2021-2022学年湖南省衡阳市庙前中学高三数学文上学期期末试题含解析

2021-2022学年湖南省衡阳市庙前中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示，该四棱锥表面积和体积分别是（

）A．

B．

C．

D．8,8参考答案：C2.已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，如[1.9]=1，[2.01]=2．若函数f(x)=（x≥1）有且仅有三个零点，则m的取值范围是（）A．[，2]

B．[，2) C．[，) D．[，]参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由f（x）=0得=m，令g（x）=，作出g（x）的图象，利用数形结合即可得到a的取值范围．【解答】解：由f（x）=﹣m=0得：=m，当1≤x＜2，[x]=1，此时g（x）=x，此时1≤g（x）＜2，当2≤x＜3，[x]=2，此时g（x）=，此时1≤g（x）＜，当3≤x＜4，[x]=3，此时g（x）=，此时≤1g（x）＜，当4≤x＜5，[x]=4，此时g（x）=x，此时1≤g（x）＜，作出函数g（x）的图象，要使函数（x≥1）有且仅有三个零点，即函数g（x）=m有且仅有三个零点，则由图象可知≤m，故选：C．【点评】本题主要考查函数零点的应用，根据函数和方程之间的关系构造函数g（x），利用数形结合是解决本题的关键．难度较大．3.直线在轴和轴上的截距分别为和，直线的方程为，则直线到的角为A．30°

B．45°

C．135°

D．45°或135°参考答案：B4.已知实数x，y满足，若当且仅当时，取最小值（其中，），则的最大值为（

）A.4 B.3 C.2 D.－1参考答案：B【分析】画出可行域，将目标函数转化为到距离的平方，将当且仅当时取最小值，转化为满足的可行域，再通过线性规划得到的最大值.【详解】已知实数，满足画出可行域，当且仅当时，取最小值，即当且仅当到距离最近.

满足的条件为：目标函数为，画图知道当时有最大值为3

故答案选B【点睛】本题考查了线性规划问题，将目标函数转化为距离是解题的关键.5.平面向量，共线的充要条件是（

）A.，方向相同

B.，两向量中至少有一个为零向量

C.，

D.存在不全为零的实数，，参考答案：B6.在实数集R中定义一种运算“*”，对任意给定的a，b∈R，a*b为惟一确定的实数，且具有性质：①对任意a，b∈R，a*b＝b*a；②对任意a∈R，a*0＝a；③对任意a，b∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(c*b)－2c.关于函数f(x)＝(3x)*的性质，有如下说法：①函数f(x)的最小值为3；②函数f(x)为奇函数；③函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)．其中所有正确说法的个数为()A．0 B．1

C．2 D．3参考答案：B略7.已知直线与轴，轴分别交于两点，若动点在线段上，则的最大值为

（

）

A．2

B．

C．3

D．参考答案：B8.设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图象可能是()图2－1参考答案：B9.已知函数，则

A.

B.

C.

D.

参考答案：D10.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为5、2，则输出的（

）A.2

B.3

C.4

D.5参考答案：C第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；结束循环输出，选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝18，S3＝26，则{an}的公比q＝

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．参考答案：312.直线按向量平移后得到的直线与圆相切，那么m的值为

。参考答案：答案：9或-113.测量地震的里氏级别是地震强度（即地震释放的能量）的常用对数.2008

年汶川大地震的级别是里氏8级，1960年智利大地震的强度是汶川大地震的强度的8倍，则智利大地震的里氏级别是____________级.（取）参考答案：8.9略14.对于定义域为D的函数，若存在区间则称区间M为函数的“等值区间”.给出下列四个函数：①；②；③；④.则存在“等值区间”的函数的序号是__________.参考答案：②④15.曲线在点处的切线方程为

．参考答案：试题分析：，时，，所以切线方程为，即．考点：导数的几何意义．16.已知O是锐角△ABC的外接圆的圆心，且，其外接圆半径为R，若，则m=

．参考答案：考点：正弦定理；平面向量的基本定理及其意义；与圆有关的比例线段．专题：解三角形；平面向量及应用．分析：先把等式中向量用表示出来，然后两边同与向量作数量积运算，结合正弦定理化边为角即可求得m值．解答： 解：由，得=，两边同时乘向量，得+=，即+=﹣mR2，所以+=﹣，由正弦定理可得，m，所以﹣2sinCcosB﹣2sinBcosC=﹣m，即2sin（B+C）=m，也即2sinA=2sin=m，所以m=．故答案为：．点评：本题考查平面向量的基本定理、向量数量积运算、正弦定理等知识，本题解答的关键是两边同乘向量，具有一定技巧．17.已知两点，为坐标原点，若，则实数t的值为

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参考答案：6/5

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为xcm，体积为Vcm3．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V的最大值是多少？并求此时x的值．参考答案：正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大．设正三棱锥侧面的高为h，高为h．

19.（本小题满分10分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C的参数方程为（为参数），点Q的极坐标为。（I）化圆C的参数方程为极坐标方程；（II）直线过点Q且与圆C交于M，N两点，求当弦MN的长度为最小时，直线的直角坐标方程。参考答案：(Ⅰ)圆C的直角坐标方程为，…2分又

……………4分∴圆C的极坐标方程为………………5分（Ⅱ）因为点Q的极坐标为，所以点Q的直角坐标为（2，-2）……7分则点Q在圆C内，所以当直线⊥CQ时，MN的长度最小又圆心C（1，-1），∴，直线的斜率

………9分∴直线的方程为，即

……10分20.（本小题满分12分）已知函数（）的最小正周期为.（Ⅰ）求的值及函数的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数的取值范围.参考答案：21.（13分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+bx，g（x）=alnx+x（a≠0）（1）若函数f（x）存在极值点，求实数b的取值范围；（2）求函数g（x）的单调区间；（3）当b=0且a＞0时，令，P（x1，F（x1）），Q（x2，F（x2））为曲线y=F（x）上的两动点，O为坐标原点，能否使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由．参考答案：（Ⅰ）f'（x）=﹣3x2+2x+b，若f（x）存在极值点，则f'（x）=﹣3x2+2x+b=0有两个不相等实数根．所以△=4+12b＞0，解得（Ⅱ）当a＞0时，﹣a＜0，函数g（x）的单调递增区间为（0，+∞）；

当a＜0时，﹣a＞0，函数g（x）的单调递减区间为（0，﹣a），单调递增区间为（﹣a，+∞）．（Ⅲ）当b=0且a＞0时，假设使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上．则且x1+x2=0．

不妨设x1=t＞0．故P（t，F（t）），则Q（﹣t，t3+t2）．，（*）该方程有解

当0＜t＜1时，F（t）=﹣t3+t2，代入方程（*）得﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0即t4﹣t2+1=0，而此方程无实数解；

当t=1时，则；

当t＞1时，F（t）=alnt，代入方程（*）得﹣t2+alnt（t3+t2）=0即，设h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则在[1，+∞）上恒成立．∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，从而h（x）≥h（1）=0，则值域为[0，+∞）．∴当a＞0时，方程有解，即方程（*）有解