相似矩阵与矩阵对角化

1一.相似矩阵及其性质

§4.2

相似矩阵与矩阵对角化二.矩阵与对角矩阵相似的条件三.矩阵对角化的步骤四.小结与思考题2定义4.3设A,B都是n阶矩阵,若存在可逆矩阵P

使得则称矩阵B是矩阵A的相似矩阵,对A进行运算可逆矩阵P

称为把矩阵A变成矩阵B的相似变换矩阵.或称矩阵A与矩阵一.相似矩阵及其性质记作A∽

B.B相似,称为对A进行相似变换,3（1）反身性：A∽

A.（2）对称性：若A∽

B.B∽A.（3）传递性：若A∽

B.AB∽C.则A∽

C.

(1)相似矩阵有相同的行列式;相似矩阵还具有如下性质：注1

矩阵相似是一种等价关系.它具有如下性质:(3)相似矩阵有相同的可逆性,当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似；

(2)相似矩阵有相同的行列式;4则证

(1)如果A∽B，则存在可逆矩阵P,有(2)如果A∽B，则存在可逆矩阵P，有所以，R(A)=R(B).(4)相似矩阵的幂仍相似．即若A∽B，则Ak∽Bk（k为任意非负整数)；(5)相似矩阵有相同的特征值.5若A与B均可逆，因为A∽B，故存在可逆矩阵P，使得

(3)因为R(A)=R(B)，因此矩阵A与B同时可逆或不可逆．当k为正整数时，若(4)当k=0时，A0=B0=E，所以A0∽B

0

．由数学归纳方法知，则有6即Ak∽Bk

(5)设A∽B

，则存在可逆矩阵P，有即相似矩阵有相同的特征多项式故而有相同的特征值．注1

虽然相似矩阵有相同的特征值，但它们属于同一特征值的特征向量不一定相同.7二.矩与对角矩阵相似的条件对n阶方阵A,如果可以找到可逆矩阵P,使得为对角阵,就称为把方阵A对角化.定理4.5

n阶矩阵A与对角阵相似（可对角化）的充要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量.证1.矩阵A与对角矩阵相似的条件8910(逆命题不一定成立)推论

若n阶矩阵A有n个互异的特征值,则A可对角化(A与对角阵相似).

注3

定理4.5的证明过程还表明，与矩阵A相似的对角阵不唯一（对角阵中主对角元的顺序可以变动），相应地，可逆矩阵P也不唯一．注2

若A~,

则

的主对角元素即为A

的特征值，相似标准形.如果不计k的排列顺序,则唯一，称之为矩阵A的11推论2

n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A的每个k重特征值恰好对应有k个线性无关的特征向量(即矩阵E–A的秩为n–

k）.三、矩阵对角化的步骤

将矩阵对角化的步骤为：(1)

计算n阶矩阵A的特征多项式(2)

求出特征方程的全部根,它们就是矩阵A的全部特征值；12(3)

设是A的全部不同的特征值．对于每一个设其为ki

重特征值,求矩阵(iE–A)的秩ri如果：a．存在一个i有，n-ri

＜ki,则A不相似对角阵；ｂ．对任意的i有，n-ri

＝

＜ki,则A相似对角阵;

(4)

解齐次线性方程组求出它的一个基础解系就是A的属于特征值i的一组极大线性无关特征向量.13(5)令14例1

判断下列实矩阵能否化为对角阵？解15得基础解系得齐次线性方程组为16齐次线性方程组为得基础解系17线性无关即A有3个线性无关的特征向量,所以A

可以对角化.18得基础解系所以A不能化为对角矩阵.齐次线性方程组为19解例2

设若能对角化,求出可逆矩阵P使得P-1AP为对角阵.问A能否对角化？20得基础解系齐次线性方程组为齐次线性方程组为21得基础解系所以A可以对角化.线性无关,22令则有23注5

若即矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．则有把一个矩阵化为对角阵,不仅可以使矩阵运算简化,而且在理论和应用上都有意义.24可对角化的矩阵主要有以下几种应用：1.由矩阵A的特征值、特征向量反求矩阵A.例3

已知方阵A的特征值是相应的特征向量是求矩阵A.解因为特征向量是3维向量,所以矩阵A是3阶方阵.又因为A有3个不同的特征值,所以A可以对角化.25即存在可逆矩阵P,使得其中求得26272.求方阵的幂例4

设求解可见,A可以对角化.齐次线性方程组为系数矩阵得基础解系28齐次线性方程组为系数矩阵得基础解系:令求得即存在可逆矩阵P,使得29303.求行列式例5

设A是n阶方阵，计算解方法1因为A的特征值是2,4,…,2n,

的特征值是是A的n个特征值,求A-3E的全部特征值,再求乘积即为行列式的值.31方法2可逆矩阵P,使得已知A有n个不同的特征值,所以A可以对角化,即存在324.判断矩阵是否相似解方法1令例6

已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3,设问矩阵B能否与对角阵相似？所以B的特征值为333阶矩阵B有3个不同的特征值,所以B可以对角化.即存在可逆矩阵P,使得方法2因为矩阵A有3个不同的特征值,所以可以对角化,34所以矩阵B能与对角阵相似.35例7

设n阶方阵A，B有n个互异的特征值,n阶方阵B

与A有相同的特征值,证明

A与B相似.证设方阵A的n个互异的特征值为则存在可逆矩阵P1,使得也是矩阵B的特征值,36所以存在可逆矩阵P2,使得即存在可逆矩阵故A与B相似.使得37充分性.因为n阶矩阵A的每个k重特征值对应有k个线性无关的特征向量所以A的所有特征值对应的线性无关的特征向量合起来刚好有n个,由定理4.5,A与对角阵相似.例8

设方阵A与B相似,且(1)求x与y;(2)求可逆矩阵P,

使得

38解(1)因为方阵A与B相似,故从而比较等式两边的系数,得39

(2)由矩阵B知A的特征值为2,1,-1,且可得A属于特征值2,1,-1的线性无关特征向量分别为例9

已知是矩阵特征向量.(1)求a,b及X所对应的特征值；（2）问A能否与对角阵相似.40解（1）由AX=X,得解得(2)

由知是矩阵A的三重特征值.41由于三.小结与思考题1.理解相似矩阵的定义及其性质；若A与B是相似矩阵,则存在可逆矩阵P

使得从而三重特征值对应的线性无关特征向量的个数只有一个,故A不能与对角矩阵相似.42思考题设A为三阶矩阵，是线性无关的三维列向量,且满足2.掌握n阶矩阵A与对角矩阵相似的条件;

n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量.3.掌握将n阶矩阵A化为对角矩阵的方法.43(I)求矩阵B,使得（III）求可逆矩阵P,使得为对角矩阵.思考题解答（II）求矩阵A的特征值；(I)44是线性无关的三维列向量,可逆,所以即矩阵A与B相似,由此可得矩阵A与B有相同的特征值.由

得矩阵B的特征值,也即矩阵A的特征值可知矩阵（II）45(III)

对应于(E

-B)X=θ,得基础解系对