chIIR数字滤波器的设计(新)

第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计本章主要内容数字滤波器的基本概念模拟滤波器的设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器

6.1数字滤波器的基本概念数字滤波器(DF)的定义

输入和输出均是数字信号，通过一定运算关系(数值运算)，改变输入数字信号所含频率成份的相对比例或滤除某些频率成份的器件。

如何用数字滤波器处理模拟信号？通过A/DC和D/AC，用数字滤波器对模拟信号进行处理。1、数字滤波器的分类(1)一般分类经典滤波器（选频滤波器）：适用于信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分占用不同的频带的情况，通过选频滤波器达到滤波的目的。现代滤波器：适用于信号和干扰的频带相互重叠的情况，通过现代滤波器利用信号的统计分布规律，从干扰中最佳提取信号。如：维纳滤波器、卡尔曼滤波器和自适应滤波器等。本书只讨论选频滤波器的设计。(2)从滤波器的功能上来分类分为低通、高通、带通、带阻滤波器理想滤波器幅度特性低通(LP)频率响应w0-|H(ejw)|2····-2w0-|H(ejw)|高通(HP)频率响应2····-2w0-|H(ejw)|带通BP频率响应2····-2w0-|H(ejw)|带阻BS频率响应2····-2特点：(1)h(n)非因果且无限长，物理不可实现，只能尽可能逼近；(2)DF的频率响应以2为周期，低频区域处于的偶数倍附近，高频区域处于的奇数倍附近。(3)从滤波器的实现网络结构或从单位脉冲响应来分类无限脉冲响应(IIR)数字滤波器有限脉冲响应(FIR)数字滤波器：在数字滤波器中，一般考察其半个周期=[0，]的频域特性；在模拟滤波器中，通常考察其=[0，]范围内频率域的特性。N阶IIR滤波器系统函数N－1阶FIR滤波器系统函数2、数字滤波器的技术要求(1)数字滤波器的传输函数H(ejw)|H(ejw)|——系统的幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况。Q(ω)—系统的相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。(2)．数字滤波器的幅频特性|H(ejw)|的指标过渡带低通数字滤波器的幅频特性技术指标|H(ejw)|通带阻带21-1ωp0.70701ωCωS指标说明：ωp：通带截止频率，通带频率范围：0≤ω≤ωp

；ωS

：阻带截止频率，阻带频率范围：ωs

≤ω≤

；ωC

：3dB截止频率；P：通带最大衰减；S：阻带最小衰减1：通带内幅度响应误差范围；2：阻带内幅度响应误差范围；PS通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，P和S分别定义为：如将|H(ej0)|归一化为1，上两式则表示成当幅度衰减到2/2倍时，所对应频率ω

＝ωc，此时P＝3dB，称ωc为3dB截止频率。3.数字滤波器设计方法

IIR滤波器设计方法：

(1)先设计模拟滤波器(AF)的系统函数Ha(s)；然后按某种变换，将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。

(2)借助CAD(计算机辅助设计)在频域或时域直接设计；

FIR滤波器设计方法

(1)经常采用的是窗函数设计法和频率采样法.(2)用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计。6.2模拟滤波器(AF)的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器可以选择。如：巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Kllipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。AF的表示：AF的设计：找到ha(t)或Ha(s)（更多时候）,即找到典型滤波器公式中的阶和未知参数。各种理想模拟滤波器的幅度特性1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法(1)设计指标有：Ωp、Ωs、

p、

s其中：Ωp和Ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率;

p是通带

(0~Ωp)内允许的最大衰减系数，

s是阻带（Ω≥Ωs）内允许的最小衰减系数，阻带pS1|Ha(j)|0.707ps通带0C过渡带图中Ωc称为3dB截止频率，因p和s一般用dB表示:如果Ω=0处幅度已归一化到1，即:|Ha(j0)|=1技术指标高指：p越小、s越大、过渡带越小越好。模方函数所以技术指标可归纳为：而高通、带通等的技术指标，可以通过频率转换成低通指标。因此重要的是低通设计。(2)用模拟滤波器逼近方法设计数字IIR滤波器步骤：给出模拟滤波器的技术指标；设计传输函数Ha(s)：使其幅度平方函数满足给定指标ap和as，|Ha(j)|2=Ha(j)Ha*(j)=Ha(s)Ha(-s)|S=j确定Ha(s)：系统Ha(s)应是稳定的系统，因此，极点应位于S左半平面内。特点：单调变化。当=0时，|H(j)|=1；3dB点必通过。当=c时，|H(j)|=N越大，曲线越陡峭。当N=∞,就是理想滤波器。2、Butterworth低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的模方函数|Ha(jΩ)|2用下式表示：N:滤波器阶数。c是3dB截止频率。巴特沃斯滤波器的设计步骤(1)根据给出的技术指标P、S、p、S，求N，c用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。求N，c（约定用通带公式求）(2)由模方函数|Ha(jΩ)|2Ha(s)两种方法：解析法和图表法1.解析法将模方函数|Ha(jΩ)|2写成s的函数：该式有2N个极点，极点sk用下式表示：其中，k=0,1,…,(2N-1)其中，k=0,1,…,(2N-1)2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆上，间隔是/Nrad，其中，一半是Ha(s)的极点，另一半是Ha(-s)的极点。则左半平面的N个极点属于Ha(s)(稳定系统)，右半平面N个极点属于Ha(-s).Ha(s)表示为：2.图表法：为使各滤波器的幅频特性设计统一，将所有的频率对3dB截止频率Ωc归一化，归一化后的Ha(s)表示为：令s/c=

j/c，λ=Ω/Ωc，λ称为归一化频率，令p=jλ，p称为归一化复变量，归一化巴特沃斯的传输函数为：可知：只要知道阶数N，就可得到极点pk。查表P157表6.2.1可直接得到极点pk和归一化系统函数Ha(p)由然后，

将Ha(p)去归一化，得到系统函数Ha(s)表6.2.1巴特沃斯归一化低通滤波器参数表示两极点P1、PN-2总结：巴特沃斯滤波器的设计步骤(1)根据给出的技术指标P、S、p、S，求N，c求N，c（约定用通带公式求）(2)由N（查表）Ha(p)反归一化【例】已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减αp=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解：(1)设计模拟滤波器的指标为p=2fp=104(rad/s)，

ap=2dBs=2fs=2.4×104(rad/s)，as=30dB(2)确定阶数N和cN取5由N=5，直接查表得到：分母因式的形式：

(3)由N，查表确定Ha(p)b0=1.0000、b1=3.2361、b2=5.2361、b3=5.2361、b4=3.2361(4)将p=s/Ωc

代入Ha(p)去归一化，得Ha(s)6.2.6模拟高通、带通、带阻滤波器的设计各类模拟滤波器的设计过程图

HPBPBS指标LP指标G(p)系统函数HHP(s)HBP(s)HBS(s)系统函数频率变换频率变换设计LP滤波器其他AF滤波器HP,BP,BS设：系统函数G(s)H(s)归一化频率归一化拉氏变量p=jq=j归一化系统函数G(p)H(q)1)高通的设计为了简单，通带指标通常为：归一化以为基准频率变换当高通的设计步骤：1）确定归一化的高通滤波器技术指标：2）频率转换成归一化的低通技术指标：3）由低通指标设计归一化的巴特沃斯低通滤波器：求N，c（已知=p)（查表）G(p)4)频率反变换为高通H(q),再去归一化求模拟高通的H(s)。失效

【例】设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减αs=15dB。解：①高通技术指标：

fp=200Hz,αp=3dB;

fs=100Hz,αs=15dB归一化高通技术指标：②归一化低通技术指标：③设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器取（查表）④求模拟高通H(s)：2)模拟带通的设计归一化基准：几何中心：表6.2.2η与λ的对应关系频率变换关系：带通的设计步骤：1）确定带通滤波器的归一化技术指标：2）频率转换成归一化低通指标：归一化基准：频率变换关系：λs与-λs的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的λs，这样保证在较大的λs处更能满足要求。(3)设计归一化低通G(p)。求N（查表）G(p)失效4)频率反变换为带通H(q),再去归一化求模拟带通的H(s)。模拟带阻的设计归一化基准：频率变换关系：几何中心：带阻的设计步骤：1）确定带阻滤波器的归一化技术指标：2）频率转换成归一化低通指标：归一化基准：频率变换关系：λs与-λs的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的λs，这样保证在较大的λs处更能满足要求。(3)设计归一化低通G(p)。求N（查表）G(p)失效4)频率反变换为带阻H(q),再去归一化求模拟带阻的H(s)。6.3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器设计过程：设计技术成熟有相当简便的公式和图表模拟滤波器AF由此设计数字滤波器DF要求DF特性模仿AF的特性实际上是个映射问题Mapping离散时间域(Z平面)转换关系连续时间域(S平面)Re(z)jIm(z)0z平面1z1z2хх若转换后的H(z)稳定且满足技术要求，则设计过程要满足：(1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。(2)数字滤波器的频响模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上，相应的频率之间成线性关系。j0S平面S1xS2xхх满足上述转换关系的映射方法有：脉冲响应不变法和双线性变换法一、脉冲响应不变法的基本思想使h(n)模仿ha(t)，让h(n)正好等于ha(t)的采样值二、变换方法1、设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：Ha(s)LT-1[Ha(s)]ha(t)时域采样h(n)ZT[h(n)]H(z)所以说脉冲响应不变法是一种时域上的变换方法si为Ha(s)的单阶极点LT-1[Ha(s)]＝U(t)为单位阶跃函数对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：结论:(1)S平面的单极点s=si映射到Z平面的极点z=esiT。

(2)Ha(s)部分分式的系数与H(z)部分分式的系数相同。2、Ha(s)有共轭复数对极点Ha(s)的极点si一般是一个复数，以共轭成对的形式出现，将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。AF二阶基本节形式一：极点-1j1ha(t)=LT-1[Ha(s)]=e-tcos1tu(t)，对ha(t)进行等间隔采样1h(n)=ha(nT)=e-nTcos(1nT)u(nT)，进行Z变换1－AF二阶基本节形式二：ha(t)=LT-1[Ha(s)]=e-tsin1tu(t)，对ha(t)进行等间隔采样1h(n)=ha(nT)=e-nTsin(1nT)u(nT)，进行Z变换1极点-1j1三、S平面和Z平面之间的映射关系1、采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系：(1)设ha(t)的采样信号表示为:(2)对进行拉氏变换，得到2、模拟信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系：模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(jΩ)和其采样信号的傅里叶变换之间的关系满足：结论：采样信号的拉氏变换是原模拟信号的拉氏变换在S平面沿虚轴以Ωs=2π/T为周期进行的周期延拓；^将s=jΩ代入上式，得：说明：采用脉冲响应不变法将AF变换为数字DF时

Ha(s)沿虚轴以s=2/T为周期进行周期延拓;

再经过Z=eST的映射关系映射到Z平面上，从而得到H(z)上面的这种转换是否满足对转换关系提出的2点要求:设：S=j，Z=rejw

脉冲响应不变法标准映射关系：Z=eST

rejw=e(j)T=eTe

jT得到：r=eT；w=T频率域的坐标变换是线性的因果稳定模仿频响由采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系：<0时，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内(r=|z|<1)=0时，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆周上(r=|z|=1)>0时，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外(r=|z|>1)以上分析结论：若Ha(s)是因果稳定的，则转换后的H(z)也是因果稳定的。r=eT因果稳定的分析j0-/T3/T-3/T/TS平面1Re(z)jIm(z)0Z平面当不变，模拟角频率变化2/T整数倍，映射值不变，S平面上每一条宽度为2/T的水平横带都重迭地映射到Z平面的整个全平面上每条水平横带的左半部分映射到Z平面单位圆内；水平横带右半部分映射到Z平面的单位圆外

j虚轴上每2/T段都对应着单位圆一周j0-/T3/T-3/T/TS平面1Re(z)jIm(z)0Z平面z=esT是周期函数由上面分析结果：

S平面与Z平面的映射关系满足转换条件；但存在着多值(s)单值(z)映射关系(3)DF的频响是AF频响的周期延拓频率混叠(1)虽然直接映射但并非而是映射注意：只有AF频响限于/T之内，DF频响才不失真地复现AF频响，否则，设计出来的DF在w=±附近产生频率混叠。(2)采样信号的拉氏变换是其模拟信号的拉氏变换以2/T为周期，沿虚轴进行周期化。脉冲响应不变法的应用受限只适合设计带限滤波器，如：低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。假设没有频率混叠现象，即满足：按照上式，并将关系式s=jΩ代入，ω=ΩT，代入得到：数字滤波器的频响可以很好模仿模拟滤波器的频响四、

脉冲响应不变法的优缺点优点：

1、频率变换是线性关系;w=T

，模数字滤波器可以很好重现模拟滤波器的频响特性；

2、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好；缺点：

1.有频谱混迭失真现象；(S平面到Z平面有多值映射关系)2.由于频谱混迭，使应用受到限制。(T失真，但运算量,实现困难)【例】

已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)解：首先将Ha(s)写成部分分式：极点为：根据：，H(z)的极点为：按照：，经过整理，得到当：T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则：将Ha(jΩ)、H1(ejw)、H2(ejw)的幅度特性用它们最大值归一化后，得到它们的幅度特性曲线，如下图所示：很轻的混叠现象严重的混叠现象脉冲响应不变法的主要缺点:产生频率谱混迭现象。原因：模拟低通的最高频率超过了折叠频率/T，数字化后在w=形成频谱混叠现象。

解决方法：采用非线性压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到/T之间，而后再用Z=eST

转换到Z平面上。

6.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器一．双线性变换法消除频谱混迭的原理1、非线性压缩：(S平面S1平面映射)双线性变换法用正切变换实现非线性频率压缩，设Ha(s)，s=jΩ，经过非线性频率压缩后用Ha(s1)，s1=jΩ1表示。则：上式表明：当Ω1从π/T经过0变化到-π/T时，Ω则由∞经过0变化到-∞，这样实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的±π/T之间的转换。0/T-/T1T：时域采样间隔；由上面可得：(-，+)，1(-/T，+/T)；2、S1平面到Z平面的映射将S1平面映射到Z平面上，用标准映射Z=eS1T。代入上式推出3、双线性不变法的映射关系映射过程：从s平面映射到s1平面，再从s1平面映射到z平面。

S平面与Z平面是一一对应的单值映射关系，消除了脉冲响应不变法的多值映射关系，消除了频谱混迭现象。只要模拟滤波器Ha(s)因果稳定，其极点应位于S左半平面，转换成的H(z)也是因果稳定的，位于单位圆内。001j1j/T-/T2/Ttan(½1T)Z=es1TS平面S1平面Re(z)jIm(z)0z平面S2/Tth(½S1T)二、模拟频率Ω和数字频率ω之间的关系将：Z=ejω

，S=j，代入SZ平面映射关系式：-0W说明：s平面上Ω与z平面的ω成非线性正切关系，当ω增加时，Ω增加得很快，当ω趋于π时，Ω趋于∞，由于这种非线性关系，消除了频率混叠现象。代价：影响数字滤波器频响逼真模拟滤波器的频响的逼真度，存在幅度失真和相位失真。三、双线性变换法特点1、优点

消除了频谱混迭失真；频率映射表明S平面与Z平面是一一对应的单值映射关系，避免了脉冲响应不变法的频谱“混迭”现象。2.缺点

以频率变换的非线性为代价，模拟域和数字域进行非线性映射，其瞬时响应不如脉冲响应不变法好。四、双线性变换法的幅度失真和相位失真情况如果Ω的刻度是均匀的，通过非线性正切关系，映射到z平面的ω刻度不均匀，随ω增加越来越密，即边界频率发生畸变。如果模拟滤波器具有片段常数特性，则转换到z平面仍具有片段常数特性。适于片段常系数滤波器的设计。幅度特性失真相位特性失真五、双线性变换法的预畸变对边缘临界频率点产生的畸变，可通过频率的预畸变加以校正。例：数字低通滤波器的两个截止频率：ωp和ωs，如果按照线性变换所对应的模拟滤波器的截止频率分别为：再利用非线性的频率变换公式，得到的数字滤波器的截止频率就不等于原来的频率。解决方法：数字频率转换成模拟频率时，先进行预畸变的处理：Ωp＝ωp/TΩs＝ωs/T[例]：例6.4.1，已知Ha(s)=a/(a+s)，a=1/(RC)，求H(z)。解：1、用脉冲响应不变法时，先确定极点：s=a，则

2.

用双线性不变法时T为采样间隔其中：设:a＝1000,T=0.001和T=0.002，H1(z)和H2(z)的归一化幅频特性如图所示双线性变换法脉冲响应不变法模拟滤波器幅频特性250Hz500Hz存在混叠不存在混叠，曲线形状差别大五、用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器步骤(1)确定数字低通滤波器的性能指标；(Wp，ap，Ws，aS)(2)确定相应模拟低通滤波器的性能指标；脉冲响应不变法：

=W/T

双线性变换法：

=2/T×tan(½W)—预畸变；(3)设计模拟低通滤波器的传输函数Ha(S)；(4)将Ha(S)转换成数字滤波器系统函数H(z)；利用脉冲响应不变法设计时，应先确定Ha(s)极点，按