2022-2023学年湖南省怀化市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022-2023学年湖南省怀化市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(40题)1.设f(x)为区间[a，b]上的连续函数，则曲线y=f(x)与直线x=a，x=b，y=0所围成的封闭图形的面积为()。A.

B.

C..

D.不能确定

2.

3.设f'(x)=1+x，则f(x)等于()．A.A.1

B.X+X2+C

C.x++C

D.2x+x2+C

4.

5.当α＜x＜b时，f'(x)＜0，f'(x)＞0。则在区间(α，b)内曲线段y=f(x)的图形A.A.沿x轴正向下降且为凹B.沿x轴正向下降且为凸C.沿x轴正向上升且为凹D.沿x轴正向上升且为凸

6.

7.

8.下列关系式中正确的有()。A.

B.

C.

D.

9.以下结论正确的是（）．

A.

B.

C.

D.

10.A.A.lnx+CB.-lnx+CC.f(lnx)+CD.-f(lnx)+C

11.

12.等于()．A.A.0

B.

C.

D.∞

13.A.A.

B.

C.

D.

14.A.A.

B.

C.

D.

15.

16.函数y=ex+arctanx在区间[-1，1]上（）

A.单调减少B.单调增加C.无最大值D.无最小值17.在空间直角坐标系中，方程x2-4(y-1)2=0表示()。A.两个平面B.双曲柱面C.椭圆柱面D.圆柱面

18.

19.平衡物体发生自锁现象的条件为()。

A.0≤α≤φ

B.0≤φ≤α

C.0<α<90。

D.0<φ<90。

20.函数y=ex+e-x的单调增加区间是

A.(-∞,+∞)B.(-∞,0]C.(-1,1)D.[0,+∞)21.设y=e-5x，则dy=（）A.-5e-5xdxB.-e-5xdxC.e-5xdxD.5e-5xdx

22.

23.

24.当a→0时，2x2+3x是x的()．A.A.高阶无穷小B.等价无穷小C.同阶无穷小，但不是等价无穷小D.低阶无穷小

25.当x→0时,与x等价的无穷小量是

A.A.

B.ln(1+x)

C.C.

D.x2(x+1)

26.

27.设平面π1：2x+y+4z+4=0π1：2x-8y+Z+1=0则平面π1与π2的位置关系是A.A.相交且垂直B.相交但不垂直C.平行但不重合D.重合

28.

29.设直线，ι：x/0=y/2=z/1=z/1，则直线ιA.A.过原点且平行于x轴B.不过原点但平行于x轴C.过原点且垂直于x轴D.不过原点但垂直于x轴30.微分方程y'＋x=0的通解（）。A.

B.

C.

D.

31.

32.微分方程y＋y＝0的通解为（）．A.A.

B.

C.

D.

33.

34.A.A.-3/2B.3/2C.-2/3D.2/335.设y=3-x，则y'=（）。A.-3-xln3

B.3-xlnx

C.-3-x-1

D.3-x-1

36.

37.设z=x2+y2，dz=()。

A.2ex2+y2(xdx+ydy)

B.2ex2+y2(zdy+ydx)

C.ex2+y2(xdx+ydy)

D.2ex2+y2(dx2+dy2)

38.A.A.

B.

C.

D.

39.

A.2x+1B.2xy+1C.x2+1D.2xy40.A.A.

B.

C.

D.

二、填空题(50题)41.

42.

43.

44.

45.46.47.

48.

49.

则b__________.

50.

51.

52.

53.

54.

55.56.57.58.函数f(x)=x3-12x的极小值点x=_______.59.60.61.

62.63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.二元函数z=x2+y2+1的极小值为_______．71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.微分方程y'=0的通解为__________。

79.

80.81.

82.

83.过点M0(1，-2，0)且与直线垂直的平面方程为______．84.

85.

86.

87.设y=f(x)可导，点xo=2为f(x)的极小值点，且f(2)=3．则曲线y=f(x)在点(2，3)处的切线方程为__________．

88.

89.

90.

三、计算题(20题)91.求曲线在点(1，3)处的切线方程．92.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．93.94.

95.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

96.

97.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．98.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

99.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

100.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．101.证明：102.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则103.104.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

105.

106.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

107.108.

109.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

110.求微分方程的通解．四、解答题(10题)111.

112.将f(x)=e-2x展开为x的幂级数，并指出其收敛区间。

113.

114.证明：在区间(0，1)内有唯一实根．

115.确定函数f(x，y)=3axy-x3-y3(a＞0)的极值点.

116.判定曲线y=3x3-4x2-x＋1的凹向．

117.118.设y=x+arctanx，求y'．

119.

120.

五、高等数学(0题)121.设f(x)的一个原函数是lnz，求∫f(x)f(x)dx。

六、解答题(0题)122.

参考答案

1.B本题考查的知识点为定积分的几何意义。由定积分的几何意义可知应选B。常见的错误是选C。如果画个草图，则可以避免这类错误。

2.D

3.C本题考查的知识点为不定积分的性质．

可知应选C．

4.D

5.A由于在(α，b)内f'(x)＜0，可知f(x)单调减少。由于f"(x)＞0，

可知曲线y=f'(x)在(α，b)内为凹，因此选A。

6.B

7.D解析：

8.B本题考查的知识点为定积分的性质．

由于x，x2都为连续函数，因此与都存在。又由于0＜x＜1时，x＞x2，因此

可知应选B。

9.C

10.C

11.C解析：

12.A

13.B本题考查的知识点为定积分运算．

因此选B．

14.D本题考查的知识点为偏导数的计算．

可知应选D．

15.C解析：

16.B因处处成立，于是函数在（-∞，+∞)内都是单调增加的，故在[-1，1]上单调增加.

17.A

18.C

19.A

20.D考查了函数的单调区间的知识点.

y=ex+e-x,则y'=ex-e-x,当x＞0时,y'＞0,所以y在区间[0,+∞)上单调递增。

21.A

22.D解析：

23.D

24.C本题考查的知识点为无穷小阶的比较．

应依定义考察

由此可知，当x→0时，2x3+3x是x的同阶无穷小，但不是等价无穷小，故知应选C．

本题应明确的是：考察当x→x0时无穷小卢与无穷小α的阶的关系时，要判定极限

这里是以α为“基本量”，考生要特别注意此点，才能避免错误．

25.B本题考查了等价无穷小量的知识点

26.D

27.A平面π1的法线向量n1=(2，1，4)，平面π2的法线向量n2=(2，-8，1)，n1*n1=0。可知两平面垂直，因此选A。

28.C解析：

29.C将原点(0，0，0)代入直线方程成等式，可知直线过原点(或由直线方程x/m=y/n=z/p表示过原点的直线得出上述结论)。直线的方向向量为(0，2，1)，又与x轴同方向的单位向量为(1，0，0)，且

(0，2，1)*(1，0，0)=0，

可知所给直线与x轴垂直，因此选C。

30.D所给方程为可分离变量方程．

31.D

32.D本题考查的知识点为－阶微分方程的求解．

可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作－阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解．

解法1将方程认作可分离变量方程．

解法2将方程认作－阶线性微分方程．由通解公式可得

解法3认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解：

特征方程为r＋1＝0，

特征根为r＝－1，

33.A

34.A

35.Ay=3-x，则y'=3-x。ln3*(-x)'=-3-xln3。因此选A。

36.B解析：

37.A∵z=ex+y∴z"=ex2+y22x；zy"=ex2+y22y∴dz=ex2+y22xdx+ex2+y22ydy

38.A本题考查的知识点为偏导数的计算．

可知应选A．

39.B

40.D本题考查的知识点为偏导数的计算．

41.

42.

43.e-2

44.(sinx+cosx)exdx(sinx+cosx)exdx解析：

45.

46.

47.

48.(1+x)ex(1+x)ex

解析：

49.所以b=2。所以b=2。

50.

本题考查的知识点为定积分运算．

51.1/2

52.4π本题考查了二重积分的知识点。

53.

54.

55.56.12dx+4dy．

本题考查的知识点为求函数在一点处的全微分．

57.1/2

本题考查的知识点为计算二重积分．

其积分区域如图1—1阴影区域所示．

可利用二重积分的几何意义或将二重积分化为二次积分解之．

解法1

解法2化为先对y积分，后对x积分的二次积分．

作平行于y轴的直线与区域D相交，沿Y轴正向看，人口曲线为y＝x，作为积分下限；出口曲线为y＝1，作为积分上限，因此

x≤y≤1．

区域D在x轴上的投影最小值为x＝0，最大值为x＝1，因此

0≤x≤1．

可得知

解法3化为先对x积分，后对y积分的二次积分．

作平行于x轴的直线与区域D相交，沿x轴正向看，入口曲线为x＝0，作为积分下限；出口曲线为x＝y，作为积分上限，因此

0≤x≤y．

区域D在y轴上投影的最小值为y＝0，最大值为y＝1，因此

0≤y≤1．

可得知

58.22本题考查了函数的极值的知识点。f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),当x=2或x=-2时,f'(x)=0,当x＜-2时,f'(x)＞0；当-2＜x＜2时,f'(x)＜0;当x＞2时,f’(x)＞0,因此x=2是极小值点，

59.-1本题考查了洛必达法则的知识点.

60.61.由可变上限积分求导公式可知62.5．

本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

解法1

解法2

63.

64.

65.1

66.1/21/2解析：

67.

68.

本题考查的知识点为二重积分的计算．

69.70.1；本题考查的知识点为二元函数的极值．

可知点(0，0)为z的极小值点，极小值为1．71.0．

本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．

所给幂级数为不缺项情形

因此收敛半径为0．

72.1

73.0

74.2

75.00解析：

76.77.本题考查的知识点为不定积分的换元积分法。

78.y=C

79.

80.

81.

82.183.3(x-1)-(y+2)+z=0(或3x-y+z=5)本题考查的知识点为平面与直线的方程．

由题设条件可知应该利用点法式方程来确定所求平面方程．

所给直线l的方向向量s=(3，-1，1)．若所求平面π垂直于直线l，则平面π的法向量n∥s，不妨取n=s=(3，-1，1)．则由平面的点法式方程可知

3(x-1)-[y-(-2)]+(z-0)=0，

即3(x-1)-(y+2)+z=0

为所求平面方程．

或写为3x-y+z-5=0．

上述两个结果都正确，前者3(x-1)-(y+2)z=0称为平面的点法式方程，而后者3x-y+z-5=0称为平面的一般式方程．

84.

本题考查的知识点为定积分的基本公式．

85.

解析：

86.

87.

88.

本题考查的知识点为微分的四则运算．

注意若u，v可微，则

89.00解析：

90.连续但不可导连续但不可导91.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

92.

列表：

说明

93.

94.由一阶线性微分方程通解公式有

95.

96.97.由二重积分物理意义知

98.

99.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％100.函数的定义域为

注意

101.

102.由等价无穷小量的定义可知

103.

104.

105.