大学物理第10章稳恒磁场

§10.1稳恒电流正电荷移动的方向定义为电流的方向。电流的方向与自由电子移动的方向是相反的，它们产生的宏观电磁效应是相同的。1载流子大量电荷定向移动会形成电流。在物体内能够自由移动的带电粒子称为载流子。在金属中是电子；在半导体中是电子或空穴；在电解质溶液中是正负离子；2电流的方向一、电流、电流密度3电流强度单位：安培(A)，库仑/秒单位时间内通过导体某一截面的电量，叫做电流强度。它是表示电流强弱的物理量(标量)，用I

表示。电流强度也是国际单位制的基本量。

在导体某一截面上各点可以定义电流密度矢量j，它的方向为该点处电流的方向,它的大小等于单位时间内该点附近垂直与电荷运动方向的单位截面上所通过的电量。4电流密度S1和S2的电流强度一样吗？电荷流动的情况一样吗？

与电场类似，电流密度在电流区域形成分布，可以用电流线描述，某点电流线的方向为电流方向，疏密程度表示电流大小。比I更精确描述电流的分布。S1和S2的电流密度一样吗？5电流强度与电流密度已知电流密度j，求过某面积元dS的电流dI怎么解？知道了导体截面每一点上的电流密度j，也就知道了通过截面的总电流积分得到：即某一曲面的电流强度等于对该曲面的电流密度通量。二、电流密度与载流子漂移速度的关系

漂移速度是指载流子平均的定向移动速度。它是无规则热运动在定向电场驱动与固体晶格阻碍的平衡效果。可以简单认为电子做匀速运动。假定导体中载流子的数密度n;每个载流子的电量为q，漂移速度为v。考虑dt时间间隔内，P点附近的电流qvdtP电流密度为写成矢量式子即电流密度等于该点电荷密度、运动速度的积。此式具有更直观而广泛物理意义，可作为电流密度的定义式。三、电流连续性方程电流场的一个重要性质就是其连续性，其实质是电荷守恒定律。在电流场内任取闭合曲面S，则其电流密度通量应等于曲面内电荷的变化率，即：单位时间内通过闭合曲面向外流出的电荷等于此时间内闭合曲面里电荷的减少。稳恒电流指各处电流密度不随时间发生变化的的电流称为稳恒电流，均匀电流是指电流密度处处相同电流，二者是不同的两个概念。对于稳恒电流，电流场不随时间变化的，意味着空间各处没有电荷增减，即：四、欧姆定律的微分形式

显然，电流场中任意电流元的运动速度应当与该处电场强度成正比。即电流密度j应随电场强度E的增强而变大。

在导线内选取长为dl，截面积为dS的柱体，j与dS垂直。导线的电导率为，电阻为R。由欧姆定律：若考虑方向，则有：这就是欧姆定律的微分形式。dSdUdl§10.2磁场磁感应强度

历史上人们很早就发现天然磁石能够吸引铁、钴和镍等金属。1820年丹麦物理学家奥斯特(Osterd)在实验中最早发现了电流的磁效应：通电导线附近的小磁针会发生偏转。随着后续试验的发展，电流和磁场的关系得到了阐明。一、磁场电流磁场电流磁铁磁铁运动电荷运动电荷运动电荷在周围空间将同时产生电场与磁场，电场、磁场统称为电磁场。二、磁感应强度

与电场强度E的引入类似，对于磁场，采用磁感应强度B来描述。一个试验电荷q以速率v

通过磁场中某点时，受到的磁力与速度（方向、大小）有关：磁力总与速度垂直，且当速度方向变化时，磁力大小变化，有最大、最小磁力对应的特定方向。磁感应强度：描述磁场中某点磁场性质的基本物理量，称为磁感应强度。大小由下式给出。方向为该点小磁针N极所指的方向。单位：特斯拉Tesla

高斯Gauss=10-4T地球表面磁场0.6高斯显然磁感应强度在空间构成矢量场。三、运动电荷的磁场（运动速度远小于光速）静电场理论告诉我们，一个电荷电量为q的点电荷在空间中某一点P所激发的电场强度E为理论和实验均可以证明，一个电荷电量为q，以速度v

运动的点电荷在空间中某一点P所激发的磁感应强度B为真空磁导率注意：

与、都垂直，磁感应线为以为轴的同心圆环。1运动电荷激发磁场的大小不是球对称分布的，与电场不同。

2讨论磁场方向（正负电荷产生的磁场方向相反）。3磁场具有叠加原理。（如果空间有若干个电流，那么它们产生的磁场可由各个单独的电流激发磁场的叠加）例1：氢原子核外电子在中心处产生的磁感应强度？例2：两个分别带q1和q2电量的电荷绕着连线上面一点O旋转，q1距离O点为r1，q2距离O点为r2。要使O点的磁感应强度为零，求q1和q2应该满足的关系？四、毕奥-萨伐尔定律1、电流元的引入在静电学中求电场强度的思路是：q→dq→dE→E。为了计算一根通电导线产生的磁场，我们遵循类似思路：I→Idl→dB→B。电流与线元之积称为电流元，这是一个矢量；电流元的方向—电流的方向。大小为Idl。2、定律内容毕奥－萨伐尔(Biot-Savart)根据电流磁作用的实验结果分析得出，电流元产生磁场的规律称为毕奥－萨伐尔定律。拉普拉斯后来用解析运算推导出了我们现在看到的公式。真空中电流元Idl

在某点产生的磁场强度的大小，与电流元的大小成正比，与电流元到P点的距离平方成反比，且与电流元和（电流元到P点的）矢径间的夹角的正弦成正比推导过程如下：一个运动电荷的磁场为电流元中载流子数目电流元产生磁场请注意方向问题r指?为电流元指向场点的单位矢量。3、说明1B-S定律是在实验的基础上抽象出来的，不能由实验直接证明（电流元无法单独存在），但是由该定律出发得出的一些结果能很好地与实验符合。2dB的方向由Idl与位移矢量确定，即用右手螺旋法则确定；3B-S定律是求解电流磁场的基本公式，利用该定律与磁场叠加原理，原则上可以求解任何稳恒载流导线产生的磁感应强度。五、毕奥-萨伐尔定律的应用解题步骤1.选取合适的电流元——根据已知电流的分布与待求场点的位置；2.选取合适的坐标系——要根据电流的分布与磁场分布的的特点来选取坐标系，其目的是要使数学运算简单；3.写出电流元产生的磁感应强度——根据毕奥－萨伐尔定律；4.计算磁感应强度的分布——叠加原理；5.一般说来，需要将磁感应强度的矢量积分变为标量积分（如可以分别求Bx,By

和Bz的大小）

，并选取合适的积分变量，来统一积分变量。解：取图示电流元Idl，以过场点P、且垂直于导线水平向右为x轴，沿导线竖直向上为y轴。由B—S定律有由于所有电流元和相应的位矢总是在xoy平面内，所以，所有电流元激发的磁场方向相同，垂直屏面向里。总磁场的大小为统一积分变量为θ例1．求有限长载流直导线激发的磁场。电流为I,场点到P点的距离为a。无限长载流直导线的磁场：B的方向由右手法则确定讨论半无限长载流直导线端面上一点的磁场：半无限长载流直导线的磁场：长载流直导线延长线上某点的磁场例2：有一半径为R的载流圆环，通有电流为I，求圆环轴线上一点P的磁感应强度B。解：建立图示坐标系，将圆环分割为无限多个电流元，任意两个关于x轴对称的电流元在轴线上一点产生的磁感应强度关于x轴对称，且大小相等，因此整个载流圆环在轴线上一点的磁场沿x轴方向。

载流圆环对圆心处某段圆弧对圆心产生磁场？

轴上一点磁场公式可改写m为线圈磁矩。讨论右手螺旋定则例3：计算图示载流导体在O点的磁感应强度。解：o点磁场B由三段载流导体产生，其中cd段的延长线过场点o，无磁场，所以规定向里为正向，

长度为dl

内的各匝圆线圈的总效果，是一匝圆电流线圈的ndl

倍。例4

求半径为R，总长度为L，单位长度上的匝数为n的密绕螺线管在其轴线上一点P的磁场。–5R5R0.439在管端口处，磁场等于中心处的一半。无限长直螺线管（或长直螺线管中部附近）的磁场半无限长直螺线管端口处的磁场讨论例5：P129习题10.13。例6：P129习题10.15。例7：P129习题10.16。例8：一带电细棒绕着棒的一段O点以角速度在平面内逆时针转动，细棒的线电荷密度为。试求在O点处的磁感应强度。一、磁通量磁场的高斯定理

同电场中引入电场线来形象地描述电场一样，可以引入磁感应线来形象地描述磁场的分布及其特点。我们规定磁感应线上任意一点的切线方向表示该点磁场方向；磁感应线的疏密程度表示磁场大小。观察磁感应线，总结特点如下：§10.3安培环路定理磁感应线是环绕电流的无头尾的闭合曲线，无起点无终点；磁感应线不相交。磁感应线与电流方向有右手螺旋定则关系磁通量类似电场强度通量，我们亦可引入磁感应强度通量的概念，简称磁通量。它描述了通过磁场中某一曲面的磁感线数目。(magneticflux)穿过某一曲面的磁通量单位：韦伯，WbΦm为标量，只有大小正负之分。正负决定于B与曲面法向夹角。对于任意曲面，应先选择曲面正法向，通量才有确定的意义。穿过闭合曲面的磁通量对闭合曲面——Gauss面规定外法向为正。

对于闭合曲面，由于磁感应线是无头无尾的闭合曲线，所以穿入、穿出的磁感应线条数相等，则对任意闭合曲面的磁通量为零。3.磁场的高斯定理讨论静电场是有源、保守场，而磁场是无源、非保守场;如果有磁单极子存在，磁场的Gauss定理要修改；成立条件：稳恒电流。可以由高斯定理计算磁感应强度吗?稳恒磁场与静电场规律对比二、安培环路定理Ampere’sLaw1.表述在稳恒电流的磁场中，磁感应强度B

沿任何形状闭合回路L的线积分（环流），等于穿过以该回路为边界的任意曲面的电流代数和之μ0倍法国物理学家安培在电磁学领域贡献卓越，成为电动力学的创始人。1符号规定：电流方向与L的环绕方向服从右手关系的I为正，否则为负。如图所示，求环路L的环流说明：2安培定理直接反映了磁场线的闭合性质，说明磁场不是保守场，不能引入标量势。3重要说明：虽然回路外的电流对环流无贡献，但是，它要影响磁场，即空间各点的磁场仍由所有电流共同激发。2.验证我们用无限长直通电导线产生的磁场来验证安培定理。在垂直于导线的平面内任取一包围导线的圆形回路。LI选取积分方向与B绕行方向相同：推广到任意形状的回路：包围电流不包围电流二、用Ampere环路定理求磁场要求磁场具有高度的对称性，如无限长直载流直导线（圆柱体或面）；无限大载流平面；无限长直密绕螺线管；密绕螺线环。有限电流的磁场不能有Ａmpere环流定理计算必须选择与磁场对称性相应的回路，使得回路上各点磁场大小相等，方向与回路方向一致或成常数夹角，或磁场在回路上分段为常矢量或零，从而可以完成环流积分。解题步骤分析电流的分布和场的对称性；选取具有相应对称性的回路；并规定绕行方向；确定穿过以闭合回路为边界的电流的代数和；应用环路定理求磁感应强度。例1：求无限长载流圆柱体内、外的磁感应强度的分布。圆柱体半径为R，电流Ｉ在导体横载面上均匀分布。解：由于无限长载流圆柱体可分为无限多个无限长载流直导线，因此其磁场分布与长直载流导线的磁场相同，即：与圆柱体共轴的圆柱面上各点磁场大小相等，方向与电流流向成右手螺旋关系（垂直与圆柱体表面）。因此，过柱体内、外场点选择共轴圆环回路，回路方向与电流流向成右手关系。１.圆柱体内各点（r<R区域）环路内电流代数和为：磁场的方向由右手定则确定，沿回路切向。2.圆柱体外一点（r>＝R区域）环路内电流代数和为：可见，圆柱体外的磁场分布等效于将全部电流集中于轴线上的无限长载流导线的激发的磁场。表面磁场是连续的。例2：无限大载流平板的磁场分布；已知电流均匀流过无限大平面导体薄板，电流面密度为j（即通过与电流方向垂直的单位长度的电流），求磁场分布。解：根据右手螺旋法则判断磁场的分布，在上板磁场水平向左，下板磁场水平向右，且大小关于导体板对称。作闭合环路abcda，ab平行于平板。环路内的电流代数和为：环流为：表明无穷大平板两侧分别是均匀磁场。例3：无限长直密绕载流螺线管（理想密绕螺线管）的磁场。电流为I，线圈密度为n。解：理想密绕螺线管，管内的磁场是均匀的，管外的磁场为0，方向由右手螺旋法则确定。作闭合环路abcda，ab平行于轴线。环路内的电流代数和为：环流为：其方向与电流满足右手螺旋关系。表明无限长螺线管内部是均匀磁场，外部磁场为零。能量集中在螺线管内部。思考在管内作半径为r的环路：

例4：求载流密绕螺绕环内的磁场。匝数为N，内径为R1

，外径为R2

，通有电流I。理想螺绕环：环的半径远大于环的粗细（R2－R1）。解：当螺绕环的半径很大时，相当于一长直螺线管。显然，螺绕环的半径大小与其磁场的分布无关，因此，可以断言螺绕环的磁场分布与无限长直螺线管类似，即管内各点磁场大小相等，方向与电流成右手螺旋关系。与直螺管的结论一致。若n为单位长度线圈的匝数，除了管内呢？其它区域磁场如何？§11.4洛沦兹力一、磁场对运动电荷的作用力1.带电粒子在磁场中所受的力在磁场B中的一点，带电量为q的粒子以速度v运动时所受磁场力为（由磁场定义导出）：Lorentz力——磁场对运动电荷的作用力力的方向依靠右手螺旋定则，由三者决定；洛伦兹力总是垂直于速度方向，所以不对电荷做功，只改变速度方向，不改变速度大小。2.在电场和磁场中运动电荷所受的力——电磁力。二、带电粒子在均匀磁场中的运动带电粒子在均匀磁场中的运动轨迹与运动方向有关。2.速度垂直于磁场方向带电粒子所受洛仑兹力总是与运动速度方向垂直，所以带电粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力。1.速度平行磁场方向带电粒子不受Lorentz力，作匀速直线运动。上述公式表明，周期T（或频率）与粒子运动速度无关，速度大的粒子轨道半径大，走的路程长，速度小的粒子轨道半径小走的路程短，但周期都是相同的——回旋加速器的原理。回转半径：

回转周期：回旋频率：(gyro-radius)(gyro-period)(gyro-frequency)

将速度分解为平行于磁场和垂直于磁场的分量。粒子以平行于磁场的速度分量沿磁场方向做匀速直线运动；以垂直于磁场的速度做圆周运动。所以，其合运动为螺旋线运动。螺旋线的半径3.速度方向与磁场方向有夹角回旋周期螺距——在一个周期内沿磁场方向行进的距离或相邻螺线间的距离带电粒子在电场和磁场中的运动举例

带电粒子在电场和磁场中的运动有很多应用，如磁聚焦、电子荷质比（比荷）的测定、质谱仪、回旋加速器等。

回旋加速器

为了获得~106（百万）——1011（千亿）eV的带电粒子，使其足以破坏原子和原子核，从而研究原子核的结构，简单的方法是使用电场和磁场来实现对带电粒子的多次反复加速。

用于产生高能粒子的装置，其结构为金属双D形盒，在其上加有磁场和交变的电场。将一带电粒子置于双D形盒的缝隙处，在电场的作用下，进入左半盒，由于金属具有静电屏蔽作用，带电粒子在磁场的作用下作圆周运动，进入缝隙后，电场极性变换，粒子被再次加速。进入右半盒，由于速度增加，轨道半径也增加。然后又穿过缝隙，电场极性又变换，粒子不断地被加速。能量不断增大，成为高能粒子后引出轰击靶。(cyclotron)~美国费米国家加速器实验室的俯视图。芝加哥附近，世界第二大，6.3公里周长，质子被加速到8GeV。欧洲大型强子对撞机LHC分布在法国和瑞士两国的边界。27公里周长、175米地下。使用两束7TeV质子或574Tev铅原子核对撞大型强子对撞机LHC图片三、经典霍尔效应HallEffect1.原因:是由于运动电荷在磁场中受Lorentz力的结果。设载流导体的宽为b，厚为d，通有电流I。1879年霍耳发现，如果给磁场中的导体（半导体）沿纵向通以电流，则在导体（半导体）横向两侧面出现一定的电势差，这种现象就叫霍尔效应，所产生的电势差称为霍尔电压。

载流导体（半导体）中的运动电荷在洛伦兹力的作用下，向上偏转，在导体的上表面积累了正电荷，下表面出现负电荷，在上下两面间形成电场E，出现Hall电压VH。带电粒子将受到向下的电场力Fe的作用。当电场力与Lorentz力平衡时，上下表面出现稳定电荷分布，UH

稳定。由有Hall系数由于导体内有大量的自由电荷，n较大，RH

较小，故导体的霍尔效应较弱。而半导体界于导体与绝缘体之间，其内的自由电荷较少，n较小，RH

较大，故半导体的霍尔效应显著。讨论3.Hall效应的应用测量半导体的性质

半导体根据掺杂不同，有空穴型（p型）半导体，和电子型（n型）半导体。P型半导体的主要载流子为正电荷，N型为负电荷；P型半导体：VH>0N型半导体：VH<0由VH的正负就可知道半导体的类型。一、安培力放置于磁场中的载流导线将会受到磁场的作用力，通常称为安培力。安培力本质上是导线中的载流子受到的洛伦兹力。电流元中共有载流子数为电流元中所有载流子洛伦兹合力为§11.5安培力如图所示，电流元Idl处于磁场B中，设载流子数密度为n，电流元的横截面为S，则电流元中任一载流子所受洛伦兹力为前面五项恰好是电流元电流元所受安培力公式为：有限长载流导体所受安培力

计算一段电流在磁场中受到的安培力时，应先将其分割成无限多电流元，将所有电流元受到的安培力求矢量和——矢量积分。式中积分方向为电流流向，积分遍及电流所在空间。注意：Ampere力的方向：由右手螺旋法则确定。例1：在无限长载流直导线I1

旁，垂直放置另一长为L的载流直导线I2,I2

导线左端距I1

为a，求导线I2

所受到的安培力。解：建立图示坐标系。距柱标原点x处选择电流元I2dx。I1

电流在其左侧产生的磁场方向垂直屏幕向里(磁场是非均匀的），电流元受力方向竖直向上。电流元所受安培力大小为：方向垂直于L2，竖直向上。例2：在无限长载流直导线旁，距离a处放置一半径为R

、通有电流为I的圆环，求载流圆环受到的安培力。解：分析：I2

电流上各点距I1

的距离不同，各点的电流方向不同，所以各点受力大小和方向也不同。建立图示坐标系，在I1电流激发的磁场中，任一关于x轴对称的电流元Idl和Idl’

所受力dF和dF’必然关于x轴对称。因此，圆环电流I2所受Ampere力沿x轴正向。例3：一无限长通电直导线电流为I1，另一长度为L的直导线通电流I2斜放在其旁边，其最近端点到第一根无限长导线的距离为d，斜导线与水平面夹角为，求斜导线所受的安培力。例4、有一段弯曲导线ab

通有电流I，求此导线在如图所示均匀磁场中受的力？

l与磁感应强度B在同一平面内，所以，该力方向垂直于纸面向外。均匀磁场中载流曲线导线所受的力结论1：均匀磁场中载流曲线导线所受的安培力，等于电流从起点流到终点的直线导线所受的安培力。结论2：均匀磁场中任意闭合载流导线所受安培力的合力为零。例5：在均匀磁场中，放置一半径为R、所通电流为I的半圆形导线，求载流导线所受的Ampere力。解：由均匀磁场中曲线电流受力的结论：半圆形电流受到的Ampere力相当于沿直径电流受到的安培力。⊙电流

I1在电流

I2处所产生的磁场为：问题：两平行长直载流导线，相距为d

求：每单位长度线段所受的作用力。导线2上dl2长度受力为dI2二、平行载流直导线间的相互作用受力方向电流强度的单位：在其空中有两根平行的长直线，它们之间相距1m，两导线上电流流向相同，大小相等，调节它们的电流，使得两导线每单位长度上的吸引力为2×10-7N·m-1，我们就规定这个电流为1A。电流

I2在电流

I1

处所产生的磁场为：dI2受力方向§11.6载流导线在磁场中受到