大学物理第五章

角动量定理上讲内容：基本概念1.角动量质点质点系定轴刚体2.转动惯量例题1.由长l的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过A垂直于该平面的轴的转动惯量。刚体的总质量(同分布,J大>J小)影响J的因素刚体质量分布(同m,J空>J实)转轴的位置3.计算A'若转轴过A′点2.一长为L的细杆，质量m均匀分布，求该杆对垂直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。解:(1)轴过中点(2)轴过一端端点3.求质量m,半径R的圆环对中心垂直轴的转动惯量解:圆环上取微元dmJ1

=mR2+m1R2思考1.环上加一质量为m1的质点,J1

=?ROdmm1思考2.环上有一个x的缺口，J2=?xRO4.求质量m,半径R的均匀圆盘对中心垂直轴的转动惯量。ROrdr解:圆盘上取半径为r宽度dr的圆环作为质量元dm5.求质量m,半径R的球体对直径的转动惯量解:球体上取半径为r厚度dx

的圆盘作为质量元dm教材:球面球体的求解方法Rorx注意：对同轴的转动惯量才具有可加减性。平行轴定理正交轴定理对平面刚体证明见教材95页教材P.95一些均匀刚体的转动惯量表练习求长L、质量m的均匀杆对z轴的转动惯量解一：解三：解二：§5.2角动量的时间变化率一、质点角动量的时间变化率质点位矢合力m二、力矩定义：1、对参考点的力矩大小：方向：服从右手螺旋法则2、对轴的力矩第一项方向垂直于轴，其效果是改变轴的方位，在定轴问题中，与轴承约束力矩平衡。第二项方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动状态，称为力对轴的矩，表为代数量：轴与转动平面的交点O到力作用点的位矢力在转动平面内的分量即：力对O点的力矩在z轴方向的分量注意:a.力矩求和只能对同一参考点(或轴)进行。矢量和代数和b.三、质点系角动量的时间变化率对个质点组成的质点系，由可得两边求和得于是：质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力矩的矢量和(合外力矩

)注意：合外力矩是质点系所受各外力矩的矢量和，而非合力的力矩。由图可知[例1]质量为m，长为L的细杆在水平粗糙桌面上绕过其一端的竖直轴旋转，杆与桌面间的摩擦系数为，求摩擦力矩。1)杆的质量均匀分布2)杆的密度与离轴距离成正比解1)解2：设杆的线密度实际意义半径R，质量m的匀质圆盘，与桌面间摩擦系数µ，求摩擦力矩等效简化模型：长R，线密度=kr总质量m的细杆一.角动量定理的微分形式§5.3角动量定理dt上式两边同时乘以，得到质点的角动量定理的微分形式质点角动量的时间变化率等于质点所受的合力矩元角冲量1、质点质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力矩的矢量和。dt上式两边同时乘以，得到质点系的角动量定理的微分形式内力矩只改变质点系总角动量在系内的分配，不影响总角动量。2、质点系3、定轴刚体由得刚体的定轴转动定理表明：刚体的角加速度与外力对转轴的力矩成正比，与刚体对该轴的转动惯量成反比。物理意义：理解：力矩的瞬时作用效果是产生角加速度，力矩是刚体的转动状态发生变化的原因。而转动惯量是刚体转动惯性大小的量度。m是物体平动惯性的量度。٭J是物体转动惯性的量度。٭改变物体平动状态的原因٭改变物体绕轴转动状态的原因٭dt两边同时乘以，得到由定轴刚体的角动量定理的微分形式

例1:一定滑轮的质量为，半径为，一轻绳两边分别系和两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。已知：求：思路：先求角加速度刚体定轴转动定律解：在地面参考系中，分别以为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律和刚体定轴转动定律建立方程。思考：×以向下为正方向(1)以向上为正方向(2)m1gT1a1a2T2m2g+四个未知数：三个方程？绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：解得：以顺时针方向为正方向对滑轮:(3)如图示，两物体质量分别为和，滑轮质量为，半径为。已知与桌面间的滑动摩擦系数为，求下落的加速度和两段绳中的张力。解：在地面参考系中，选取、和滑轮为研究对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得：练习1向里+列方程如下：可求解图6-14mMR

解对柱体,由转动定律M=J有

mg.R=J这式子对吗？

错！此时绳中张力Tmg。正确的解法是用隔离体法。练习2质量为M、半径为R的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长的细绳，绳与柱体间无相对滑动，绳子下端挂一质量为m的物体，如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力。mg对m:mg-T=ma对柱：TR=J关联：a=R解得=2mg/[(2m+M)R]T=Mmg/(2m+M)TaMg例2.

质量为M的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为m、长为l的匀质柔软绳索（如图）。设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长差为s时，绳的加速度的大小。解：在地面参考系中，建立如图x坐标，设滑轮半径为r有：ox1x2sMABrxox1x2sMABrxCBCA用隔离法列方程:(以逆时针方向为正)解得：T1JT2.CAT1mAg.CBT2mBg二.角动量定理的积分形式积分形式微分形式质点质点系定轴刚体注意：(1)力矩对时间的积累：角冲量定义：效果：改变角动量(3)同一式中，等角量要对同一参考点或同一轴计算。变化量与对应，描述力对时间的累积效应变化率与对应，描述力的瞬时效应(2)比较：变化量与对应，描述力矩对时间的累积效应变化率与对应，描述力矩的瞬时效应三.角动量定理的应用举例——旋进(1)陀螺1)若，则在重力矩作用下，陀螺将绕垂直于板面的轴转动，即倒地。2)当时，因重力矩将改变的方向，而不改变的大小。最终效果：陀螺绕竖直轴旋转—旋进旋进角速度（2）炮弹