量的数占有俯角和翱翔距离（因安全要素，飞机不可以飞到山顶的正上方N处才测翱翔距离），请设计一个求距离MN的方案，要求：1）指出需要丈量的数据（用字母表示，并在图中标出）；2）用测出的数据写出求距离MN的步骤．【答案】解：此题为开放题，答案不唯一，只需方案设计合理，可参照给分⑴如图，测出飞机在A处对山顶的俯角为，测出飞机在B处对山顶的俯角为，测出AB的距离为d，连接AM，BM．⑵第一步，在MN∴MNRtAMN中，tanANANtanMNMN第二步，在RtBMN中，tan∴BNBNtan此中ANddtantan．BN，解得MNtantan（第25题解答图）2.（2011山东济宁，22，8分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，

DP的垂直均分线交边

DC于M

，交边

AB的延长线于

N.当CP

6时，

EM

与

EN

的比值是多少？经过思虑，小明展现了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，G，如图2，则可得：DFDE，由于DEEP，因此DFFC.可求出EF和EGFCEP的值，从而可求得EM与EN的比值.(1)请依据小明的思路写出求解过程.小东又对此题作了进一步研究，得出了DPMN的结论.你以为小东的这个结论正确吗？假如正确，请恩赐证明；假如不正确，请说明原由.(第22题)（1）解：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于点F，G，则DFDE，EMEF，GFBC12.FCEPENEG∵DEEP，∴DFFC.·····································2分∴EF1CP163，EGGFEF12315.22∴EMEF31.······································4分ENEG155（2）证明：作MH∥BC交AB于点H，····························5分则MHCBCD，MHN90.∵DCP1809090，DCPMHN.∵MNHCMNDME90CDP，DPC90CDP，∴DPCMNH.∴DPCMNH.······························7分∴DPMN.··············································8分ADEHMBCPN(第22题)3.（2011山东威海，24，11分）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，获得△MNK．（1）若∠1=70°，求∠MNK的度数．（2）△MNK的面积能否小于1？若能，求出此时∠1的度数；若不可以，试说明原由．23）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图研究可能出现的状况，求出最大值．（备用图）【答案】解：∵ABCD是矩形，AM∥DN，∴∠KNM=∠1．∵∠KMN=∠1，∴∠KNM=∠KMN．∵∠1=70°，∴∠KNM=∠KMN=70°．∴∠MNK=40°．（2）不可以．过M点作ME⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1,由（1）知∠KNM=∠KMN．MK=NK．又MK≥ME,NK≥1．∴SMNK1NKME1．221，不行能小于1．∴△MNK的面积最小值为22（3）分两种状况：状况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合．设MK=MD=x，则AM=5-x，由勾股定理，得12(5x)2x2,解得，x2.6．即MDND2.6．∴SMNKSACK112.61.3．（状况一）2状况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC．设MK=AK=CK=x，则DK=5-x，同理可得即MKNK2.6．∴SMNKSACK11．2∴△MNK的面积最大值为1.3．（状况二）4.（2011山东烟台，24,10分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．1）求证：AB＝BC；2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．BCAED【答案】（1）证明：连接AC，∵∠ABC＝90°，AB2＋BC2＝AC2.CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2.AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2，∴AB＝BC.2）证明：过C作CF⊥BE于F.BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形.CD＝EF.∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF.AE＝BF.BE＝BF＋EF＝AE＋CD.（2011湖北襄阳，21，6分）如图6，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE.①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②③；①③②；②③①.（1）