直线与圆锥曲线位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系两大思想方法

------解方程组与点差法一、解方程组在解题中，将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，消去一个变量后可得到一个二次方程，控制、讨论这个方程的根，并结合韦达定理，可以解决如下问题：（1）判断直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)；（2）交点问题(公共点的个数，与交点坐标相关的等式或不等式)；

（3）计算弦长(弦长公式（1）直线与椭圆的位置关系的判断消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程:将椭圆方程与直线方程联立，(b2+a2k2)x2+2a2mkx+a2(m2-b2)=0若△<0,直线与椭圆相离

若△>0,直线与椭圆相交若△=0，直线与椭圆相切xyOAB计算弦长|AB|xyOPxyOP求切线、切点求直线到椭圆最短(长)距离(注意到二次项系数=b2+a2k2>0恒成立)（2）直线与双曲线的位置关系的判断消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程:若△<0,直线与双曲线相离

将双曲线方程与直线方程联立，(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2(m2+b2)=0若△>0,直线与双曲线相交若△=0，直线与双曲线相切计算弦长|AB|求切线、切点求直线到双曲线最短距离当b2-a2k2≠0,

PAB当b2-a2k2=0,

若m≠0时，有一个交点若m=0时，没有交点。

属于相交一种属于相离一种（3）直线与抛物线的位置关系的判断消去x(或y)，得到关于y(或x)的一元二次方程:若△<0,直线与抛物线相离

将抛物线方程与直线方程联立，若△>0,直线与抛物线相交若△=0，直线与抛物线相切计算弦长|AB|求切线、切点求直线到抛物线最短距离当k≠0,

属于相交一种ky2-2py+2mp=0当k=0时，直线与抛物线有一个交点。AB例1直线与双曲线的右支交于不同的两点A、B.（I）求实数的取值范围；（II）是否存在实数，使得以线段的圆恰好过双曲线的右焦点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

为直径解：（I）由方程组消去得设由题意，直线与双曲线的右支交于不同两点，

pAB（II）假设存在实数，使得以线段为直径的圆恰好过即整理得则，

.

将及，代入并化简可得.解得或（舍去）.满足题意.

故存在例1直线与双曲线的右支交于不同的两点A、B.（I）求实数的取值范围；（II）是否存在实数，使得以线段的圆恰好过双曲线的右焦点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

为直径（II）假设存在实数，使得以线段为直径的圆恰好过即整理得则，

.

例2设经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于不同的两点A、B,为坐标原点.（I）若，求的值；（II）当的面积最大时，求m的值.解：（I）直线的方程为，由得.

由题意，①，设则有②.

由可得，③..

，且满足.故的值为由①②③联解可得（II）结合图形可知的面积易知当时，取得最大值,此时的值为.

AQyxBO二、点差法在解题中，将圆锥曲线的两点A、B的坐标代入圆锥曲线的方程，然后将两式作差并进行变形，可得到弦AB的斜率与弦中点的坐标之间的关系式。xyOAB椭圆上有两点A、B中点为M,设M

此关系式可用与解决如下问题：（1）以定点为中点的弦的方程；（2）平行弦中点的轨迹；（3）过定点的弦的中点的轨迹；（4）对称问题。双曲线上有两点A、B中点为M,设ABM抛物线上有两点A、B中点为M,设MAB例3已知椭圆(I)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;(II)过的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程；且被点平分的弦所在直线的方程.

(III)求过点xyO解：设弦的两端点为，中点为，则有

.由，两式作差得：,.即.①

（I）设弦中点为，由①式，，故所求的轨迹方程为（在已知椭圆的内部）.

（II）不妨设交椭圆于、，弦中点为.由①式，又∵，.整理得此即所求的轨迹方程.

例3已知椭圆(I)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;(II)过的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程；且被点平分的弦所在直线的方程.

(III)求过点xyO解：设弦的两端点为，中点为，则有

.由，两式作差得：,.即.①

（III）由①式，弦所在的直线的斜率，，即.故其方程为例4如果抛物线上总有关于直线对称的相异两点，试求的范围.

解:设两相异对称点为，线段的中点为由，作差得,,即.

由直线与直线垂直,得,∴又在上,∴.故点的坐标为.

xyM应在抛物线的内部，以原点为参考点，结合图形可知：时，条件为，代入解得当；当时，条件为，代入解得.综上所述:a的范围为.例4如果抛物线上总有关于直线对称的相异两点，试求的范围.

解:设两相异对称点为，线段的中点为由，作差得,,即.

由直线与直线垂直,得,∴又在上,∴.故点的坐标为.

xy（1）“解方程组”与“点差法”都体现了“设而不求，整体代换”的解题思想与重要技巧