2022-2023学年湖北省黄冈市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022-2023学年湖北省黄冈市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(40题)1.点作曲线运动时，“匀变速运动”指的是()。

A.aτ为常量

B.an为常量

C.为常矢量

D.为常矢量

2.函数y=f(x)在(a，b)内二阶可导，且f'(x)＞0，f"(x)＜0，则曲线y=f(x)在(a，b)内()．

A.单调增加且为凹B.单调增加且为凸C.单调减少且为凹D.单调减少且为凸

3.

4.微分方程y’-4y=0的特征根为（）A.0，4B.-2，2C.-2，4D.2，4

5.设z=y2x，则等于()．A.2xy2x-11

B.2y2x

C.y2xlny

D.2y2xlny

6.

7.若函数f(x)=5x，则f'(x)=

A.5x-1

B.x5x-1

C.5xln5

D.5x

8.

9.设y=2x3，则dy=()

A.2x2dx

B.6x2dx

C.3x2dx

D.x2dx

10.A.A.1/2B.1C.2D.e

11.

12.A.A.sinx+sin2B.-sinx+sin2C.sinxD.-sinx

13.

14.（）。A.收敛且和为0

B.收敛且和为α

C.收敛且和为α-α1

D.发散

15.

16.

17.A.

B.

C.

D.

18.

19.。A.2B.1C.-1/2D.0

20.如图所示，在半径为R的铁环上套一小环M，杆AB穿过小环M并匀速绕A点转动，已知转角φ=ωt(其中ω为一常数，φ的单位为rad，t的单位为s)，开始时AB杆处于水平位置，则当小环M运动到图示位置时(以MO为坐标原点，小环Md运动方程为正方向建立自然坐标轴)，下面说法不正确的一项是()。

A.小环M的运动方程为s=2Rωt

B.小环M的速度为

C.小环M的切向加速度为0

D.小环M的法向加速度为2Rω2

21.

22.

23.已知函数f(x)的定义域是[一1，1]，则f(x一1)的定义域为()。

A.[一1，1]B.[0，2]C.[0，1]D.[1，2]24.设函数f(x)满足f'(sin2x=cos2x，且f(0)=0，则f(x)=（）A.

B.

C.

D.

25.设函数f(x)在[a，b]上连续，则曲线y=f(x)与直线x=a，x=b，y=0所围成的平面图形的面积等于（）。A.

B.

C.

D.

26.

27.

28.

29.

30.

31.设函数y=f(x)二阶可导，且f(x)<0，f(x)<0，又△y=f(x＋△x)-f(x)，dy=f(x)△x，则当△x>0时，有()A.△y>dy>0

B.△<dy<0

C.dy>Ay>0

D.dy<△y<0

32.A.a=-9，b=14B.a=1，b=-6C.a=-2，b=0D.a=12，b=-5

33.微分方程y''-2y'=x的特解应设为

A.AxB.Ax+BC.Ax2+BxD.Ax2+Bx+c34.（）。A.2πB.πC.π/2D.π/435.函数y=x3-3x的单调递减区间为()A.A.(-∞,-1]

B.[-1，1]

C.[1，＋∞)

D.(-∞，＋∞)

36.（）。A.2ex＋C

B.ex＋C

C.2e2x＋C

D.e2x＋C

37.A.A.

B.

C.

D.

38.

39.

40.设∫0xf(t)dt=xsinx，则f(x)=()A.sinx+xcosxB.sinx-xcosxC.xcosx-sinxD.-(sinx+xcosx)二、填空题(50题)41.已知∫01f(x)dx=π，则∫01dx∫01f(x)f(y)dy=________。

42.43.

44.

45.过坐标原点且与平面2x-y+z+1=0平行的平面方程为______.46.幂级数的收敛半径为________。

47.

48.

49.

50.设区域D为y=x2，x=y2围成的在第一象限内的区域，则=______．

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.设f(x)=1+cos2x，则f'(1)=__________。

60.61.f(x)=lnx，则f[f(x)]=__________。

62.

63.64.设sinx为f(x)的原函数，则f(x)=________。

65.

66.设z＝2x＋y2，则dz＝______。

67.

68.微分方程dy＋xdx=0的通解为y=__________．

69.

70.

71.

72.设y=2x2+ax+3在点x=1取得极小值，则a=_____。73.

74.

75.76.设y=f(x)在点x=0处可导，且x=0为f(x)的极值点，则f'(0)=______．

77.

78.

79.

80.函数在x=0连续，此时a=______.

81.设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，则该切线方程为．82.

83.

84.曲线y=x3-3x+2的拐点是__________。

85.

86.

87.

88.

89.

90.

三、计算题(20题)91.92.证明：93.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

94.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

95.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．96.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

97.

98.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

99.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．100.101.

102.

103.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则104.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．105.

106.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．107.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．108.求微分方程的通解．109.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

110.四、解答题(10题)111.求，其中区域D是由曲线y=1+x2与y=0，x=0，x=1所围成．

112.

113.

114.

115.求曲线y=sinx、y=cosx、直线x=0在第一象限所围图形的面积A及该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx。

116.

117.

118.求曲线y=ln(1+x2)的凹区间。

119.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

120.

五、高等数学(0题)121.已知直线x=a将抛物线x=y2与直线x=1围成平面图形分成面积相等的两部分，求a的值。

六、解答题(0题)122.

参考答案

1.A

2.B解析：本题考查的知识点为利用一阶导数符号判定函数的单调性和利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．

由于在(a，b)内f'(x)＞0，可知f(x)在(a，b)内单调增加，又由于f"(x)＜0，可知曲线y=f(x)在(a，b)内为凹，可知应选B．

3.B解析：

4.B由r2-4=0，r1=2，r2=-2，知y"-4y=0的特征根为2，-2，故选B．

5.D本题考查的知识点为偏导数的运算．

z=y2x，若求，则需将z认定为指数函数．从而有

可知应选D．

6.B

7.C本题考查了导数的基本公式的知识点。f'(x)=(5x)'=5xln5.

8.B

9.B

10.C

11.C

12.D

13.B

14.C

15.C解析：

16.D

17.D本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和定积分的换元法。因此选D。

18.C

19.A

20.D

21.A

22.B

23.B∵一1≤x一1≤1∴0≤x≤2。

24.D

25.C

26.B解析：

27.D解析：

28.A

29.A

30.D解析：

31.B

32.B

33.C本题考查了二阶常系数微分方程的特解的知识点。

因f(x)=x为一次函数,且特征方程为r2-2r=0,得特征根为r1=0,r2=2.于是特解应设为y*=(Ax+B)x=Ax2+Bx.

34.B

35.B

36.B

37.D本题考查的知识点为级数的基本性质．

38.B

39.C

40.A

41.π2因为∫01f(x)dx=π，所以∫01dx∫01(x)f(y)dy=∫01f(x)dx∫01f(y)dy=(∫01f(x)dx)2=π2。

42.43.1/6

44.45.已知平面的法线向量n1=(2，-1，1)，所求平面与已知平面平行，可设所求平面方程为2x-y+z+D=0，将x=0，y=0，z=0代入上式，可得D=0，因此所求平面方程为2x-y+z=0．46.因为级数为，所以用比值判别法有当＜1时收敛，即x2＜2。收敛区间为，故收敛半径R=。

47.1/21/2解析：

48.2/3

49.(-∞2)(-∞,2)解析：50.1/3；本题考查的知识点为二重积分的计算．

51.1/x

52.arctanx+C

53.

54.

55.2/32/3解析：

56.ex2

57.11解析：58.

本题考查的知识点为定积分计算．

可以利用变量替换，令u＝2x，则du＝2dx，当x＝0时，u＝0；当x＝1时，u＝2．因此

59.-2sin2

60.

61.则

62.

解析：

63.1本题考查了无穷积分的知识点。64.本题考查的知识点为原函数的概念。

由于sinx为f(x)的原函数，因此f(x)=(sinx)=cosx。

65.22解析：66.2dx+2ydy

67.yf''(xy)+f'(x+y)+yf''(x+y)

68.69.1/2

本题考查的知识点为计算二重积分．

其积分区域如图1—1阴影区域所示．

可利用二重积分的几何意义或将二重积分化为二次积分解之．

解法1

解法2化为先对y积分，后对x积分的二次积分．

作平行于y轴的直线与区域D相交，沿Y轴正向看，人口曲线为y＝x，作为积分下限；出口曲线为y＝1，作为积分上限，因此

x≤y≤1．

区域D在x轴上的投影最小值为x＝0，最大值为x＝1，因此

0≤x≤1．

可得知

解法3化为先对x积分，后对y积分的二次积分．

作平行于x轴的直线与区域D相交，沿x轴正向看，入口曲线为x＝0，作为积分下限；出口曲线为x＝y，作为积分上限，因此

0≤x≤y．

区域D在y轴上投影的最小值为y＝0，最大值为y＝1，因此

0≤y≤1．

可得知

70.

71.

72.

73.

74.

75.76.0本题考查的知识点为极值的必要条件．

由于y=f(x)在点x=0可导，且x=0为f(x)的极值点，由极值的必要条件可知有f'(0)=0．

77.

78.y=f(0)

79.

本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．

注意此处幂级数为缺项情形．

80.081.y＝f(1)．

本题考查的知识点有两个：－是导数的几何意义，二是求切线方程．

设切点为(x0，f(x0))，则曲线y＝f(x)过该点的切线方程为

y－f(x0)＝f(x0)(x－x0)．

由题意可知x0＝1，且在(1，f(1))处曲线y＝f(x)的切线平行于x轴，因此应有f(x0)＝0，故所求切线方程为

y—f(1)＝0．

本题中考生最常见的错误为：将曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程写为

y－f(x0)＝f(x)(x－x0)

而导致错误．本例中错误地写为

y－f(1)＝f(x)(x－1)．

本例中由于f(x)为抽象函数，－些考生不习惯于写f(1)，有些人误写切线方程为

y－1＝0．82.本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．所给级数为缺项情形，由于

83.eyey

解析：

84.(02)

85.

86.

解析：87.本题考查的知识点为定积分的基本公式。

88.2cos(x2+y2)(xdx+ydy)2cos(x2+y2)(xdx+ydy)解析：

89.1/21/2解析：

90.(-33)

91.

92.

93.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

94.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

95.

列表：

说明

96.函数的定义域为

注意

97.

98.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p