第9章非线性系统

第七章非线性系统§7-2描述函数法§1-3相平面法§7-1非线性系统的基本概念第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念线性系统叠加原理：同时有多个输入和输出的系统，可分别现考虑单个输入和相应输出，转化成研究单输入和单输出系统,然后将结果相加。

线性系统：系统的动态特性可由线性微分方程来描述的系统，可采用“叠加原理”。第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念一、非线性系统非线性元件：凡是输出与输入的特性不满足线性关系的元件，称为非线性(Nonlinear)元件，或者说该元件具有非线性。

如果一个系统含有一个以上非线性元件(或环节)，则称该系统为非线性系统。非线性系统：第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念二、非线性特性的分类（常见的非线性现象）1、死区：又称不灵敏区。输入信号在零值附近的某一小范围内时，没有输出，只有当输入信号大于此范围时才有输出。输入、输出特性如图7-1a所示。图7-1a第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念二、非线性特性的分类——死区举例：二极管伏安特性、执行机构的静摩擦、液压阀阀口正重叠等优缺点：优点：使系统的振荡情况有所减弱；滤去在输入端的小幅度干扰；提高系统的抗干扰能力。缺点：给系统带来稳态误差和低速运动不平稳等不利影响第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念二、非线性特性的分类（常见的非线性现象）2、饱和：当输入信号超过某一范围后，输出不再跟随输入变化，而是保持某一常值。输入、输出特性如图7-1b所示。图7-1b第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念二、非线性特性的分类——饱和举例：常见于铁磁元件及各种放大器中，如稳压二极管限幅特性、放大器、磁饱和特性等。优缺点：优点：利用饱和特性作为信号限幅，保证系统安全可靠地工作。缺点：使系统在大信号作用下的等效增益降低，深度饱和情况下，甚至使系统丧失闭环控制作用。

第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念二、非线性特性的分类（常见的非线性现象）3、间隙：又称回环，对于一个给定的输入，其输出是多值的。其输入、输出特性如图7-1c所示。图7-1c第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念二、非线性特性的分类——间隙举例：松动的齿轮传动、杠杆机构中的轴销配合等均具有间隙非线性；铁磁元件中的磁滞现象是一种回环现象。优缺点：缺点：使系统稳态误差增大，使系统输出产生相位滞后，使系统动态性能恶化，系统中应尽量设法消除间隙。第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念二、非线性特性的分类（常见的非线性现象）4、继电器：由于继电器的吸合电压和释放电压不等，使其特性中包含了死区、回环及饱和特性，是一多值函数。输入、输出特性如图7-1d所示。图7-1dxy0a-mama-MM-a第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念二、非线性特性的分类——继电器应用：近代控制理论中，典型的Bang-Bang控制就是采用继电器特性的控制方法。优缺点：优点：电器特性使用得当，可用来改善系统的性能。

缺点：继电器特性会造成系统自激振荡、不稳定以及增大稳态误差。第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念三、非线性系统的特点(1)非线性系统的稳定性不仅取决于系统本身的结构和参量，而且还与系统的输入和初始状态有关。图7-2第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念三、非线性系统的特点(2)非线性系统输出的瞬态过程曲线形状不仅取决于系统本身的结构和参量，而且还与输入信号大小和系统初始条件有关。图7-3

叠加原理不适用于非线性系统

第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念三、非线性系统的特点(3)

非线性系统可能会存在自激振荡(或称自持振荡)。自激振荡是在没有外界周期变化信号作用时，系统中产生的具有固定周期和振幅的稳定振荡过程，这是非线性系统的又一重要特征，其振荡幅值和频率由系统本身的特性所决定。自激振荡在自由状态时存在，当有输入信号时，自激振荡可能消失，或者被输入信号牵入同步。(4)输入为正弦函数时，非线性系统的输出通常是包含有一定数量高次谐波的非正弦周期函数，周期与输入相同，有时也可能出现跳跃、谐振、倍频和分频振荡等现象。第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念四、非线性系统分析的方法(1)描述函数法是一种谐波线性化法，属于频域分析方法。它保留系统线性部分，而对非线性环节进行谐波线性化处理，从而来近似分析系统，可以用于高阶系统。(2)相平面法

是一种求解非线性方程的图解法，属于时域分析法。它保留系统非线性特性，而将高阶线性部分近似地化成二阶来进行分析，从而使系统分析简单直观。(3)李亚普诺夫方法这是用现代控制理论分析非线性系统的一种方法。它可以根据系统的状态方程直接判断系统的稳定性，此方法需要构造一个李亚普诺夫函数。(4)数值解法这是一种利用数字计算机来求解非线性微分方程的方法。

第七章非线性系统§7-2描述函数法

描述函数法(DescribingFunctionMethod)是频率法于一定条件下在非线性系统中的应用，主要用于分析非线性系统的稳定性、自激振荡、正弦信号作用下的输出。第七章非线性系统§7-2描述函数法一、描述函数的基本思想和使用的基本条件1．基本思想用非线性环节输出信号中的基波分量(一次谐波分量)来近似取代正弦信号作用下的实际输出。这种方法实质是一种谐波线性化方法，又称一次谐波法。(2)非线性特性是斜对称的，即2．描述函数使用的基本条件（对于如图7-4所示的具有基本形式结构的非线性系统

）(3)系统线性部分具有较好的低通滤波器特性(1)非线性环节的参量定常，非线性无记忆

图7-4)()(enen--=第七章非线性系统§7-2描述函数法二、描述函数的定义

设定常非线性环节的输入为，由于非线性特性的作用，其输出信号是一个非正弦周期函数，可用傅立叶级数表示：

由于基本条件2满足，则；考虑到基本条件3满足，因此非线性环节输出可用线性基波分量来逼近从而，非线性环节的等效复数增益为即被定义为非线性元件的描述函数。注意：

谐波线性化得到的不是纯粹的线性数学模型，而是用描述函数代替非线性元件。第七章非线性系统§7-2描述函数法三、描述函数的求取

无论给出的是非线性常微分方程，还是含典型非线性特性的非线性元件，均可直接利用描述函数定义式求其描述函数。

举例说明求如图7-5所示饱和特性的描述函数，当输入，，其输出为：图7-5饱和特性及其正弦响应式中：第七章非线性系统§7-2描述函数法三、描述函数的求取实际上常将其中与线性部分增益有相同作用的参量所以，饱和特性的描述函数为根据描述函数定义有：分离出来。有：对饱和特性有。将称为相对描述函数。第七章非线性系统§7-2描述函数法三、描述函数的求取在分析非线性系统时，为与系统线性部分配合使用线性理论的某些结论，经常应用“负倒相对描述函数饱和特性的相对描述函数为根据参量的不同取值画出饱和特性的负倒幅相特性曲线如图7-6。图7-6第七章非线性系统§7-2描述函数法四、用描述函数法分析非线性系统

描述函数法常用来分析非线性系统的稳定性和自激振荡。描述函数法是频率法在非线性系统中的应用，类似于线性系统中频率法的分析。则有，由线性系统频率特性法知道，线性系统闭环特征方程为，

以代替s，从与点之间的关系能判别线性系统的稳定性。当在s平面的右半部无极点时：不包围点，则线性系统稳定；包围点，则不稳定；穿过点，线性系统处于临界稳定状态。类似地，对于具有基本形式的非线性系统，其中线性部分为频率特性，非线性部分以表示，则有上式可写成：式中：——系统非线性部分的相对描述函数；——非线性部分中与线性部分的增益有相同作用的参量。第七章非线性系统§7-2描述函数法四、用描述函数法分析非线性系统

可以根据特性与曲线相对位置，对非线性系统的稳定性和自激振荡进行分析，从而得到以下结论：1)若在复平面上，不包围，则非线性系统稳定，见图7-7a；2)若在复平面上，包围，则非线性系统不稳定，见图7-7b；3)若在复平面上，与相交，即满足了式(7-8)的关系，则在非线性系统中将产生周期振荡。其振幅由上交点处对应的X值决定，频率则由上交点处对应的值决定，见图7-7c；4)当与有交点，且被包围的的部分所对应的振幅X值小于交点另一侧未被包围的部分所对应的振幅X值(或交点处的X值)，则此交点对应的周期振荡即为系统稳定的自激振荡。

第七章非线性系统§7-2描述函数法四、用描述函数法分析非线性系统

图7－7a图7－7b图7－7c第七章非线性系统§7-2描述函数法四、用描述函数法分析非线性系统

例7-1具有理想继电器的非线性系统如图7-8所示，试确定其自激振荡的振幅和频率。图7－8解理想继电器特性的描述函数为：时，时，，的轨迹为整个负实轴，如图7-9第七章非线性系统§7-2描述函数法四、用描述函数法分析非线性系统

图7-9由线性部分传递函数得：第七章非线性系统§7-2描述函数法四、用描述函数法分析非线性系统

Ⅰ型三阶系统的幅相特性曲线如图7-9所示，其与必在负实轴上相交，现需求出交点处的频率和振幅X，值可由求得，进而再根据求得X。由得，即与交点处的，将代入的实部，可得，再由求得自激振荡的振幅。第七章非线性系统§7-3相平面法相平面法(PhasePlaneMethod)是研究分析非线性系统的另一种有效方法。与描述函数法

相比，其特点为：1)

只适用于二阶系统，对高于二阶的系统，可近似地化成二阶系统来分析。2)

是一种时域分析方法，也是一种图解方法，其优点是容易绘制、简单，不仅能分析系统的稳定性和自激振荡，而且能精确给出系统运动状态轨迹的清晰图象。

3)

当系统中非线性元件的非线性程度非常明显，输出不能只考虑基波分量时，采用相平面法分析非常合适。并且当系统有非周期输入(如阶跃、斜坡以及脉冲输入）时常用相平面法。

第七章非线性系统§7-3相平面法一、相平面的基本概念1．下面通过二阶线性系统介绍相轨迹和相平面的概念。

设二阶线性系统的微分方程为

取此系统的两个状态输出

及输出的一阶导数

，即

则运动微分方程式可改写为

(7-9)对于这样的系统，只要给出系统初始条件

，

，则此线性

微分方程的解可唯一确定，即

的时间响应曲线可被唯一地确定。

)0()0(2xc=&第七章非线性系统§7-3相平面法若以时间t为参变量，在

相平面：状态平面中将

和

合在一起构成的运动

轨迹(即状态平面轨迹)如图7-10b所示，我们把这样的状态平面叫做相平面。

图7-10某二阶系统的时间响应和相轨迹a)

b)相轨迹：

相应的状态平面轨迹称为相平面轨迹

，简称相轨迹

。

第七章非线性系统§7-3相平面法若

为系统在

时刻的一个平衡点，则其条件为：对于所有

，有

，

。

2．奇点、奇点类型和极限环(奇线)

奇点:

相轨迹上满足条件

为不定值的点,因此，奇点一定是平衡点。

下面我们介绍二阶线性系统的各种奇点，

因为类似的奇点在非线性系统中也常见到。

通过上一部分的推理，可以得到

(7-10)第七章非线性系统§7-3相平面法这就是二阶线性系统的相轨迹方程。二阶线性系统的特征方程为

，

其特征根为

(1)

当时，系统处于无阻尼运动状态，特征根为共轭虚根。

此时有

，即

，两侧积分有

式中，

，

为初始状态。

如图7-11a所示。此时，奇点为相平面原点，这种奇点称为中心点。此时的相轨迹是一族同心圆，

(7-11)(2)

当，系统为欠阻尼运动状态，特征根为根平面左半部的共轭复数根，系

统的零输入响应呈衰减振荡，最终趋于0。对应的相轨迹是对数螺旋线，收敛于相

相平面的原点，这种奇点称为稳定焦点，如图7-11b。第七章非线性系统§7-3相平面法(3)

当时，系统为过阻尼运动状态，特征根为根平面左半部的两个负实根，系统的

零输入响应是随时间非周期单调衰减到0。对应的相轨迹是一族趋于相平面原点的抛

物线，相平面原点为奇点。这种奇点称为稳定节点，如图7-11c。(4)

特征根分布如图7-11d所示时，系统的零输入响应是非周期发散的，相应的相轨迹如图7-11d，这时奇点为相平面原点，被称为鞍点。(5)

当时，特征根为根平面右半部的一对共轭复数根，系统的零输入响应是

发散的。相应的相轨迹为由相平面原点出发的对数螺旋线，这种奇点称为不稳定焦点如图7-11e。

第七章非线性系统§7-3相平面法(6)

当时，特征根为根平面右半部的两个正实根，系统零输入响应是发散的。

相轨迹是由相平面原点出发的发散型抛物线，这种奇点称为不稳定节点，如图7-11f。由上可见，二阶线性系统相轨迹和奇点类型决定于系统特征根的分布，而与初始状态无关

对于非线性系统，在大多数情况下，原非线性系统的相轨迹和其在平衡点附近小偏差线性化后的线性系统的相轨迹，在平衡点某个适当的小范围内有着相同的定性特征。只是在平

衡点为中心点时，两者稍有不同，线性化系统相轨迹是以相平面原点为中心的无数条封闭

而非线性系统相轨迹除了有上述中心点形式的相轨迹外，还有可能其相轨迹为一个

一个的孤立的封闭曲线。

曲线，

或多于

第七章非线性系统§7-3相平面法图7-11二阶线性系统特征根与奇点第七章非线性系统§7-3相平面法例7-2

范德波尔方程(VanDer

PolEquation)是

，

试分析其相轨迹的特征。解如令

，则范德波尔方程可写为相平面原点(0,0)是系统平衡点。

(7-12)第七章非线性系统§7-3相平面法

线性化系统的相轨迹中不存在孤立封闭曲线这种类型，而范德波尔方程表示的非线性系统的相轨迹却有孤立的封闭曲线存在，说明如下：以范德波尔方程式(7-12)与线性系统方程式(7-9)相比较，可等效地将系数

看作阻尼系数，只不过阻尼系数是

的函数，当参量

时：

1)

若，即

，则系统的零输入响应将随时间增长而发散；

2)

若，即

，则系统的零输入响应将随时间增长而收敛；由于所有的从初始状态

出发的相轨迹都随时间增长而向平衡状态(0,0)收敛，

而所有的从初始状态

出发的相轨迹都随时间增长离开平衡状态向外发散。

又因在相平面上不存在其他平衡点，故知在相平面上存在一封闭曲线，它是相轨迹的一部分，如图7-12所示。

第七章非线性系统§7-3相平面法自激振荡：

相轨迹中这样的孤立封闭曲线称为极

限环，对应系统响应出现的振荡为自激振荡。

极限环是相轨迹中对应于系统响应出现自激振荡自激振荡时的孤立封闭曲线。在非线性系统中，

即使在无外界作用的情况下，有时也会产生具有

一定振幅和频率的自激振荡。图7-12

范德波尔方程

相轨迹

第七章非线性系统§7-3相平面法二、绘制相轨迹的方法

求解二阶系统相轨迹的方法有两类，解析法和图解法，

常见的相轨迹图解法是等倾线法。

绘制系统相轨迹时，将系统的微分方程写成相变量方程的形式：

1．用解析法求解相轨迹

将上述微分方程式合并成一式，写成对式(7-14)积分，得到

与

的关系式，就是相轨迹方程，从而可求得相轨迹形状,分析系统的性能。

(7-14)

(7-13)第七章非线性系统§7-3相平面法2．等倾线法

式(7-14)实际表示了纵坐标微小变化量与横坐标微小变化量之比，即表示了相轨迹的斜率。若取斜率为常数q，则式(7-14)可改写为

对于相平面上满足上式的各点，经过它们的相轨迹的斜率都是q。给定不同的q值，可

在相平面上画出许多等倾线。给定了初始状态，便可沿着给定的相轨迹方向画出系统的相轨迹。

第七章非线性系统§7-3相平面法三、由相轨迹求瞬态响应

设系统相轨迹如图7-13所示。对于

图7-13从系统的相轨迹求时间响应的

微小增量

及时间

，

与相轨迹

上相应的纵坐标平均值

之间的关系为

或

式中，

为与

对应的纵坐标平均值。

由此可知，系统状态

由A点转移到B点所需

的时间为

第七章非线性系统§7-3相平面法式中

。同样可求出状态

由B点转移到C点所需的时间

，

如此即能求得

的图形，即求得系统的时间响应。四、用相轨迹分析非线性系统

例7-3

试画出图7-14所示非线性系统当

，

，

时的相轨迹及相应的时间响应曲线的基本形状。图7-14例7-3的系统方框图第七章非线性系统§7-3相平面法解线性部分的方程为

，

令

，则线性部分状态微分方程为

非线性部分的方程为

现用等倾线法绘制系统的相轨迹。

由非线性部分

将系统相平面分为三个区域：

在Ⅰ区域内，

，即

时，

，

此时等倾线方程为

第七章非线性系统§7-3相平面法在Ⅱ区域内，

即

时，

，此时等倾线方程为

在Ⅲ区域内，

即

时，

，此时等倾线方程为

按前述方法，在三个区域内分别画出等倾线，然后作出初始状态为(3,0)时系统的相轨迹

如图