自动控制原理课件第三章

第三章线性系统的时域分析

3.1引言3.2线性系统的稳定性3.3劳斯—赫尔维茨稳定判据3.4系统时间相应的性能指标3.5典型系统的动态性能分析3.6高阶系统的运动3.7线性系统的稳态误差1/14/20231电子信息工程学院3.1引言对自动控制系统性能的基本要求：★稳★准★快★稳定性：稳定性是对系统的基本要求，不稳定的系统不能实现预定任务。稳定性通常由系统的结构决定与外界因素无关。★快速性：

对过渡过程的形式和快慢提出要求，一般由动态性能描述。★准确性：在参考输入信号作用下，当系统达到稳态后，其稳态输出与参考输入所要求的期望输出之差叫做给定的稳态误差。显然，这种误差越小，表示系统的输出跟随参考输入的精度越高，准确性用稳态误差来表示。1/14/20232电子信息工程学院系统分析时域分析频域分析根轨迹分析系统分析：在给定系统的条件下，将物理系统抽象成数学模型，以其数学模型为依据，用成熟的数学方法和先进的计算工具对表征系统特性的性能指标进行分析、研究和评价。

以微分方程或传递函数为数学模型，直接在时间域中研究线性定常系统的时间响应，并对系统进行分析及评价。

时域分析：特点：直观、准确、物理概念清楚。不适合高阶复杂系统的分析

局限性：数学模型系统分析系统综合校正和设计1/14/20233电子信息工程学院3.2线性系统的稳定性一、稳定性的基本概念

θ例3-1

单摆的运动例3-2

倒摆的运动例3-3

光滑轨道平衡状态平衡状态平衡状态平衡状态，稳定的平衡状态不稳定平衡状态稳定不稳定大范围（全局）稳定小范围（局部）稳定稳定的平衡工作状态平衡状态不稳定的平衡工作状态大范围稳定的平衡工作状态小范围稳定的平衡工作状态1/14/20234电子信息工程学院线性系统的平衡状态描述线性系统运动的微分方程如下对于线性控制系统，系统仅有唯一的平衡工作点0。因此平衡工作点的稳定性将直接称其为系统的稳定性。系统受到扰动大小（初始状态）只影响自由运动中各个模态前的系数，不会影响系统的稳定性。在系统输入为0时，自由运动0是系统唯一的平衡点。1/14/20235电子信息工程学院c(t)t非线性系统的平衡状态平衡状态下系统停止运动，这意味着系统中变量不再随着时间的推移而变化，所以平衡状态下变量的各阶导数为0。考虑下述非线性一阶系统：平衡状态：设系统的初始状态为

系统的运动：c0>1c0<1c=1c=0局部稳定平衡状态不稳定平衡状态1/14/20236电子信息工程学院二、线性系统稳定的充分必要条件线性系统的稳定性系统的运动模态特征方程的特征根（系统的极点）1）实根运动模态2）共轭复根运动模态3）重根：设为q重根运动模态ReIm1/14/20237电子信息工程学院线性控制系统稳定的充分必要条件是：它的特征方程的全部根都是负实数或实部为负的复数，亦即：全部根都位于复平面的左半平面。结论：如果特征方程在复平面的右半平面没有根，但在虚轴上有根临界稳定1/14/20238电子信息工程学院例3-4

例2-4中随动系统中适当取其参数，得描述系统运动的微分方程如下：其特征方程为特征方程的根：

相应的齐次方程的通解（暂态）

原方程的特解（稳态）

稳定系统1/14/20239电子信息工程学院正幂指数函数(增幅振荡)

例3-5

特征方程变为：在上例中把比例系数增大10倍，不改变其它参数。其特征根为：

相应的齐次方程的通解（暂态）

原方程的特解（稳态）

不稳定系统ty0稳定的运动0ty不稳定的运动1/14/202310电子信息工程学院四、线性系统稳定的必要条件设线性系统的特征方程为线性系统稳定的必要条件是：在特征方程中各项系数均为正数（同号）。证明：设特征方程的根分别为

1/14/202311电子信息工程学院在上述关系式中，所有比值必须大于零，否则系统至少有一个正实部根。然而，这一条件是非充分的，因为各项系数为正数的系统特征方程完全可能拥有正实部的根。1/14/202312电子信息工程学院3.3劳斯—赫尔维茨稳定判据一、劳斯稳定判据系统稳定的代数判据劳斯稳定判据是根据劳斯表中元素的正负号判断特征根的分布情况。1、劳斯表的构造设线性系统的特征方程为…………

1/14/202313电子信息工程学院2、劳斯稳定判据

如果劳斯表第一列中的元素出现小于零的数值，则系统不稳定，且第一列各元素符号的改变次数，等于特征方程的正实部根的数目。线性系统稳定

劳斯表中第一列元素各值全部为正。例3-6

设系统特征方程为

试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性。1352455由于劳斯表的第一列有两次变号，故该系统不稳定，且有两个正实部根。为了简化数值计算，可以用任意正数去乘（或除）劳斯表中的任意一行元素不影响其判定结果。1/14/202314电子信息工程学院3、劳斯稳定判据的特殊情况（1）劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各元素不为零，或不全为零。例3-7

某系统特征方程为

1-302∞1－32

2用一个无限小的正数取代０，继续进行劳斯表的列写，然后进行稳定性判定。

-

∞第一列有两次符号变化，故系统不稳定，且有两个正实部根。

确有两个正实部根

-11/14/202315电子信息工程学院如果上面一行和下面一行的首列符号相同，则表明有一对纯虚根存在。例3-8

系统特征方程为试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性。11024520

624

24有一对纯虚根存在,系统处于临界稳定状态。

求得纯虚根为用零元素的上一行系数构造如下辅助多项式：

该特征方程的根为-2、-3和

1/14/202316电子信息工程学院（2）劳斯表中出现全零行表明特征方程中存在有关于原点对称的根

例3-9

系统特征方程为试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性。1-2-7-41-3-4

1-3-400用全零行的上一行系数构造如下辅助多项式：

1/14/202317电子信息工程学院1-2-7-41-3-4

1-3-44-6

-1.5-4-16.7

-4第一列数值有一次符号变化，故本例系统不稳定，且有一个正实部根。解辅助方程：可以求出以原点对称的根为：

，××××－222－2ReIm1/14/202318电子信息工程学院例3-10

系统特征方程为试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性。12483012208（0）8（0）088构造如下辅助多项式：第一列数值有两次符号变化，故本例系统不稳定，且有两个正实部根。

设：可以求出以原点对称的根为

，××××-111-1ReIm1/14/202319电子信息工程学院二、劳斯稳定判据的应用1、系统参数对稳定性的影响R(s)－C(s)例3-11

系统的结构如图所示，试确定使系统稳定时的取值范围。

系统的闭环传递函数为

其特征方程为321由劳斯稳定判据，要使系统稳定，应有

保持系统稳定的参数的取值范围1/14/202320电子信息工程学院例3-12考虑2-2节中例2.4的随动系统，其特征方程为

分析该系统的各参数对稳定性的影响。系统的开环比例系数系统稳定的充要条件

为1记—临界开环比例系数

1/14/202321电子信息工程学院（1）开环比例系数与稳定性的关系系统稳定的充要条件为：

结论：一般情况下，增大系统的开环比例系数不利于系统的稳定性。（2）时间常数与稳定性的关系124812TmKcrTf=0.2Tf=0.5Tf=1.0Ta=Tm/20Ta=0结论：系统的时间常数增大，不利于系统的稳定性。系统的时间常数增多，不利于系统的稳定性。1/14/202322电子信息工程学院ReImReIm在实际工程设计中，不仅要求系统稳定，且要求要即有相当的稳定裕量。系统距离稳定的边界所具有的余量2、相对稳定性和稳定裕量1/14/202323电子信息工程学院34.6175001－R(s)C(s)系统的闭环特征方程为例3-13试用劳斯稳定判据确定使闭环系统稳定的取值范围。如果要求闭环系统的极点全部位于垂线之左，问值范围又应取多大?其中，使系统稳定的取值范围为：1/14/202324电子信息工程学院ReIm当要求闭环极点全部位于

垂线之左时可设

代入原特征方程31.67433.81根据劳斯稳定判据，得到全部闭环极点位于

垂线之左的

取值范围为

1/14/202325电子信息工程学院三、赫尔维茨稳定判据1、赫尔维茨行列式的构造规则：设线性系统的特征方程为规则1赫尔维茨行列式的维数为

规则2行列式对角线元素依次为

规则3行列式各列元素依次按下标递增的顺序填充，其余元素补零。赫尔维茨行列式：1/14/202326电子信息工程学院2、赫尔维茨稳定判据线性系统稳定的充分必要条件为由系统特征方程各系数构造的赫尔维茨行列式及其各阶主子式全部为正，即1/14/202327电子信息工程学院3.4系统时间响应的性能指标一、典型输人信号单位阶跃单位斜坡单位加速度正弦函数1/14/202328电子信息工程学院单位脉冲函数与单位冲激函数1二、动态性能和稳态性能系统的时间相响应典型的输入信号＋特征方程的特征根决定系统输入决定齐次通解非齐次特解给定输入下微分方程的解对于稳定系统暂态稳态1/14/202329电子信息工程学院tr(t)tc(t)系统的阶跃响应固有运动消失前，系统的动态固有运动消失后，系统的稳态1/14/202330电子信息工程学院1、动态性能指标为了在一个统一的标准下评价和比较系统的动态性能，规定以系统的典型的单位阶跃响应定义系统的动态性能指标（1）延迟时间

（2）上升时间（3）峰值时间（4）调节时间（5）超调量2、稳态性能指标稳态误差稳态下输出量的期望值与输出量的实际值之间的差值。1/14/202331电子信息工程学院3.5典型系统的动态性能分析一、一阶系统的时域分析1、一阶系统的数学模型运动微分方程为

为系统的时间常数

如室温调节系统、恒温箱以及水位调节系统的闭环传递函数均可近似为与上相同的形式，仅时间常数和各变量的含意有所区别，即对于不同形式或不同功能的一阶系统，其响应特性的数学表达式具有不同的物理意义。－URi1/14/202332电子信息工程学院2、一阶系统的单位阶跃响应

设一阶系统的输入信号为单位阶跃函数在零初始条件下，一阶系统的单位阶跃响应为初始斜率＝0120.6320.8651/14/202333电子信息工程学院一阶系统的动态性能指标：输出信号输入信号一阶系统对输入信号的输出响应1/14/202334电子信息工程学院二、二阶系统的时域分析1、二阶系统的数学模型二阶线性微分方程的标准形式

—系统的时间常数

—系统的阻尼系数

—系统的自然角频率（无阻尼振荡角频率）典型二阶系统结构图－特征方程为其两个特征根(闭环极点)为1/14/202335电子信息工程学院th(t)012（1）无阻尼()二阶系统的单位阶跃响应ImRe（2）欠阻尼()二阶系统的单位阶跃响应—衰减系数

—阻尼振荡角频率

βImRe—阻尼角

1/14/202336电子信息工程学院对于单位阶跃输入

01稳态暂态1/14/202337电子信息工程学院（3）临界阻尼()二阶系统的单位阶跃响应ImRe稳态暂态t0h(t)1两个相等的实根1/14/202338电子信息工程学院（4）过阻尼()二阶系统的单位阶跃响应

ImReth(t)10稳态暂态1/14/202339电子信息工程学院(a)ξ=0无阻尼ImReImRe(d)ξ>1过阻尼βImRe(b)0<ξ<1欠阻尼ImRe(c)ξ=1临界阻尼th(t)012th(t)1001tt0h(t)1h(t)1/14/202340电子信息工程学院3、系统参数对阶跃响应的影响（1）对阶跃响应的影响

通常取为宜，此时超调量适度，调节时间也较短。

（2）T对阶跃响应的影响

th(t)0t12t13t1T=T0T=2T0T=3T0如果参数增大几倍，则响应曲线就在横坐标方向“展宽”同样的倍数。

1/14/202341电子信息工程学院4、二阶系统的动态性能指标（二阶欠阻尼系统）(1)上升时间

(2)峰值时间由于1/14/202342电子信息工程学院(3)超调量由于故上式可写为(4)调节时间进一步近似为1/14/202343电子信息工程学院3.6高阶系统的时域分析在有些情况下（去掉某些零极点对系统的响应的曲线形态影响不大），可以找到系统传递函数的一对主导极点，将高阶系统降阶为二阶系统。系统的闭环传递函数为：求系统的单位阶跃响应1/14/202344电子信息工程学院假设闭环传递函数均为单极点和单零点，应用留数法可得各运动模态在整个阶跃响应中的作用取决于两个因素：每一项在整个输出中所占的“比重”即的大小，愈大，其所对应的运动模态对整个输出的贡献就愈大；极点离虚轴的相对距离。极点离虚轴愈远，其对应的暂态分量衰减愈快。因而，远离虚轴的极点所对应的运动模态在整个系统到达稳态之前早已消逝，而那些离虚轴较近的极点所对应的运动模态衰减很慢，在整个过渡过程中始终起作用。1/14/202345电子信息工程学院极点所对应的运动命题1

若闭环传递函数中一极点与某零点靠的很近，，则可认为该极点被零点抵消。偶极子——1/14/202346电子信息工程学院命题2如果闭环传递函数中有某一极点与其它的零点和极点相比远离原点，一般可忽略该极点的作用。由于1/14/202347电子信息工程学院主导极点对于一个稳定的高阶系统，如果存在靠近虚轴的一个实数极点或一对共轭复数极点，且在其附近又无零点存在，其它的极点或因远离虚轴或为偶极子而被忽略掉，则这个或这对极点称为高阶系统的闭环主导极点。它决定了高阶系统的过渡过程的主要特征。由于欠阻尼情况的二阶系统有较好的过渡过程，所以在实际的工程设计中，常取主导极点为一对共轭复极点。此时，高阶系统可用其主导极点所对应的二阶系统近似。因此可用二阶系统的分析方法来估计原高阶系统的过渡过程及各性能指标。1/14/202348电子信息工程学院降阶时注意系统增益不变1/14/202349电子信息工程学院零极点对阶跃响应的影响

1、零点对阶跃响应的影响假设系统增加一个闭环实零点，即系统中增加了一个串连环节且闭环零点位于复平面的左半平面可见，增加一个闭环左实零点后，系统阶跃响应增加了一项，该项的值与的变化率成正比，与该零点离虚轴的距离成反比。显然，该零点的增加将使系统响应过程加快，超调量增大，使系统对输入作用的反应灵敏了。1/14/202350电子信息工程学院反之，如果增加的闭环零点位于复平面的右半平面，即显然，这将使系统响应过程变慢，超调量减小，系统对输入作用的反应变滞呆了。1/14/202351电子信息工程学院2、极点对阶跃响应的影响假设系统增加一个闭环左实极点系统在单位阶跃信号作用下输出的拉普拉斯变换像函数系统中增加一个闭环左实极点，系统的过渡过程将变慢，超调量将减小，系统的反应变得较为呆滞。对于闭环传递函数存在右实极点的情况，系统时域响应是发散的，系统不稳定，所以不予讨论。1/14/202352电子信息工程学院3.7线性系统的稳态误差讨论稳态误差的前提条件：稳定系统控制系统的性能

动态性能

稳态性能

—稳态误差控制系统的稳态误差，是系统控制准确度(控制精度)的一种度量。★

稳态误差的不可避免性：稳态误差是系统的原理性误差，是由系统本身的特性和系统的输入的形式决定的。本节主要讨论线性控制系统由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差即原理性稳态误差的计算方法。1/14/202353电子信息工程学院一、稳态误差的定义1、误差的定义定义1

上式定义的误差，在系统性能指标的提法中经常使用，但在实际系统中有时无法量测，因而一般仅具有数学意义。定义2

被控量的期望值与实际值之间的差值。将被控量的期望值用系统的输入信号替代，相应地用反馈信号替代被控量的实际值。从系统输入端定义从系统输出端定义r(t)－e(t)c(t)G(s)F(s)b(t)1/14/202354电子信息工程学院两种定义之间的关系r(t)r’(r)e’(t)G(s)F(s)c(t)－1/F(s)r(t)－e(t)c(t)G(s)F(s)b(t)等效单位反馈被控量的期望值Creq●对于单位负反馈系统，两种定义是一致的●对于非单位反馈系统1/14/202355电子信息工程学院2、稳态误差的定义稳态分量暂态分量，对于稳定系统稳定系统在输入量或扰动的作用下，经历过渡过程进入稳态后的误差称为稳态误差

定义根据拉氏变换的终值定理，当在右半平面及虚轴上解析时，有不满足中值定理时1/14/202356电子信息工程学院二、稳态误差的计算1、控制输入下的稳态误差及静态误差系数r(t)－e(t)c(t)G(s)F(s)b(t)—系统的误差传递函数。根据拉氏变换的终值定理，当在右半平面及虚轴上解析时，有※若sE(s)在原点有极点，可用中值定理求得∞，说明ess(t)是趋于无穷的，但具体的函数形式需由Laplace反变换来求。1/14/202357电子信息工程学院（1）单位阶跃输入

系统的静态位置误差系数：定义稳态误差输入信号系统的结构和参数—开还传递函数—开环传递函数中含有积分单元的个数—0型系统—1型系统—2型系统1/14/202358电子信息工程学院（2）单位斜坡输入

系统的静态速度误差系数：定义（3）单位加速度输入

系统的静态加速度误差系数：定义1/14/202359电子信息工程学院误差系数系统类型静态位置误差系数静态速度误差系数静态加速度误差系数0型系统1型系统2型系统00∞0∞∞静态误差系数与系统类型之间的关系1/14/202360电子信息工程学院单位阶跃函数

输入信号静差系统类型单位斜坡函数单位加速度函数0型系统∞∞1型系统0∞2型系统00稳态误差与系统的类型和输入信号之间的关系0型系统可以有静差的跟踪阶跃信号、不能够跟踪斜坡、加速度信号。—有差系统1型系统可以无静差的跟踪阶跃信号、有静差的跟踪斜坡信号、不能够跟踪加速度信号。—一阶无差系统2型系统可以无静差的跟踪阶跃信号和斜坡信号、有静差的跟踪加速度信号。—二阶无差系统1/14/202361电子信息工程学院例3-13设有一非单位反馈控制系统，,，输入信号,试分别确定当为1和0.1时，系统输出端的稳态位置误差。系统开环传递函数系统输出端的稳态位置误差此时，系统输出量的希望值为解1/14/202362电子信息工程学院例3-14单位负反馈系统的开环传递函数，求输入时的稳态误差。1型单位负反馈稳定系统单位负反馈系统的开环传递函数，分别求输入时的稳态误差。例3-15此系统为1型单位负反馈稳定系统1/14/202363电子信息工程学院例3-16已知闭环系统的开环传递函数为，分别求斜坡输入和正弦输入时系统的稳态误差。此系统为1型稳定系统当系统为斜坡输入时当输入为正弦函数时不能应用拉普拉斯变换的终值定理1/14/202364电子信息工程学院2、扰动作用下的稳态误差R(s)E(s)N(s)C(s)－B(s)由扰动信号造成的误差为—非单位反馈系统的开环传递函数记—扰动误差传递函数根据拉氏变换的终值定理，当在右半平面及虚轴上解析时，有1/14/202365电子信息工程学院系统是否存在误差取决于扰动作用点之前传递函数所含有的积分环节个数，且稳态误差的大小与的比例系数成反比。扰动的稳态误差与系统结构、参数及输入信号之间的关系扰动输入0001/14/202366电子信息工程学院例3-17设比例控制系统如图所示。图中，为单位阶跃信号；为比例控制器输出转矩，用以改变被控对象的位置；为阶跃扰动转矩。试求系统的稳态误差。K1R(s)E(s)M(s)