第五章 异方差性

第五章异方差性1

本章讨论四个问题：●异方差的实质和产生的原因●异方差产生的后果●异方差的检测方法●异方差的补救2第一节异方差性的概念一、什么是异方差性在简单线性回归模型和多元线性回归模型的基本假定中，有同方差假定：如果Var(ui)对不同的解释变量的观测值彼此不同，则称随机误差项具有异方差性。3

方差度量的是被解释变量观测值围绕回归线的分散程度，所以异方差性就是指被解释变量观测值的分散程度随解释变量的变化而变化。4在复杂的实际经济现象中异方差性是大量存在的。例如储蓄函数再如服装需求函数这里Q为服装的需求量，Y为消费者的收入、P为服装价格、P1为其它商品的价格。这里Yi表示第i个家庭的储蓄额，Xi为收入。5二、产生异方差的原因

（一）模型中省略了某些重要的解释变量假设正确的模型是：假如略去了重要的解释变量X3，而采用

这时会导致X3对Y的影响反映在vi中，而这些影响具有差异性，从而产生异方差性。所以在用剔除变量法消除共线性时，又有可能引起异方差性，应注意。6（二）模型的设定误差模型的设定主要包括变量的选择和模型形式的确定。模型中略去了重要解释变量常常导致异方差，实际就是模型设定问题。除此而外，模型的函数形式不正确，如把变量间本来为非线性的关系设定为线性，也可能导致异方差。（三）数据的测量误差

样本数据的观测误差有可能随研究范围的扩大而增加，或随时间的推移逐步积累，也可能随着观测技术的提高而逐步减小。如储蓄函数，假如用的是1980年至2010年的数据，前些年工资较透明，现在灰色收入较多，测量误差有变化。7（四）截面数据中总体各单位的差异例如利用截面数据研究消费与收入的关系时，不同地区收入有差距，低收入地区家庭用于生活必需品的比例较大，消费的分散程度不大，而高收入地区家庭有更多自由支配的收入，家庭消费有更广泛的选择范围，消费的分散程度较大，而出现异方差性。通常认为，截面数据较时间序列数据更容易产生异方差。这是因为同一时点不同对象的差异，一般说来会大于同一对象不同时间的差异。不过，在时间序列数据发生较大变化的情况下，也可能出现比截面数据更严重的异方差。8第二节异方差性的后果一、对参数估计统计特性的影响如果随机误差项具有异方差性，当我们仍用OLS进行参数估计时，估计式仍具有线性性和无偏性，但已不再具有最小方差性。设回归模型为9与同方差假定无关，所以存在异方差时仍能保持线性性。因为用OLS估计10推导也仅用到零均值假定，表明无偏性也成立。P37(2.36)11为了说明最小方差性不再成立，将回归方程改写成离差形式：｝由于Var(vi)=Var(ui)，若（1）式存在异方差，则（2）式也存在异方差，为讨论方便，不妨设：（1）（2）将（2）变为：其中显然wi已具有同方差。（3）12对(1)采用OLS法估计得：（1）于是（3）对(3)采用OLS法（也即对(2)采用WLS法）估计得：P37(2.36)P38(2.40)13于是由于所以即14二、对参数显著性检验的影响在同方差假定下，作t检验，用无偏估计仍以模型为例代替s2,这里在异方差情况下，不妨设作OLS估计，参数方差为15于是代替s2时,如果当用无偏估计则16若仍用作为统计量的值，由于低估由于高估了真实方差，导致降低t统计量的值，本应拒绝的原假设可能被错误地接受，从而降低了所估计参数的显著性。则了真实方差，导致夸大t统计量的值，本应接受的原假设可能被错误地拒绝，从而夸大了所估计参数的显著性。反之，如果17

当u存在异方差时，表明方差与解释变量的变化有关，虽然参数的估计量仍然无偏，并且基于此的预测也是无偏的，但是方差会增大，参数估计量不是有效的，从而对Y的预测也将不是有效的，Y的预测值的精度会下降。

三、对预测的影响18第三节异方差性的检验常用检验方法:●图示检验法●Goldfeld-Quanadt检验●White检验●Glejser检验19一、图示检验法

（一）相关图形分析方差描述的是随机变量取值的（与其均值的）离散程度。因为被解释变量Y与随机误差项u有相同的方差，所以分析Y与X的相关图，可以初略地看到Y的离散程度与X之间是否有相关关系。如果随着X的增加，Y的离散程度为逐渐增大（或减小）的变化趋势，则认为存在递增型（或递减型）的异方差。20用1998年四川省各地市州农村居民家庭消费支出与家庭纯收入的数据，绘制出消费支出对纯收入的散点图,其中用Y1表示农村家庭消费支出，X1表示家庭纯收入。图形举例21虽然随机误差项无法观测，但样本回归的残差一定程度反映了随机误差的某些分布特征，可通过残差的图形对异方差进行观察。

（二）残差图形分析

对于一元回归模型，绘制出ei2对Xi的散点图,对于多元回归模型，绘制出ei2对Yi的散点图或ei2与认为和异方差有关的X的散点图。◆如果ei2不随Xi或Yi而变化，则表明不存在异方差；◆如果ei2随Xi或Yi而变化，则表明存在异方差。22二、Goldfeld-Quanadt检验基本思想：将样本分为两部分，然后分别对两个样本进行回归，并计算两个子样的残差平方和所构成的比，以此为统计量来判断是否存在异方差。（一）检验的前提条件1、要求检验使用的为大样本容量，一般样本容量不低于参数个数的两倍。2、除了同方差假定不成立外，其它假定均满足。23（二）检验步骤1.将观测值按某个解释变量的取值按从小到大排序。2.将排列在中间的c个（取样本容量约1/4）观察值删除掉，再将剩余的分为两个部分，每部分观察值的个数为（n-c)/2。3.提出假设

H0:两部分数据的方差相等

H1：两部分数据的方差相等244.构造F统计量

分别对两个部分的观察值作回归，得到两个部分的残差平方和，设：

Se1i2为前一部分样本回归产生的残差平方和，

Se2i2为后一部分样本回归产生的残差平方和。它们的自由度均为(n-c)/2-k，k为参数的个数。则

25给定显著性水平a，查F分布表，得临界值Fa。若F＞Fa，则拒绝H0，接受H1，认为存在异方差；若F＜Fa，则接受H0，拒绝H1，认为不存在异方差。5.判断

如果没有异方差，则Se1i2与Se2i2为比较接近，F值接近于1；如果存在递增性方差，则Se1i2应明显大于Se2i2，此时F值应比1大；对递减性方差，可考虑26●要求大样本●异方差的表现既可为递增型，也可为递减型●检验结果与选择数据删除的个数的大小有关●只能判断异方差是否存在，在多个解释变量的情况下，无法判断是哪个变量引起的异方差。（三）检验的特点27三、White检验（一）基本思想：

不需要关于异方差的任何先验信息，只需要在大样本的情况下，将OLS估计后的残差平方对常数、解释变量、解释变量的平方及其交叉乘积等构成一个辅助回归，利用辅助回归建立相应的检验统计量来判断异方差性。

28（二）检验步骤：以一个二元线性回归模型为例，设模型为：

1.用OLS估计上式，计算残差ei；2.用ei2作为异方差si2的估计，作辅助回归：

其中是的估计值；293.计算辅助回归函数的可决系数R2；4.提出假设

H0:

a2=a3=a4=a5=a6=0

H0:

a2,a3,a4,a5,a6不全为0,在无异方差的假设下，nR2近似服从自由度等于辅助回归中回归元个数的c2分布，即这里m=5，n为样本容量。305.检验

给定显著性水平a，查c2分布表的临界值ca2(5)，若nR2＞

ca2(5)，则拒绝零假设，接受备择假设，表明存在异方差；反之，则不存在异方差。(二)检验的特点要求变量的取值为大样本；不仅能够检验异方差的存在性，同时在多变量的情况下，还能判断出是哪一个变量引起的异方差。缺点是引进回归元太多，容易消耗自由度，有时可把交叉项去掉。31（一）基本思想

寻找残差与某个解释变量之间的显著成立的关系，将残差的绝对值同时去拟合解释变量的若干种函数，若其中有显著成立的关系，则认为存在异方差性。于1969年提出。

四、Glejser检验(格莱泽，戈里瑟）32（二）检验步骤：1.根据样本数据建立估计模型，计算残差ei；2.分别建立残差绝对值对每个解释变量的一系列函数形式，进行回归，如：333.用t检验，若参数b，显著地不为零，则认为存在异方差。(二)检验的特点不仅能对异方差的存在作出判断，而且还能得到异方差的随某个解释变量变化的形式。要求大样本。缺点是函数形式不易确定，检验量太大。34第四节异方差性的补救措施

主要方法:

●模型变换法

●

加权最小二乘法

●模型的对数变换35一、对模型进行变换假定经检验，存在异方差，并且已知以一元线性回归模型为例其中s2为常数，f(Xi)是Xi的已知函数。将模型作适当变换，用去除模型两边，得36记则有此时可见，随机扰动项已没有异方差了。f(Xi)可以有不同的形式,Glejser检验提供了相应的信息。37二、加权最小二乘法普通最小二乘法的目标，是使残差平方和最小，在同方差假定下，普通最小二乘法是把每个残差的平方都同等对待，赋予相同的权数1。但存在异方差时，方差越小，其样本值偏离均值程度越小，其观测值越应受到重视，其作用越大。所以对较小的ei给予较大的权数，对较大的ei给予较小的权数，从而使残差平方和更好地反映si2对它的影响。仍以一元线性回归模型为例38通常取权数得加权的残差平方和：根据最小二乘原理，使得加权的残差平方和最小。3940其中于是这样估计的参数称为加权最小二乘估计。41可以证明，对原模型变换的方法与加权最小二乘法实际是等价的。所以常常是采用加权最小二乘法来消除异方差性，而用对原模型变换的方法来说明加权最小二乘法可以消除异方差性，注意前提是方差si2的函数形式是已知的。42对数变换后的模型通常可以降低异方差性的影响：◆运用对数变换能使测定变量值的尺度缩小。◆经过对数变换后的线性模型，其残差表示相对误差，往往比绝对误差有较小的差异。

当si2未知时，可采用对数变换，变量Yi和Xi分别用lnYi和lnXi代替，即注意：1、取对数后变量的经济意义。2、解释变量之间是否呈对数线性关系。三、模型的对数变换43第五节案例分析44【例1】表1列出了1998年我国主要制造工业销售收入与销售利润的统计资料，请利用数据资料,检验异方差性。表1我国制造工业1998年销售利润与销售收入情况行业名称销售利润销售收入行业名称销售利润销售收入食品加工业187.253180.44医药制造业238.711264.1食品制造业111.421119.88化学纤维制品81.57779.46饮料制造业205.421489.89橡胶制品业77.84692.08烟草加工业183.871328.59塑料制品业144.341345纺织业316.793862.9非金属矿制品339.262866.14服装制品业157.71779.1黑色金属冶炼367.473868.28皮革羽绒制品81.71081.77有色金属冶炼144.291535.16木材加工业35.67443.74金属制品业201.421948.12家具制造业31.06226.78普通机械制造354.692351.68造纸及纸品业134.41124.94专用设备制造238.161714.73印刷业90.12499.83交通运输设备511.944011.53文教体育用品54.4504.44电子机械制造409.833286.15石油加工业194.452363.8电子通讯设备508.154499.19化学原料纸品502.614195.22仪器仪表设备72.46663.6845一、图示检验法1、相关图形分析观察销售利润Y与销售收入X的相关图：SCATXY

从图中可以看出，随着销售收入的增加，销售利润的平均水平不断提高，但离散程度也逐步扩大。这说明变量之间可能存在递增的异方差性。462、残差图形分析

首先将数据排序，然后建立回归方程。在方程窗口中点击Resids按钮可以得到模型的残差分布图。47从残差分布图和散点图可以看出，随机误差项存在明显的扩大趋势，即表明存在异方差性。

再分别作出散点图:48二、Goldfeld-Quandt检验

1、将样本按解释变量X排序：SORTX2、将排列在中间的8个观测数据去掉，再将剩余的20个观测值分成1到10共10个样本和19到28共10个样本3、利用样本1建立回归模型1（回归结果如图1）：SMPL110LSYCX其残差平方和为RSS=2579.587利用样本2建立回归模型2（回归结果如图2）：SMPL1928LSYCX其残差平方和为RSS=63769.6749图1样本1回归结果

50图2样本2回归结果

514、计算F统计量：F＝63769.67/2579.59=24.725、取a=0.05时，查F分布表得Fa(8,8)=3.44，而F=24.72>Fa(8,8)=3.44所以存在异方差性。三、White检验1、建立回归模型：LSYCX由于本例是一元回归模型，辅助回归模型中只有X和X2项，没有交叉项：2、检验异方差性：点击View\Residual\Test\WhiteHeteroskedastcity辅助回归模型的估计结果如下：52533、辅助回归的可决系数R2=0.2239444、给定显著性水平a=0.05，这里辅助回归中回归元的个数m=2，由于所以存在异方差性。实际上，由输出结果的概率（p值）可以看出，只要取显著性水平a>0.04349，就可以认为存在异方差性。实际应用中可以直接观察p值的大小，若p值较小，则认为存在异方差性。反之，则认为不存在异方差性。54四、Glejser检验

1、建立回归模型：LSYCX残差的绝对值︱ei︱：GENRE=ABS(RESID)

2、分别建立序列（E）对如下解释变量的回归模型：X，X^2，X^(1/2)，X^(－1)，X^(－1/2)回归结果如图所示

55563、由上述各回归结果可知，各回归模型中解释变量的系数估计值显著不为0且均能通过显著性检验。所以认为存在异方差性。

通过可决系数R2可以确定异方差的具体形式。本例中，图X^(1/2)中所示的回归方程中R2最大，可以据此来确定异方差的形式。异方差性的补救一、加权最小二乘法1、生成权数变量根据Glejser检验，得到是的函