第三讲有关对称问题

第三讲有关对称问题学习目标基础落实1.掌握中心对称和轴对称的概念.2.掌握对称轴是特殊直线（如x轴、y轴、y＝x等）的对称问题的处理方法.3.会根据对称的定义处理对称轴是一般直线的对称问题.1.（1）点（a，b）关于点（2,－3）的对称点的坐标为；（2）点（a，b）关于直线x－y＝0的对称点的坐标为.（1）填（4－a，－6－b）；（2）填（b，a）.

（1）设点（a，b）关于（2,－3）的对称点为（x，y），则,,所以x＝4－a，y＝－6－b，故所求对称点的坐标为（4－a，－6－b）.

（2）设点（a，b）关于x－y＝0的对称点为（x，y），则,,，故所求点的坐标为（b，a）.y＝ax＝b解之得2.直线2x＋3y－6＝0关于点（1,－1）对称的直线方程是()A.3x-2y+2=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0选D.设对称直线上任一点为P（x，y），它关于（1,－1）的对称点为（x0,y0），则,所以x0＝2－x,y0＝－2－y,代入已知直线方程得2（2－x）＋3（－2－y）－6＝0,即2x＋3y＋8＝0.3.已知点P（3,2）与点Q（1,4）关于直线l对称，则直线l的方程为()A.x－y＋1＝0B.x－y＝0C.x＋y＋1＝0D.x＋y＝0选A.因为l是PQ的中垂线，所以

,所以PQ的中点是（2,3），所以直线l的方程是y－3＝x－2,即x－y＋1＝0.4.直线x－2y＋1＝0关于直线x=1对称的直线方程是()A.x＋2y－1＝0B.x＋2y-1＝0C.2x＋y－3＝0D.x＋2y－3＝0

选D解法1：（数形结合法）画出图形可知，对称直线经过x＝1,x－2y＋1＝0,即（1,1），且斜率与x－2y＋1＝0的斜率相反，即k＝－12,由点斜式得y－1＝－（x－1），即x＋2y－3＝0.选D.

解法2：（代入法）因为(x,y)(2-x,y)，故曲线方程为：（2－x）－2y＋1＝0,即x＋2y－3＝0,故选D.x=1对称轴是特殊直线的对称问题光线从点A（－2,4）射出，经过y轴反射，反射光线又经过x轴反射后，经过点B（－4,2），（1）求入射光线所在直线的方程；（2）求光线从A到B经过的路程S.（1）如图，A′（2,4），B′（－4,－2），

A′B′：y－4＝，即y＝x＋2,与y轴交点为（0,2），所以入射光线所在直线的方程为y＝－x＋2.（2）A到B经过的路程S＝｜A′B′｜＝.对称轴是特殊直线如x轴、y轴、直线y＝x等，其对称点可利用已知的结论直接得到.1.已知直线l1和l2夹角的平分线为y=x，如果l1的方程是ax+by+c=0（ab＞0），那么l2的方程是()A.bx+ay+c=0B.ax-by+c=0C.bx+ay-c=0D.bx-ay+c=0选A.因为l1和l2夹角的平分线为y=x,所以l1、l2关于y=x对称，因为(x,y)（y,x），则l2为ay+bx+c=0.y=x对称对称轴是一般直线的对称问题已知直线l：x+2y+1=0，l1：x-y-2=0,求直线l1关于l对称的直线l2的方程.

解法1：即A（1,－1）在直线l2上.

l1上取一点（2,0），设它关于l的对称点为B（x0,y0），x＝1,y＝－1.x＋2y＋1＝0,x－y－2＝0,由得则解得即B在直线l2上.因为,所以l2的方程为y＋1＝7（x－1），即7x－y－8＝0.解法2：设P(x，y)为l2上任意一点，它关于l的对称点为P′(x′，y′)必在l1上，且PP′的中点M∈l，PP′⊥l，

即x′＝(3x－4y－2)，

y′＝－(4x＋3y＋4)，在轴对称问题中，点关于直线的对称是最基本、最重要的对称，处理这种对称问题要紧紧抓住对称的意义，利用垂直、平分两个条件列出方程组.本题中两种解法是解这类问题的基本解法.

2.已知△ABC的一个顶点，A（－1,－4），内角∠B、∠C的角平分线所在的直线方程分别是l1：y＝－1,l2：x＋y＋1＝0,求BC边所在直线的方程.

由角平分线的性质可知：点A关于直线l1、l2的对称点在BC边所在的直线上，显然，点A（－1,－4）关于直线l1的对称点为M（－1,2），设点A关于直线l2的对称点为N（a，b），则解得a＝3,b＝0所以N（3,0）.又kMN＝,所以BC的方程为y＝（x－3），即x＋2y－3＝0.对称的实际应用问题

某地两邻镇在一直角坐标系下的坐标为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在的直线方程为l:x+2y-10=0,若在河边l上建一座供水站P，使到A、B两镇的管道最省，问应建在什么地方.如图所示，过A作直线l的对称点A′，连接A′B交l于P.则P为所求.这是因为：若在P′(异于P)，|AP′|+|P′B|=|A′P′|+|BP′|>|A′B|，因此，只能在点P处才取得最小值.设A′(a,b),则有解之，得所以A′(3,6).直线A′B的方程为：，即6x+y-24=0.a+2b=15,b=2a.a=3,b=6.点P由方程组确定.解得x=，y=，所以点P的坐标为.故供水站应建在点P上，才能使管道最省.6x+y-24=0,x+2y-10=0.凡是路程之和最近、光的行程最短等问题的求解都可考虑利用点关于直线对称进行处理.

3.求函数的最小值.因为

所以上式可看做x轴上的点P（x，0）到A（0,1），B（2,2）的距离之和，（如图）因为A（0,1）关于x轴的对称点为A′（0,－