中考数学专题复习-压轴题(含答案)

.<年XX市>在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上,且OA>OB,以AB为直径的圆过点C若C的坐标为<0,2>,AB=5,A,B两点的横坐标XA,XB是关于X的方程的两根:求m,n的值若∠ACB的平分线所在的直线交x轴于点D,试求直线对应的一次函数的解析式过点D任作一直线分别交射线CA,CB〔点C除外于点M,N,则的值是否为定值,若是,求出定值,若不是,请说明理由AACOBNDML`22.<年XX省XX市>已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A〔-1,0、B〔0,3两点,其顶点为D.<1>求该抛物线的解析式；<2>若该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE的面积；<3>△AOB与△BDE是否相似？如果相似,请予以证明；如果不相似,请说明理由.〔注：抛物线y=ax2+bx+c<a≠0>的顶点坐标为23.<天津市年>已知抛物线,〔Ⅰ若,,求该抛物线与轴公共点的坐标；〔Ⅱ若,且当时,抛物线与轴有且只有一个公共点,求的取值范围；〔Ⅲ若,且时,对应的；时,对应的,试判断当时,抛物线与轴是否有公共点？若有,请证明你的结论；若没有,阐述理由．24.<年XX市>如图①,四边形和都是正方形,它们的边长分别为〔,且点在上〔以下问题的结果均可用的代数式表示．〔1求；〔2把正方形绕点按逆时针方向旋转45°得图②,求图②中的；〔3把正方形绕点旋转一周,在旋转的过程中,是否存在最大值、最小值？如果存在,直接写出最大值、最小值；如果不存在,请说明理由．DDCBAEFGGFEABCD①②.25.〔年上海市已知,,〔如图13．是射线上的动点〔点与点不重合,是线段的中点．〔1设,的面积为,求关于的函数解析式,并写出函数的定义域；〔2如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切,求线段的长；〔3联结,交线段于点,如果以为顶点的三角形与相似,求线段的长．BBADMEC图13BADC备用图26.〔年XX省某县社会主义新农村建设办公室,为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题,想在这三个地方的其中一处建一所供水站．由供水站直接铺设管道到另外两处．如图,甲,乙两村坐落在夹角为的两条公路的段和段〔村子和公路的宽均不计,点表示这所中学．点在点的北偏西的3km处,点在点的正西方向,点在点的南偏西的km处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短,现有如下三种方案：方案一：供水站建在点处,请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村〔线段某处,甲村要求管道建设到处,请你在图①中,画出铺设到点和点处的管道长度之和最小的线路图,并求其最小值；方案三：供水站建在甲村〔线段某处,请你在图②中,画出铺设到乙村某处和点处的管道长度之和最小的线路图,并求其最小值．综上,你认为把供水站建在何处,所需铺设的管道最短？MMAECDBF乙村甲村东北图①MAECDBF乙村甲村图②OO27.〔年XX省XX市已知：如图①,在Rt△ACB中,∠C＝90°,AC＝4cm,BC＝3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t〔s〔0＜t＜2,解答下列问题：〔1当t为何值时,PQ∥BC？〔2设△AQP的面积为y〔,求y与t之间的函数关系式；〔3是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在,求出此时t的值；若不存在,说明理由；〔4如图②,连接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,那么是否存在某一时刻t,使四边形PQP′C为菱形？若存在,求出此时菱形的边长；若不存在,说明理由．图图=2\*GB3②AQCPB图=1\*GB3①AQCPB28.〔年XX省XX市已知双曲线与直线相交于A、B两点.第一象限上的点M〔m,n〔在A点左侧是双曲线上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过N〔0,－n作NC∥x轴交双曲线于点E,交BD于点C.〔1若点D坐标是〔－8,0,求A、B两点坐标及k的值.〔2若B是CD的中点,四边形OBCE的面积为4,求直线CM的解析式.〔3设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点,且MA＝pMP,MB＝qMQ,求p－q的值.29.〔年XX省XX市一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点,每个点安装一个这种转发装置,使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：〔1能否找到这样的4个安装点,使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？〔2至少需要选择多少个安装点,才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时,画出必要的示意图,并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．〔下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图,供解题时选用图4图3图2图1图4图3图2图1压轴题答案1.解：〔1由已知得：解得c=3,b=2∴抛物线的线的解析式为<2>由顶点坐标公式得顶点坐标为〔1,4所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称,所以E<3,0>设对称轴与x轴的交点为F所以四边形ABDE的面积====9〔3相似如图,BD=BE=DE=所以,即：,所以是直角三角形所以,且,所以.2.<1>∵A,B两点的坐标分别是A<10,0>和B<8,>,∴,∴当点A´在线段AB上时,∵,TA=TA´,∴△A´TA是等边三角形,且,∴,,A´yE∴,A´yExOCTPBA当A´与B重合时,AT=AB=,xOCTPBA所以此时.<2>当点A´在线段AB的延长线,且点P在线段AB<不与B重合>上时,纸片重叠部分的图形是四边形<如图<1>,其中E是TA´与CB的交点>,A´yx当点P与B重合时,AT=2AB=8,点T的坐标是<2,0>A´yx又由<1>中求得当A´与B重合时,T的坐标是<6,0>PBE所以当纸片重叠部分的图形是四边形时,.PBEFC<3>S存在最大值FCATOeq\o\ac<○,1>当时,,ATO在对称轴t=10的左边,S的值随着t的增大而减小,∴当t=6时,S的值最大是.eq\o\ac<○,2>当时,由图eq\o\ac<○,1>,重叠部分的面积∵△A´EB的高是,∴当t=2时,S的值最大是；eq\o\ac<○,3>当,即当点A´和点P都在线段AB的延长线是<如图eq\o\ac<○,2>,其中E是TA´与CB的交点,F是TP与CB的交点>,∵,四边形ETAB是等腰形,∴EF=ET=AB=4,∴综上所述,S的最大值是,此时t的值是.3.解：〔1,,,．点为中点,．,．,,．〔2,．,,,,即关于的函数关系式为：．〔3存在,分三种情况：ABCDERPHQM21①ABCDERPHQM21,,．,,ABCDEABCDERPHQABCDERPABCDERPHQ．③当时,则为中垂线上的点,于是点为的中点,．,ABCMNABCMNP图1O综上所述,当为或6或时,为等腰三角形．4.解：〔1∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM＝∠C．∴△AMN∽△ABC．∴,即．∴AN＝x．……………2分∴=．〔0＜＜4……………3分ABCMND图2OQ〔2如图2,设直线BC与⊙O相切于点D,连结AO,ODABCMND图2OQ在Rt△ABC中,BC＝=5．由〔1知△AMN∽△ABC．∴,即．∴,∴．…5分过M点作MQ⊥BC于Q,则．在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角,∴△BMQ∽△BCA．∴．∴,．∴x＝．∴当x＝时,⊙O与直线BC相切．…………………7分ABCMNP图3O〔3随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连结APABCMNP图3O∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠AOM＝∠APC．∴△AMO∽△ABP．∴．AM＝MB＝2．故以下分两种情况讨论：=1\*GB3①当0＜≤2时,．ABCMNP图4OEABCMNP图4OEF=2\*GB3②当2＜＜4时,设PM,PN分别交BC于E,F．∵四边形AMPN是矩形,∴PN∥AM,PN＝AM＝x．又∵MN∥BC,∴四边形MBFN是平行四边形．∴FN＝BM＝4－x．∴．又△PEF∽△ACB．∴．∴．………………9分＝．……10分当2＜＜4时,．∴当时,满足2＜＜4,．……11分综上所述,当时,值最大,最大值是2．…………12分5.解：〔1〔-4,-2；〔-m,-<2>①由于双曲线是关于原点成中心对称的,所以OP=OQ,OA=OB,所以四边形APBQ一定是平行四边形②可能是矩形,mn=k即可不可能是正方形,因为Op不能与OA垂直.解：〔1作BE⊥OA,∴ΔAOB是等边三角形∴BE=OB·sin60o=,∴B<,2>∵A<0,4>,设AB的解析式为,所以,解得,的以直线AB的解析式为〔2由旋转知,AP=AD,∠PAD=60o,∴ΔAPD是等边三角形,PD=PA=6.解：〔1作BE⊥OA,∴ΔAOB是等边三角形∴BE=OB·sin60o=,∴B<,2>∵A<0,4>,设AB的解析式为,所以,解得,以直线AB的解析式为〔2由旋转知,AP=AD,∠PAD=60o,∴ΔAPD是等边三角形,PD=PA=如图,作BE⊥AO,DH⊥OA,GB⊥DH,显然ΔGBD中∠GBD=30°∴GD=BD=,DH=GH+GD=+=,∴GB=BD=,OH=OE+HE=OE+BG=∴D<,><3>设OP=x,则由〔2可得D<>若ΔOPD的面积为：解得：所以P<,0>7.解:<1>①………………2分②仍然成立……………………1分在图〔2中证明如下∵四边形、四边形都是正方形∴,,∴…………………1分∴〔SAS………1分∴又∵∴∴∴…………1分〔2成立,不成立…………………2分简要说明如下∵四边形、四边形都是矩形,且,,,<,>∴,∴∴………………………1分∴又∵∴∴∴……………1分〔3∵∴又∵,,∴………………1分∴………………………1分8.解：〔1①……………2分,,S梯形OABC=12……………2分②当时,直角梯形OABC被直线扫过的面积=直角梯形OABC面积－直角三角开DOE面积…………4分〔2存在……………………1分…〔每个点对各得1分……5分对于第〔2题我们提供如下详细解答〔评分无此要求.下面提供参考解法二：以点D为直角顶点,作轴设.〔图示阴影,在上面二图中分别可得到点的生标为P〔－12,4、P〔－4,4E点在0点与A点之间不可能；②以点E为直角顶点同理在②二图中分别可得点的生标为P〔－,4、P〔8,4E点在0点下方不可能.以点P为直角顶点同理在③二图中分别可得点的生标为P〔－4,4〔与①情形二重合舍去、P〔4,4,E点在A点下方不可能.综上可得点的生标共5个解,分别为P〔－12,4、P〔－4,4、P〔－,4、P〔8,4、P〔4,4．下面提供参考解法二：以直角进行分类进行讨论〔分三类：第一类如上解法⑴中所示图,直线的中垂线方程：,令得．由已知可得即化简得解得；第二类如上解法②中所示图,直线的方程：,令得．由已知可得即化简得解之得,第三类如上解法③中所示图,直线的方程：,令得．由已知可得即解得〔与重合舍去．综上可得点的生标共5个解,分别为P〔－12,4、P〔－4,4、P〔－,4、P〔8,4、P〔4,4．事实上,我们可以得到更一般的结论：如果得出设,则P点的情形如下直角分类情形9.10.11.解：〔1设地经XX湾跨海大桥到XX港的路程为千米,由题意得, 2分解得．地经XX湾跨海大桥到XX港的路程为180千米． 4分〔2〔元,该车货物从地经XX湾跨海大桥到XX港的运输费用为380元． 6分〔3设这批货物有车,由题意得, 8分整理得,解得,〔不合题意,舍去, 9分这批货物有8车． 10分12.解：〔1． 3分〔2相等,比值为． 5分〔无"相等"不扣分有"相等",比值错给1分〔3设,在矩形中,,,,,,． 6分同理．,,． 7分,, 8分解得．即． 9分〔4, 10分． 12分13.解：〔1分别过D,C两点作DG⊥AB于点G,CH⊥AB于点H．……………1分∵AB∥CD,∴DG＝CH,DG∥CH．∴四边形DGHC为矩形,GH＝CD＝1．CDABEFNMGH∵DG＝CH,AD＝BC,∠AGCDABEFNMGH∴△AGD≌△BHC〔HL．∴AG＝BH＝＝3．………2分∵在Rt△AGD中,AG＝3,AD＝5,∴DG＝4．∴．………………3分CDABEFNMGH〔2∵MN∥ABCDABEFNMGH∴ME＝NF,ME∥NF．∴四边形MEFN为矩形．∵AB∥CD,AD＝BC,∴∠A＝∠B．∵ME＝NF,∠MEA＝∠NFB＝90°,∴△MEA≌△NFB〔AAS．∴AE＝BF．……4分设AE＝x,则EF＝7－2x．……………5分∵∠A＝∠A,∠MEA＝∠DGA＝90°,∴△MEA∽△DGA．∴．∴ME＝．…………6分∴．……8分当x＝时,ME＝＜4,∴四边形MEFN面积的最大值为．……………9分〔3能．……………………10分由〔2可知,设AE＝x,则EF＝7－2x,ME＝．若四边形MEFN为正方形,则ME＝EF．即7－2x．解,得．……………11分∴EF＝＜4．∴四边形MEFN能为正方形,其面积为．14.解：〔1由题意可知,．解,得m＝3．………………3分xOyABM1N1M2N2xOyABM1N1M2N2∴k＝4×3=12．……………4分〔2存在两种情况,如图：①当M点在x轴的正半轴上,N点在y轴的正半轴上时,设M1点坐标为〔x1,0,N1点坐标为〔0,y1．∵四边形AN1M1B为平行四边形,∴线段N1M1可看作由线段AB向左平移3个单位,再向下平移2个单位得到的〔也可看作向下平移2个单位,再向左平移3个单位得到的．由〔1知A点坐标为〔3,4,B点坐标为〔6,2,∴N1点坐标为〔0,4－2,即N1〔0,2；………………5分M1点坐标为〔6－3,0,即M1〔3,0．………………6分设直线M1N1的函数表达式为,把x＝3,y＝0代入,解得．∴直线M1N1的函数表达式为．……8分②当M点在x轴的负半轴上,N点在y轴的负半轴上时,设M2点坐标为〔x2,0,N2点坐标为〔0,y2．∵AB∥N1M1,AB∥M2N2,AB＝N1M1,AB＝M2N2,∴N1M1∥M2N2,N1M1＝M2N2．∴线段M2N2与线段N1M1关于原点O成中心对称．∴M2点坐标为〔-3,0,N2点坐标为〔0,-2．………9分设直线M2N2的函数表达式为,把x＝-3,y＝0代入,解得,∴直线M2N2的函数表达式为．所以,直线MN的函数表达式为或．………………11分〔3选做题：〔9,2,〔4,5．………………2分15.解：<1>解法1：根据题意可得：A<-1,0>,B<3,0>；则设抛物线的解析式为<a≠0>又点D<0,-3>在抛物线上,∴a<0+1><0-3>=-3,解之得：a=1∴y=x2-2x-3 3分自变量范围：-1≤x≤3 4分解法2：设抛物线的解析式为<a≠0>根据题意可知,A<-1,0>,B<3,0>,D<0,-3>三点都在抛物线上∴,解之得：∴y=x2-2x-3 3分自变量范围：-1≤x≤3 4分<2>设经过点C"蛋圆"的切线CE交x轴于点E,连结CM,在Rt△MOC中,∵OM=1,CM=2,∴∠CMO=60°,OC=在Rt△MCE中,∵OC=2,∠CMO=60°,∴ME=4∴点C、E的坐标分别为<0,>,<-3,0> 6分AOBMDC解图12AOBMDC解图12yxE<3>设过点D<0,-3>,"蛋圆"切线的解析式为：y=kx-3<k≠0> 9分由题意可知方程组只有一组解即有两个相等实根,∴k=-2 11分∴过点D"蛋圆"切线的解析式y=-2x-3 12分16.解：〔1,．图1图1OPAxBDCQy图2OPAxBCQy图3OFAxBCyEQP〔2当时,过点作,交于,如图1,则,,,．〔3①能与平行．若,如图2,则,即,,而,．②不能与垂直．若,延长交于,如图3,则．．．又,,,,而,不存在．17.解：〔1直线与轴交于点,与轴交于点．, 1分点都在抛物线上,抛物线的解析式为 3分顶点 4分〔2存在 5分 7分 9分〔3存在 10分理由：解法一：延长到点,使,连接交直线于点,则点就是所求的点． 11分AOxyBFC图9AOxyBFC图9HBM点在抛物线上,在中,,,,在中,,,, 12分设直线的解析式为解得 13分解得在直线上存在点,使得的周长最小,此时． 14分解法二：AOxyBFC图10HMG过点作的垂线交轴于点,则点为点关于直线的对称点．连接交于点,则点即为所求． 11分AOxyBFC图10HMG过点作轴于点,则,．,同方法一可求得．在中,,,可求得,为线段的垂直平分线,可证得为等边三角形,垂直平分．即点为点关于的对称点． 12分设直线的解析式为,由题意得解得 13分解得在直线上存在点,使得的周长最小,此时． 118.解：〔1点在轴上 1分理由如下：连接,如图所示,在中,,,,由题意可知：点在轴上,点在轴上． 3分〔2过点作轴于点,在中,,点在第一象限,点的坐标为 5分由〔1知,点在轴的正半轴上点的坐标为点的坐标为 6分抛物线经过点,由题意,将,代入中得解得所求抛物线表达式为： 9分〔3存在符合条件的点,点． 10分理由如下：矩形的面积以为顶点的平行四边形面积为．由题意可知为此平行四边形一边,又边上的高为2 11分依题意设点的坐标为点在抛物线上解得,,,以为顶点的四边形是平行四边形,yxODEyxODECFABM当点的坐标为时,点的坐标分别为,；当点的坐标为时,点的坐标分别为,． 14分〔以上答案仅供参考,如有其它做法,可参照给分19.解：〔1在中,令xyABxyABCEMDPNO, 1分又点在上的解析式为 2分〔2由,得 4分,, 5分 6分〔3过点作于点 7分 8分由直线可得：在中,,,则, 9分 10分 11分此抛物线开口向下,当时,当点运动2秒时,的面积达到最大,最大为． 20.解：〔1如图,过点B作BD⊥OA于点D.在Rt△ABD中,∵∣AB∣=,sin∠OAB=,∴∣BD∣=∣AB∣·sin∠OAB=×=3.又由勾股定理,得∴∣OD∣=∣OA∣-∣AD∣=10-6=4.∵点B在第一象限,∴点B的坐标为〔4,3.……3分设经过O<0,0>、C〔4,-3、A<10,0>三点的抛物线的函数表达式为y=ax2+bx<a≠0>.由∴经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式为……2分〔2假设在〔1中的抛物线上存在点P,使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形①∵点C〔4,-3不是抛物线的顶点,∴过点C做直线OA的平行线与抛物线交于点P1.则直线CP1的函数表达式为y=-3.对于,令y=-3x=4或x=6.∴而点C〔4,-3,∴P1<6,-3>.在四边形P1AOC中,CP1∥OA,显然∣CP1∣≠∣OA∣.∴点P1〔6,-3是符合要求的点.……1分②若AP2∥CO.设直线CO的函数表达式为将点C〔4,-3代入,得∴直线CO的函数表达式为于是可设直线AP2的函数表达式为将点A〔10,0代入,得∴直线AP2的函数表达式为由,即〔x-10〔x+6=0.∴而点A〔10,0,∴P2〔-6,12.过点P2作P2E⊥x轴于点E,则∣P2E∣=12.在Rt△AP2E中,由勾股定理,得而∣CO∣=∣OB∣=5.∴在四边形P2OCA中,AP2∥CO,但∣AP2∣≠∣CO∣.∴点P2〔-6,12是符合要求的点.……1分③若OP3∥CA,设直线CA的函数表达式为y=k2x+b2将点A<10,0>、C<4,-3>代入,得∴直线CA的函数表达式为∴直线OP3的函数表达式为由即x<x-14>=0.∴而点O<0,0>,∴P3〔14,7.过点P3作P3E⊥x轴于点E,则∣P3E∣=7.在Rt△OP3E中,由勾股定理,得而∣CA∣=∣AB∣=.∴在四边形P3OCA中,OP3∥CA,但∣OP3∣≠∣CA∣.∴点P3〔14,7是符合要求的点.……1分综上可知,在〔1中的抛物线上存在点P1<6,-3>、P2<-6,12>、P3<14,7>,使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形.……1分〔3由题知,抛物线的开口可能向上,也可能向下.①当抛物线开口向上时,则此抛物线与y轴的副半轴交与点N.可设抛物线的函数表达式为〔a＞0.即如图,过点M作MG⊥x轴于点G.∵Q〔-2k,0、R〔5k,0、G<、N<0,-10ak2>、M∴∴……2分②当抛物线开口向下时,则此抛物线与y轴的正半轴交于点N,同理,可得……1分综上所知,的值为3：20.……1分21.解：<1>m=-5,n=-3<2>y=x+2<3>是定值.因为点D为∠ACB的平分线,所以可设点D到边AC,BC的距离均为h,设△ABCAB边上的高为H,则利用面积法可得：〔CM+CNh=MN﹒H又H=化简可得<CM+CN>﹒故22.解：〔1由已知得：解得c=3,b=2∴抛物线的线的解析式为<2>由顶点坐标公式得顶点坐标为〔1,4所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称,所以E<3,0>设对称轴与x轴的交点为F所以四边形ABDE的面积====9〔3相似如图,BD=BE=DE=所以,即：,所以是直角三角形所以,且,所以.23.解〔Ⅰ当,时,抛物线为,方程的两个根为,．∴该抛物线与轴公共点的坐标是和．2分〔Ⅱ当时,抛物线为,且与轴有公共点．对于方程,判别式≥0,有≤．3分①当时,由方程,解得．此时抛物线为与轴只有一个公共点．4分②当时,时,,时,．由已知时,该抛物线与轴有且只有一个公共点,考虑其对称轴为,应有即解得．综上,或．6分〔Ⅲ对于二次函数,由已知时,；时,,又,∴．于是．而,∴,即．∴．7分∵关于的一元二次方程的判别式,x∴抛物线与轴有两个公共点,顶点在轴下方．8分x又该抛物线的对称轴,由,,,得,∴．又由已知时,；时,,观察图象,可知在范围内,该抛物线与轴有两个公共点．10分24.解：〔1∵点在上,∴,∴,∴.〔2连结,由题意易知,∴.〔3正方形AEFG在绕A点旋转的过程中,F点的轨迹是以点A为圆心,AF为半径的圆.第一种情况：当b>2a时,存在最大值及最小值；因为的边,故当F点到BD的距离取得最大、最小值时,取得最大、最小值.如图=2\*GB3②所示时,的最大值=的最小值=第二种情况：当b=2a时,存在最大值,不存在最小值；的最大值=.〔如果答案为4a2或b2也可FF1ODCABGFEF225.解：〔1取中点,联结,为的中点,,． 〔1分又,． 〔1分,得； 〔2分〔1分〔2由已知得． 〔1分以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切,,即． 〔2分解得,即线段的长为； 〔1分〔3由已知,以为顶点的三角形与相似,又易证得． 〔1分由此可知,另一对对应角相等有两种情况：①；②．①当时,,．．,易得．得； 〔2分②当时,,．．又,．,即,得．解得,〔舍去．即线段的长为2． 〔2分综上所述,所求线段的长为8或2．26.解：方案一：由题意可得：,点到甲村的最短距离为． 〔1分点到乙村的最短距离为．将供水站建在点处时,管道沿铁路建设的长度之和最小．即最小值为． 〔3分方案二：如图①,作点关于射线的对称点,则,连接交于点,则．,． 〔4分在中,,,,两点重合．即过点． 〔6分在线段上任取一点,连接,则．,把供水站建在乙村的点处,管道沿线路铺设的长度之和最小．MAECMAECDBF甲村东北MAECDBF<第25题答案图①>AGH<第25题答案图②>POON方案三：作点关于射线的对称点,连接,则．作于点,交于点,交于点,为点到的最短距离,即．在中,,,．．,两点重合,即过点．在中,,． 〔10分在线段上任取一点,过作于点,连接．显然．把供水站建在甲村的处,管道沿线路铺设的长度之和最小．即最小值为． 〔11分综上,,供水站建在处,所需铺设的管道长度最短． 〔12分27.解：〔1由题意：BP＝tcm,AQ＝2tcm,则CQ＝<4－2t>cm,∵∠C＝90°,AC＝4cm,BC＝3cm,∴AB＝5cm∴AP＝〔5－tcm,∵PQ∥BC,∴△APQ∽△ABC,∴AP∶AB＝AQ∶AC,即〔5－t∶5＝2t∶4,解得：t＝∴当t为秒时,PQ∥BC………………2分〔2过点Q作QD⊥AB于点D,则易证△AQD∽△ABC∴AQ∶QD＝AB∶BC∴2t∶DQ＝5∶3,∴DQ＝∴△APQ的面积：×AP×QD＝〔5－t×∴y与t之间的函数关系式为：y＝………………5分〔3由题意：当面积被平分时有：＝××3×4,解得：t＝当周长被平分时：〔5－t＋2t＝t＋〔4－2t＋3,解得：t＝1∴不存在这样t的值………………8分〔4过点P作PE⊥BC于E易证：△PAE∽△ABC,当PE＝QC时,△PQC为等腰三角形,此时△QCP′为菱形∵△PAE∽△ABC,∴PE∶PB＝AC∶AB,∴PE∶t＝4∶5,解得：PE＝∵QC＝4－2t,∴2×＝4－2t,解得：t＝∴当t＝时,四边形PQP′C为菱形此时,PE＝,BE＝,∴CE＝………………10分在Rt△CPE中,根据勾股定理可知：PC＝＝＝∴此菱形的边长为cm………………12分28.解：〔1∵D〔－8,0,∴B点的横坐标为－8,代入中,得y＝－2.∴B点坐标为〔－8,－2.而A、B两点关于原点对称,∴A〔8,2从而k＝8×2＝16〔2∵N〔0,－n,B是CD的中点,A,B,M,E四点均在双曲线上,∴mn＝k,B〔－2m,－,C〔－2m,－n,E〔－m,－n＝2mn＝2k,＝mn＝k,＝mn＝k.∴