3凸集+凸函数+凸规划（沐风书苑）

第3讲凸集、凸函数、凸规划

凸集(ConvexSet)

凸函数(ConvexFunction)

凸规划(ConvexProgramming)凸性(Convexity)是最优化理论必须涉及到基本概念.具有凸性的非线性规划模型是一类特殊的重要模型，它在最优化的理论证明及算法研究中具有非常重要的作用.1沐风书苑凸集---定义线性组合(linearCombination)仿射组合(AffineCombination)凸组合(ConvexCombination)凸锥组合(ConvexConeCombination)2沐风书苑凸集---定义例

二维情况下，两点x1,x2的

(a)线性组合为全平面；

(b)仿射组合为过这两点的直线；

(c)凸组合为连接这两点的线段；

(b)凸锥组合为以原点为锥顶并通过这两点的锥.3沐风书苑凸集---定义4沐风书苑凸集---定义定义1设集合若对于任意两点及实数都有：则称集合为凸集．常见的凸集：单点集{x}，空集

，整个欧氏空间Rn，超平面：半空间：5沐风书苑例：证明超球为凸集．证明：设为超球中的任意两点，则有：即点属于超球,所以超球为凸集．凸集----举例6沐风书苑(1)任意多个凸集的交集为凸集．

(2)设是凸集，是一实数，则下面的集合是凸集：凸集-----性质(3)7沐风书苑推论：设是凸集，则也是凸集，其中是实数．

(4)

S是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸组合仍然在S中.P23,定理2.9凸集-----性质8沐风书苑注：和集和并集有很大的区别，凸集的并集未必是凸集，而凸集的和集是凸集．例：表示轴上的点．表示轴上的点．则表示两个轴的所有点，它不是凸集；而凸集．凸集-----性质9沐风书苑定义设S

中任意有限个点的所有凸组合所构成的集合称为S的凸包，记为H(S),即凸集-----凸包(ConvexHull)定理2.1.4

H(S)是Rn

中所有包含S的凸集的交集.H(S)是包含S的最小凸集.10沐风书苑定义锥、凸锥凸集-----凸锥(ConvexCone)11沐风书苑定义分离(Separation)凸集-----凸集分离定理12沐风书苑性质定理2.1.5凸集-----凸集分离定理(2)是点到集合的最短距离点的充要条件为：注：闭凸集外一点与闭凸集的极小距离，即投影定理。13沐风书苑定理2.1.5直观解释我们不妨把一个闭凸集想象为一个三维的充满了气体的气球（不一定为标准球形，但必须是凸的），那么，在气球外一点，到气球各点（包括内部）的距离是不一样的，但直觉告诉我们，肯定在气球上有一点，它到该点的距离是所有距离中最小的。这是凸集的特有性质。如果不是凸集，就不会这样了，比如一个平面上对称心形的图形（它不是凸的）外一点，至少可以找到2点，使其到外面那一点的距离最小。凸集-----凸集分离定理14沐风书苑凸集分离定理定理2.1.6凸集-----凸集分离定理ylS点与闭凸集的分离定理15沐风书苑凸集分离定理应用---Farkas引理定理2.1.7凸集-----凸集分离定理应用Farkas引理在我们即将学习的最优性条件中是重要的基础.16沐风书苑Farkas引理–

几何解释

设A的第i个行向量为ai,i=1,2,…,m,则(2.1.4)式有解当且仅当凸锥{x|Ax≤0}与半空间{x|bTx>0}的交不空.即(2.1.4)式有解当且仅当存在向量x,它与各ai的夹角钝角或直角，而与b的夹角为锐角.(2.1.5)式有解当且仅当b在由a1,a2,…,am所生成的凸锥内.a2(2.1.4)有解，(2.1.5)无解a1amb凸集-----凸集分离定理应用a1a2amb(2.1.4)无解，(2.1.5)有解17沐风书苑凸集分离定理应用---Gordan定理定理2.1.8凸集-----凸集分离定理应用利用Farkas引理可推导下述的Gordan定理和择一性定理.凸集分离定理应用---择一性定理定理2.1.918沐风书苑凸函数凸函数(ConvexFunction)----定义2.4设是非空凸集，若对任意的及任意的都有：则称函数为上的凸函数．注：将上述定义中的不等式反向，可以得到凹函数的定义．19沐风书苑凸函数严格凸函数设是非空凸集，若对任意的及任意的都有：则称函数为上的凸函数．注：将上述定义中的不等式反向，可以得到严格凹函数的定义．20沐风书苑凸函数

对一元函数在几何上表示连接的线段．所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段总是位于曲线弧的上方．几何性质表示在点处的函数值．

21沐风书苑f(X)Xf(X1)f(X2)

X1X222沐风书苑f(X)Xf(X1)f(X2)

X1X2αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)23沐风书苑f(X)Xαf(x1)

+(1-α)f(x2)f(X1)f(X2)

X1X2αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)24沐风书苑f(X)Xf(X1)f(X2)

X1X2任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)αf(x1)

+(1-α)f(x2)例4.2.125沐风书苑(a)凸函数(b)凹函数该定义的一个应用——证明不等式例：证明Young不等式推广：Hölder不等式P412.37证法：在Young不等式中令26沐风书苑例：设试证明在上是严格凸函数．证明:设且都有：因此,在上是严格凸函数．凸函数27沐风书苑例：试证线性函数是上的凸函数．证明:设则故,是凸函数．类似可以证明也是凹函数.凸函数28沐风书苑凸函数定理1设是凸集上的凸函数充要条件性质詹生(Jensen)不等式不等式应用:设，证明:P412.3629沐风书苑凸函数定理2性质正线性组合30沐风书苑凸函数定理3设是凸集上的凸函数，则对任意，水平集是凸集．水平集(LevelSet)称为函数f在集合S上关于数的水平集.注：定理3的逆命题不成立.31沐风书苑下面的图形给出了凸函数的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.凸函数32沐风书苑凸函数33沐风书苑定理1:设是定义在凸集上，令则:(1)是定义在凸集是凸集上的凸函数的充要条件是对任意的一元函数为上的凸函数.(2)设若在上为严格凸函数，则在上为严格凸函数．凸函数凸函数的判别定理34沐风书苑该定理的几何意义是：凸函数上任意两点之间的部分是一段向下凸的弧．凸函数35沐风书苑定理4设在凸集上可微，则：在上为凸函数的充要条件是对任意的都有：严格凸函数(充要条件)??凸函数凸函数的判别定理---一阶条件注：定理4提供了一个判别可微函数是否为凸

函数的依据.36沐风书苑凸函数定理4-----

几何

解释一个可微函数

是凸函数当且

仅当函数图形

上任一点处的

切平面位于曲

面的下方.37沐风书苑凸函数定理4-----

几何

解释一个可微函数

是凸函数当且

仅当函数图形

上任一点处的

切平面位于曲

面的下方.38沐风书苑定理5:设在开凸集内二阶可微,则是内的凸函数的充要条件为:对任意的Hesse矩阵半正定,其中：凸函数凸函数的判别定理---二阶条件39沐风书苑定理2.3.6:设在开凸集内二阶可微,若在内正定,则在内是严格凸函数．注:反之不成立．例：f(x)是严格凸的，但在点处不是正定的凸函数凸函数的判别定理---二阶条件40沐风书苑例：凸函数凸函数的判别定理---二阶条件41沐风书苑凸规划凸规划(ConvexProgramming)设为凸集，为上的凸函数，则称规划问题为凸规划问题．例：为上的凸函数，为无约束凸规划问题．例：凸规划42沐风书苑凸规划例：43沐风书苑凸规划定理2.4(1)凸规划问题的任一局部极小点是全局极小点，且全体极小点的集合为凸集．(2)若是凸集上的严格凸函数，且凸规划问题局部极小点x*存在，则x*是唯一的全局极小点．凸规划的基本性质44沐风书苑定理凸规划的任一局部最优解都是它的整体最优解。证明：设x*是凸规划的一个局部解，则存在δ>0,使如果x*不是整体最优解，则又因为f是