华师版初中数学七年级下册全册教学课件（2023年1月修订）

华师版数学七年级下册全册教学课件6.1

从实际问题到方程第6章

一元一次方程问题引入一队师生共328人，乘车外出旅游，已有2辆校车可乘64人，如果租用客车，每辆可乘44人，那么还要租多少辆客车？

思考这个问题是我们在生活中碰到的实际问题，你能利用所学的知识来解决吗？列算式完成下列问题：1.一本笔记本1.2元，买

x本需要

元.2.一支铅笔

a元，一支钢笔

b元，小强买两支铅笔和三支钢笔，一共需要

元.3.长方形的宽为

a，长比宽长

3，则该长方形的面积为___________.

4.x辆44座的汽车加上2辆23座的汽车最多可以坐___________人.

1.2x2a+3ba(a+3)44x+46

通过上面的练习回顾，可设租用客车

x

辆，共可乘坐44x人，加上乘坐校车在64人，就是全体的328人.可得出等式：

合作探究问题一队师生共328人，乘车外出旅游，已有校车可乘64人，如果租用客车，每辆可乘44人，那么还要租多少辆客车？44x

+

64

=328含有未知数的等式叫做方程.①②小学我们已经学过简易方程，那么方程是如何定义的呢？做一做

判断下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打“×”.

(1)-2+5=3()(2)3x-1=7()(3)2a+b()(4)x＞3()(5)x+y=8()(6)2x2-5x+1=0()√×√×√×比较：列算式和列方程.从算式到方程是数学的进步！列算式：列出的算式表示解题的计算过程，只能用已知数.对于较复杂的问题，列算式比较困难.列方程：方程是根据题中的等量关系列出的等式.既可用已知数，又可用未知数，解决问题比较方便.典例精析例1根据下列问题，设未知数并列出方程.(1)用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？列方程：.解：设正方形的边长为

xcm.等量关系：正方形边长×4=周长.x列方程(2)一台计算机已使用1700h，预计每月再使用150h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450h？解：设

x月后这台计算机的使用时间达到2450h.等量关系：已用时间+再用时间=检修时间.列方程：.(3)某校女生占全体学生数的52%，比男生多

80

人，这个学校有多少学生？解：设这个学校的学生数为

x，那么女生数为

0.52x，男生数为

(1－0.52)x.等量关系：女生人数－男生人数=80.列方程：0.52x－(1－0.52)x=

80.

请同学们思考：（1）怎样将一个实际问题转化为方程问题？（2）列方程的依据是什么？实际问题设未知数列方程

方程

分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.抓关键句子找等量关系问题

在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是13岁.就问同学：“我今年

45

岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?”合作探究分析：方程的解

一年后：老师

46

岁，同学

14

岁，不是老师年龄的

；

二年后：老师

47

岁，同学

15

岁，不是老师年龄的

；

三年后：老师

48

岁，同学

16

岁，恰好是老师年龄的.

如果设经过

x年同学的年龄是老师的，那么

x年后同学的年龄为

岁，老师的年龄是_______岁，所以得到等式：_______________.(45+x)=

3(13+x)13+x45+x

通过刚才的分析方法可以启发我们，只要将

x=1，2，3，4，...代入方程的左右两边，使得两边相等的那个数就是方程的解，这里

x=3是方程的解.方法归纳1.将数值代入方程左边进行计算；2.将数值代入方程右边进行计算；3.若左边＝右边，则是方程的解，反之，则不是．判断一个数值是不是方程的解的步骤：典例精析例2

以下各方程后面的括号内分别给出了一组数，从中找出方程的解.(1)6x+2=14(0，1，2，3)(2)10=3x+1(0，1，2，3)(3)2x－4=12(4，8，12)x=2x=3x=81.方程

2(x+3)

=

x+10

的解是()A.x

=

3

B.x

=

-3

C.x

=

4

D.x

=

-42.已知

x

=

2

是方程

2(x-3)+1

=

x+m

的解，则

m

=（）A.3

B.2

C.-3

D.-2CCA3.“一个数比它的相反数大4”，若设这个数是

x，则可

列出关于

x的方程为（）A.x=-x+4

B.x=-x+(-4)

C.x=-x-(-4)

D.x-(-x)=42(x－1)＋3x＝134.A

种饮料比

B种饮料的单价少1元，小峰买了2瓶

A种饮料和3瓶

B

种饮料，一共花了13元，如果设

B种饮料单价为

x

元/瓶，可列方程为：_______________.通过这节课的学习活动，你有什么收获？谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。6.2

解一元一次方程第1课时等式的性质6.2.1

等式的性质与方程的简单变形

思考：要让天平平衡应该满足什么条件？情境引入等式的性质合作探究1.对比天平与等式，你有什么发现？把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作天平两边的砝码，则等号成立就可看作是天平两边保持平衡.等号等式的左边等式的右边2.观察天平有什么特性？天平两边同时加入相同质量的砝码天平仍然平衡天平两边同时拿去相同质量的砝码天平仍然平衡天平两边同时天平仍然平衡加入拿去相同质量的砝码两边同时相同的

等式加上减去代数式结果仍是等式等式性质1结论等式两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.

即，如果

a=b，那么

a+c=b+

c，a－c=b－c.由天平特性看等式的基本性质2等式两边都乘(或都除以)同一个数(或整式)(除数不能为0)，所得结果仍是等式.如果

a=b，那么

ac=bc，等式性质2结论

例1填空，并说明理由.(1)如果

a+2

=b+7，那么

a=

()；

(2)如果

3x=9y，那么x=

()；

(3)如果

，那么

3a=

().典例精析(1)如果

a+2

=b+7，那么

a=

()；解：因为

a+2

=

b+7，由等式性质

1

可知，

等式两边都减去

2，得

a+2-

2=b+7

-

2，

即a=b+5.(2)如果

3x=9y，那么x=

()；解：因为3x=9y，由等式性质2可知，

等式两边都除以3，得.

即

x=3y.b+53y等式性质1等式性质2解：因为

，由等式性质

2可知，等式两边都乘

6，得

即3a=2b.2b

(3)如果

，那么

3a=

().等式性质2

请在括号中写出下列等式变形的理由：（1）如果a-3=b+4，那么

a=b+7(

)；（2）如果3x=

2y，那么

(

)；等式性质

1等式性质

2（3）如果，那么

x=2y

(

)；等式性质

2（4）如果2a+3=3b-1，那么2a-6=3b-10().等式性质

1练一练例2

判断下列等式变形是否正确，并说明理由.

（1）如果

a-3=2b-5，那么

a=2b-8；（2）如果，那么10x-5=16x-8.解:（1）错误.由等式性质1可知，等式两边都加上3，

得a-3+3=2b-5+3

即

a=2b-2.

（2）正确.由等式性质2可知，等式两边都乘20，

得

，即5(2x-1)=4(4x-2)

去括号，得10x-5=16x-8.

判断下列等式变形是否正确，并说明理由.（1）若，则

a+3=3b-3；不正确，应该是a+9=3b-3.（2）若2x-6=4y-2，则x-3=

2y-2.不正确，应该是x-3=2y-1.练一练D1.如果

ac

=

ab，那么下列等式中不一定成立的是()A.ac-1

=

ab-1

B.ac+a=ab+a

C.-3ac=

-3ab

D.c=

b2.下列变形中，不正确的是()A.由

y+3

=5，得y=5-3

B.由3y=

4y+2，得3y-4y

=

2

C.由

y=

-2y+1，得

y+2y

=

1

D.由

-y=6y+3，得

y-6y

=

3D3.下列等式变形正确的是()A.若

x=

y，则

B.若

a

=

b，则

a-3=3-b

C.若2πR

=

2πr，则R

=

r

D.若

，则

a=cC4.下列结论中不能由

a+b=0得的是()A.a2

=

-ab

B.|a|=|b|

C.a=

0，b=0

D.a2

=

b2

C通过这节课的学习活动，你有什么收获？谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。6.2

解一元一次方程第2课时

方程的简单变形6.2.1

等式的性质与方程的简单变形复习引入等式性质1等式两边同时加上(或都减去)同一个整式，所得结果仍是等式.

即，如果

a=b，那么

a+c=b+c，a－c=b－c.等式两边都乘(或都除以)同一个数(或整式)(除数不能为0)，所得结果仍是等式.如果

a=b，那么

ac=bc，等式性质2请利用等式的性质，把方程2345+12x=5129变形成

x=a

(其中

a是已知数)的形式.①在方程①两边都减去2345，得2345+12x-2345=5129-2345

即

12x=2784.②方程②两边都除以12，得

x=232.移项+12x=5129234512x=5129-2345

在上面的问题中，我们根据等式性质1，在方程①两边都减去2345，相当于作了如下变形：这个变形有什么特点？

把原方程中的某一项改变________后，从________的一边移到________，这种变形叫做移项.(1)移项的根据是等式的基本性质1.(2)移项要变号，没有移动的项不改变符号.(3)通常把含有未知数的项移到方程的左边，把常数项(不含未知数的项)移到方程的右边.移项要点：符号方程另一边总结归纳(1)5＋x＝10移项得x＝10＋5；(2)6x＝2x＋8移项得6x＋2x

＝8；(3)5－2x＝4－3x移项得3x－2x＝4－5；(4)－2x＋7＝1－8x移项得－2x＋8x＝1－7.做一做××√√10－56x－2x下面的移项对不对？如果不对，应怎样改正？1.移项时必须是从等号的一边到另一边，并且不要忘记对移动的项变号，如从2＋5x＝7得到5x＝7＋2是不对的．2.没移项时不要误认为移项，如从－8＝x得到

x＝8，犯这样的错误，其原因在于对等式的基本性质与移项的区别没有分清．总结归纳

例1解下列方程：

4x+3

=2x-7.

利用移项解一元一次方程4x+3=2x-74x-2x=-3-7典例精析解：

原方程为

4x+3

=2x-7将同类项放在一起合并同类项，得2x=-10

移项，得

4x-2x=-7-3

所以x=-5是原方程的解.检验：把

x=-5分别代入原方程的左、右两边，左边=4×(-5)+3=-17，

右边=2×(-5)-7=-17，左边=右边计算结果进行检验两边都除以2，得x=-5提示：以上解一元一次方程的检验过程可以省略.

例2解下列方程：解：方程两边都除以（或都乘），得即(1)移项；利用移项解方程的步骤是：(3)化未知数的系数为1.(2)合并同类项；

归纳总结：1.(1)由等式

x-10=15的两边都

，得到等式

x=5，这是根据

；(2)由等式

的两边都

，得到等式

x=

，这是根据

.加10等式基本性质1等式基本性质2乘

-3D2.方程

3x-1

=5的解是()A.

B.

C.x

=

18

D.x=

2D3.若关于

x

的方程

2x+a-9

=0的解是

x=2，则

a

的值为

()A.2

B.3

C.4

D.5通过这节课的学习活动，你有什么收获？谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。6.2

解一元一次方程第3课时利用方程的变形求方程的解6.2.1

等式的性质与方程的简单变形

复习引入(1)移项；利用移项解方程的步骤是：(3)化未知数的系数为1.(2)合并同类项；4x–15=9用移项解一元一次方程典例精析

4x=9+15．例1请运用等式的性质解下列方程.(1)4x－15=9解：两边都减去5x，得－3x=－21．系数化为1，得x=6．

(2)2x=5x

－21解：两边都加上15，得系数化为1，得x=7．合并同类项，得合并同类项，得4x=24．2x=5x–21+15+15–5x–5x

4x－15=94x=9+15

2x=5x

－212x－5x=－21

2x

－5x=－21．4x

－15=9①4x=9+15②

由方程

①

到方程②，这个变形相当于把

①

中的“–15”这一项从方程的左边移到了方程的右边，这一项移动后，发生了什么变化？－15

4x－15=94x=9+15改变了符号.由方程

③

到方程④

,这个变形相当于把

③

中的“5x”这一项从方程的右边移到了方程的左边，这一项这项移动后，发生了什么变化?改变了符号.2x=5x－21③2x

－5x=－21④

5x

2x=5x

－212x－5x=－21例2

解方程解：移项，得合并同类项，得系数化为1，得移项实际上是利用等式的性质

1，但是解题步骤更为简捷！(1)8x=2x－7；(2)6=8+2x解：(1)移项得8x－2x=－7

即

6x=－7两边同时除以6得

(2)移项得6－8=2x

即

－2=2x两边同时除以2得

－1=x

即

x=－1例3

解方程(3)解：移项，得即

两边都除以，得练一练

解下列方程：(1)

2.5x+318

=1068；(2)2.4y+2y+2.4

=6.8.

x=300

y=11.解下列一元一次方程：答案：(1)x=-2(2)t=20(3)x=-4(4)x=2通过这节课的学习活动，你有什么收获？谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。6.2

解一元一次方程第1课时解含有括号的一元一次方程6.2.2

解一元一次方程问题引入观察这两个方程有什么共同特点?一元一次方程的概念合作探究问题

观察右边两个方程有什么共同特点?只含有一个未知数，

（一元）（一次）并且含有未知数的式子是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.我们发现

，

一元一次方程定义:

只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是

1，像这样的方程叫做一元一次方程.注意以下三点：（1）一元一次方程有如下特点：①

只含有一个未知数；②

未知数的次数是

1；③

含有未知数的式子是整式.（2）一元一次方程的最简形式为：ax=b(a

≠

0).（3）一元一次方程的标准形式为：ax+b=

0（其中

x是未知数，a、b是已知数，并且(a

≠

0).下列哪些是一元一次方程？（1）；（2）；（3）

；

（4）；（5）；

（6）

．（7）做一做√√利用去括号解一元一次方程1.利用乘法分配律计算下列各式：(1)2(x+8)=(2)-3(3x+4)=(3)-7(7y-5)=2x+16-9x-12-49y+35合作探究

2.去括号:

(1)a+

(–b+c)

=

(2)

(a–b)

–

(c+d)

=(3)

–(–a+b)

–c=

(4)–

(2x–y)–(–

x2

+y2)=a-b+ca-b-c-da-b-c-2x+y+x2-y2去括号法则：去掉“+(

)”，括号内各项的符号不变.

去掉“-(

)”，括号内各项的符号改变.

用三个字母

a、b、c表示去括号前后的变化规律：

a+(b+c)a-(b+c)=a+b+c=a-b-c典例精析例1

解方程：3(x－2)+1=x－(2x－1)3x－6+1=x－2x+1，

解：原方程的两边分别去括号，得即3x－5=－x+1

移项，得3x+x=

1+5即4x=6

两边都除以4，得例2

解下列方程：解：去括号，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得解：去括号，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得移项合并同类项系数化为1去括号

通过以上解方程的过程，你能总结出解含有括号一元一次方程的一般步骤吗？归纳总结练一练(1)6x＝－2(3x－5)＋10；

(2)－2(x＋5)=

3(x－5)－6.

解下列方程：解：(1)6x

＝

－2(3x－5)＋106x

＝

－6x＋10＋106x

+6x

＝

10＋10

12x

＝20(2)－2(x＋5)＝

3(x－5)－6－2x－10＝

3x－15－6－2x－3x

＝

－15－6＋10

－5x＝－11(1)

3x－5(x－3)=9－(x+4)；1.解下列方程．x＝10x＝10通过这节课的学习活动，你有什么收获？谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。6.2

解一元一次方程第2课时

利用去分母解一元一次方程6.2.2

解一元一次方程情境引入

问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，求这个数？

英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物—纸莎草文书．现存世界上最古老的方程就出现在这部英国考古学家兰德1858年找到的纸草上．经破译，上面都是一些方程，共85个问题．其中有如下一道著名的求未知数的问题.纸莎草文书你能解决以上古代问题吗？

分析：你认为本题用算术方法解方便，还是用方程方法解方便？请你列出本题的方程.

结论：设这个数是

x，则可列方程：

你能解出这道方程吗？把你的解法与其他同学交流一下，看谁的解法好.

总结：像上面这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化为整数，则可以使解方程中的计算更方便些.解含分母的一元一次方程合作探究2.去分母时要注意什么问题?想一想1.若使方程的系数变成整系数方程，方程两边应该同乘什么数?解方程：系数化为

1去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）

移项合并同类项去括号注意:(1)为什么同乘各分母的最小公倍数10；(2)小心漏乘，记得添括号.典例精析例1例2解下列方程：解：去分母(方程两边乘4)，得

2(x+1)－4=8+(2－x)去括号，得

2x+2－4=8+2－x

移项，得2x+x=8+2－2+4

合并同类项，得3x=12

系数化为1，得x=4.解：去分母(方程两边乘6)，得

18x+3(x－1)=18－2(2x－1)去括号，得18x+3x－3=18－4x+2

移项，得18x+3x+4x=18+2+3

合并同类项，得25x=23

系数化为1，得

下列方程的解法对不对？如果不对，你能找出错在哪里吗?

解方程：解：去分母，得4x－1－3x+6=1

移项，合并同类项，得x=4去括号符号错误观察与思考方程右边的“1”去分母时漏乘最小公倍数6.约去分母3后，(2x－1)×2在去括号时出错.1.去分母时，应在方程的左右两边乘分母的

；2.去分母的依据是

，去分母时不能漏乘

；

3.去分母与去括号这两步分开写，不要跳步，防止忘记变号.最小公倍数等式性质2没有分母的项要点归纳CD3.解下列方程：答案：步骤

具体的做法去分母乘所有的分母的最小公倍数.依据是等式性质二.去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号.依据是去括号法则和乘法分配律.移项把含有未知数的项移到一边,常数项移到另一边.“过桥变号”，依据是等式性质一.解一元一次方程的一般步骤:通过这节课的学习活动，你有什么收获？谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。6.2

解一元一次方程第3课时实际问题与一元一次方程6.2.2

解一元一次方程小敏，我能猜出你年龄.那你猜猜看！你的年龄乘

2减

5

得数是多少？你今年13岁.21.

她怎么知道我的年龄是13岁的呢？问题引入列方程解决实际问题合作探究某湿地公园举行观鸟节活动，其门票价格如下：全价票20元/人半价票10元/人

该公园共售出1200张门票，得总票款20000元，问全价票和半价票各售出多少张？全价票数＋________＝1200张；

________＋半价票款＝________.分析题意可得此题中的等量关系有：半价票数全价票款20000元设售出全价票

x张，填写下表：

全价半价票数/张

票款/元

根据等量关系②，可列出方程：

.解得

x＝

.因此，售出全价票

张，半价票

张.x1200－x20x10(1200－x)全价票款＋半价票款＝20000元20x10(1200－x)+=20000800800400可不可以设其他未知量为

x？典例精析例1如图，天平的两个盘内分别盛有51g、45g盐，问应该从盘

A

内拿出多少盐到盘B内，才能使两者所盛盐的质量相等？ABAB分析应从盘

A内拿出盐xg，列表如下:盘

A盘

B

解：设应从盘

A内拿出盐

xg放到盘

B内，则根据题意，得51－x=45+x解这个方程，得x=3.经检验，符合题意.答：应从盘

A

内拿出盐3g放到盘

B

内.例2学校团委组织

65名团员为学校建花坛搬砖.女同学每人每次搬

6

块，男同学每人每次搬

8

块，每人各搬了

4

次，总共搬了

1800

块.问这些新团员中有多少名男同学?设新团员中有

x名男同学，列表如下：男同学女同学总数参加人数每人搬砖数共搬砖数651800x65－x32x24(65－x)8×46×4分析解：设新团员中有

x名男同学，根据题意，得：32x+24(65－x)=180032x+1560－24x=180032x－24x=1800－15608x=240x=30经检验，符合题意.答：这些新团员中有30名男同学.归纳总结用方程解实际问题的过程:问题方程解答分析抽象求解检验分析和抽象的过程包括:(1)

弄清题意,设未知数；(2)

找等量关系；(3)

列方程.1.学校田径队的小刚在400米跑测试时，先以6米／秒的速度跑完了大部分路程，最后以8米／秒的速度冲刺到达终点，成绩为1分零5秒，问小刚在冲刺阶段花了多少时间?路程速度时间(s)前一段后一段总数4006865分析：设小刚在冲刺阶段花了x

s

时间，可列表解:小刚在冲刺阶段花了

xs

时间，根据题意，得答:小刚在冲刺阶段花了5s

时间.经检验，符合题意.2.某市的出租车计价规则如下:行程不超过3千米，收起步价8元；超过部分每千米路程收费1.20元.某天李老师和三位学生去探望一位病假的学生，坐出租车付了17.60元，他们共乘坐了多少路程?解:设共乘坐了x千米的路程，根据题意，得解方程得

x=11.经检验，符合题意.答:他们共乘坐了11千米的路程.通过这节课的学习活动，你有什么收获？谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。6.3

实践与探索第1课时等积变形问题情境引入从一个水杯向另一个水杯倒水.思考：在这个过程中什么没有发生变化？图形的等长变化合作探究

(1)若该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各是多少米呢？在这个过程中什么没有发生变化？长方形的周长(或长与宽的和)不变.用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.xm(x+1.4)m等量关系：（长+宽）×2=周长解：设此时长方形的宽为

x米，则它的长为

(x+1.4)

米.根据题意，得(x+1.4+x)×2=10解得x=1.8

长：1.8+1.4=3.2此时长方形的长为

3.2米，宽为

1.8米.(2)若该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长和宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？解：设此时长方形的宽为

xm，则它的长为(x+0.8)m.根据题意，得(x+0.8+x)×2=10解得x=2.1长：2.1+0.8=2.9此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.9×2.1=6.09(m2)，(1)中长方形的面积为

3.2×1.8

=5.76(m2).此时长方形的面积比

(1)中长方形的面积增大6.09－5.76=0.33(m2).(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，则正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与(2)中相比，又有什么变化？xm(x+x)×2=10解得x=2.5正方形的面积为2.5×2.5=6.25(平方米)解：设正方形的边长为

x米.根据题意，得比(2)中面积增大6.25-6.09=0.16（平方米）正方形的边长为2.5米同样长的铁丝可以围更大的地方.

例1用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2)m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．典例精析

【解析】比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长．解：设圆的半径为

rm，则正方形的边长为

[r＋2(π－2)]m.根据题意，得答：铁丝的长为8πm，圆的面积较大．因为4π×4＞4π×π，所以16π

＞4π2，所以圆的面积大．正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m2)．所以圆的面积是

π×42＝16π(m2)，所以铁丝的长为2πr＝8π(m)．2πr＝4(r＋2π－4)，解得

r＝4.(1)形状、面积发生了变化，而周长没变；(2)形状、周长不同，但是根据题意找出周长之间的关系，把这个关系作为等量关系．解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而可列方程．归纳总结图形的等积变化

某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱．现对该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m变为多少米？合作探究1.如果设水箱的高变为

xm，填写下表：

旧水箱新水箱底面半径/m高/m体积/m21.64xπ×22×4π×1.62×x3.列出方程并求解.2.根据表格中的分析，找出等量关系.旧水箱的容积=新水箱的容积π×22×4π×1.62×x=解得

x=6.25因此，水箱的高度变成了6.25m.例2

一种牙膏出口处直径为5mm，小明每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6mm，小明还是按习惯每次挤出1cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？解：设这一支牙膏能用

x

次，根据题意得

解这个方程，得

x

＝

25.

答：这一支牙膏能用

25

次．

你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？关键是什么？思考：

1.审——通过审题找出等量关系.6.答——注意单位名称.5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符

合实际问题.4.解——求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解).3.列——依据找到的等量关系，列出方程.2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.做一做1.要锻造一个直径为8厘米、高为4厘米的圆柱形毛坯，则至少应截取直径为4厘米的圆钢______厘米.2.钢锭的截面是正方形，其边长是20厘米，要锻造成长、宽、高分别为40厘米、30厘米、10厘米的长方体，则应截取这种钢锭多长？答：应截取这种钢锭

30厘米.161.一个长方形的周长是40cm，若将长减少8cm，宽增加2cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为()A.6cm

B.7cm

C.8cm

D.9cmBC2.一个梯形的面积是60cm2，高为5cm，它的上底比下底短2cm，求这个梯形上底和下底的长度.设下底长为

xcm，则下面所列方程正确的是

()

3.根据图中给出的信息，可得正确的方程是(

)AA.π×42x=π×32×(x+5)B.π×42x=π×32×(x-5)C.π×82x=π×62×(x+5)D.π×82x=π×62×(x-5)通过这节课的学习活动，你有什么收获？谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。6.3

实践与探索第1课时销售问题及百分率问题情境引入清仓处理跳楼价满200返100五折销售销售中的盈亏合作探究1.进价100元的商品提价40%后，标价为________元，若按标价的八折销售，则售价为________元，此商品的利润为________元，利润率是________.2.某商品原价是

a元，现在每件打九折销售，则此时的售价是

元.3.一件商品打

x折出售，就是用原价乘

.

140112120.9a12％填空：问题1：上面的打折销售问题中有哪些量?成本价(进价)标价(原价)销售价

利润

利润率问题2：这些量有何关系?大家想一想！进价：购进商品时的价格(有时也叫成本价).售价：在销售商品时的售出价(有时称成交价，卖出价).标价：在销售时标出的价（有时称原价，定价）.利润：在销售商品的过程中的纯收入，利润＝售价-进价.有关销售的概念利润率：利润占进价的百分率，即：利润率

＝

利润÷进价×100%.概念学习理一理：打折促销活动中各个量与量之间有怎样的等量关系？

进价＋提价

=标价售价－进价（成本）=利润进价×利润率

=利润

标价×折扣率

=售价打折或减价标价售价进价提价利润、利润率(1)某商品的进价为80元，在进价的基础上提高20%后标价，则标价为

元.(2)标价为500元的商品打9折后的售价为

元.(3)某商品每件的销售利润是72元，进价是120元，则售价是

元.(4)某商品利润率为13%，进价为50元，则利润是

元.(80＋80×20%)（500×0.9）（50×13%）（120＋72）964506.5192做一做

商品利润利润率=

=商品售价－商品进价●售价、进价、利润的关系：商品利润●进价、利润、利润率的关系：商品进价×100%折扣数●标价、折扣数、商品售价的关系：商品售价=标价×10●商品售价、进价、利润率的关系：商品进价商品售价=×(1+利润率)打折销售要点归纳A.盈利B.亏损C.不盈不亏

你估计盈亏情况是怎样的？典例精析例1一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?￥60￥60思考：销售的盈亏决定于什么？取决于总售价与总成本(两件衣服的成本之和)的关系总售价

＞总成本

总售价

＜总成本

总售价

＝总成本盈利亏损不盈不亏(2)设亏损25%的衣服进价是y元，依题意得y－0.25y＝60解得y＝80(1)设盈利25%的衣服进价是x元，依题意得x＋0.25x＝60解得x＝48解：两件衣服总成本：x+y=48＋80＝128(元)因为120－128＝

－8(元)所以卖这两件衣服共亏损了8元.与你猜想的一致吗？1.某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元.其中一台盈利20%，另一台亏损20%.这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？练一练2.某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%.这次交易中的盈亏情况？答案：买这两个计算器盈利

8

元.答案：这次琴行亏本80元.

例2一件服装先将进价提高25%出售，后进行促销活动，又按标价的8折出售，此时售价为60元.请问商家是盈是亏，还是不盈不亏？解：设这件衣服的进价是

x元，则提价后的售价是(1＋25%)x元，促销后的售价是(1＋25%)x×0.8元，依题意得(1＋25%)x×0.8＝60

解得x＝60售价60=成本60答：这家商店不盈不亏.练一练1.某商品在原价的基础上提高25%标价，若想调回原价，应降价的百分率为

.20%2.我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品在2021年涨价30%后，2023年降价70%至

a元，则这种药品在2005年涨价前价格为

元.1.某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%，那么商店最多可打几折出售此商品？解:设商店最多可以打

x折出售此商品，根据题意，得1500×=1000(1+5%)解得x=7答:商店最多可以打7折出售此商品.

2.据了解个体商店销售中售价只要高出进价的20%便可盈利，但老板们常以高出进价50%~100%标价，假若你准备买一双标价为600元的运动鞋，应在什么范围内还价？高于进价50%标价高于进价100%标价进价x元y元标价(1＋50%)x(1＋100%)y方程(1＋50%)x＝600(1＋100%)y＝600方程的解x＝400y＝300盈利价400(1＋20%)＝480300(1＋20%)＝360答：应在480

元

~

360

元内还价.通过这节课的学习活动，你有什么收获？谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。6.3

实践与探索第3课时速率问题情境引入你知道它蕴含的是我们数学中的什么问题吗？相遇问题

星期天早晨，小斌和小强分别骑自行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆.已知他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，小斌每小时骑

10km，他在上午

10时到达；小强每时骑

15

km，他在上午

9

时

30

分到达.求他们的家到雷锋纪念馆的路程.情境引入

由于小斌的速度较慢，因此他花的时间比小强花的时间多.本问题中涉及的等量关系有：

.

因此，设他俩的家到雷锋纪念馆的路程均为

skm，解得s=＿＿＿＿.

因此，小斌和小强的家到雷锋纪念馆的路程为

km．根据等量关系，得

.1515注意单位要统一.

例1小明与小红的家相距

20

km，小明从家里出发骑自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明.

已知小明骑车的速度为

13km/h，小红骑车的速度是

12km/h.(1)如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇？

分析：由于小明与小红都从家里出发，相向而行，所以相遇时，他们走的路程的和等于两家之间的距离.即小明走的路程+小红走的路程=两家之间的距离(20

km).典例精析解：设小明与小红骑车走了

xh

后相遇，则根据等量关系，得

13x+12x=20.

解得x=0.8.

答：经过

0.8h他们两人相遇.小明走的路程小红走的路程(2)如果小明先走30min，那么小红骑车要走多少小时才能与小明相遇？小明先走的路程小红出发后小明走的路程小红走的路程解：设小红骑车走了

th后与小明相遇，则根据等量关系，得

13(0.5+t)+12t=20.

解得t=0.54.

答：小红骑车走0.54h后与小明相遇.路程＝速度×时间甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之间的距离

相遇问题总结归纳注意相向而行的始发时间和地点.

甲、乙两车分别从

A，B

两地同时出发，相向而行．已知

A，B

两地的距离为

480

km，且甲车以

65

km/

h

的速度行驶．若两车

4

h

后相遇，则乙车的行驶速度是多少？答：乙车的行驶速度是

55

km/h.练一练

例2小明早晨要在7:20以前赶到距家1000米的学校上学．一天，小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以180米/分钟的速度去追小明，并且在途中追上了他．问爸爸追上小明用了多长时间？

分析：当爸爸追上小明时，两人所走路程相等.追及问题解：设爸爸追上小明用了

x分钟，则此题的数量关系可用线段图表示.据题意，得80×5＋80x=180x.答：爸爸追上小明用了4分钟．解得x=4.80×580x180x

一队学生步行去郊外春游，每小时走4km，学生甲因故推迟出发30min，为了赶上队伍，甲以6km/h的速度追赶，问甲用多少时间就可追上队伍？答：该生用了1小时追上了队伍.练一练路程

＝

速度×时间S快－S慢

=S原来距离

追及问题总结归纳注意同向而行始发时间和地点.

例3生产的这批螺钉、螺母要打包，由一个人做要40h完成.现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体应该安排多少人工作？分析：人均效率人数时间工作量前一部分工作x4后一部分工作x＋28×＝×工作量之和等于总工作量1.工程问题××＝解：设先安排x人做4h，根据题意得等量关系：

可列方程解方程，得4x＋8(x＋2)＝40，4x＋8x＋16＝40，12x＝24，

x＝2.答：应先安排2人做4小时.前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1一条地下管线由甲工程队单独铺设需要

12

天，由乙工程队单独铺设需要

24

天.如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？做一做根据工作效率×工作时间

=

工作量，列方程:

解：设要

x天可以铺好这条管线，由题意得答：要8天可以铺好这条管线.分析：把工作量看作单位“1”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为.

解方程，得解决工程问题的思路：1.三个基本量：三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.

工作量=工作效率×工作时间.若把工作量看作1，则工作效率=2.相等关系：(1)按工作时间，各时间段的工作量之和=完成的工作量.(2)按工作者，若一项工作有甲、乙两人参与，则甲的工作量+乙的工作量=完成的工作量.要点归纳1．甲每小时走5千米，甲出发4.5小时后，乙骑车从同一地点出发追赶甲，乙用了35分钟追上甲，设乙骑车的速度为

x千米/时，则所列方程为(

)B2．甲、乙两人骑摩托车同时从相距170千米的A，B两地相向而行，2小时相遇，如果甲比乙每小时多行5千米，则乙每小时行(

)A．30千米