高数第九章(7)方向导数与梯度

第九章第七节一、方向导数

机动目录上页下页返回结束二、梯度三、物理意义方向导数与梯度回顾：二元函数偏导数的几何意义是曲线在点M0处的切线对x

轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线机动目录上页下页返回结束对y轴的一、方向导数定义:若函数在点处沿方向l

(方向角为机动目录上页下页返回结束

)存在下列极限:记作则称为函数在点

P处沿方向l

的方向导数.特别:•当l与x轴同向•当l与x轴反向定理:则函数在该点沿任意方向

l

的方向导数存在,证明:由函数且有在点P

可微,得机动目录上页下页返回结束故三元函数的方向导数:定义:若函数则称为函数在点

P处沿方向l

的方向导数.在点处沿方向l

(方向角为

)存在下列极限:机动目录上页下页返回结束记作定理:则函数在该点沿任意方向

l

的方向导数存在,证明:由函数且有在点P

可微,得机动目录上页下页返回结束故例1.求函数

在点

P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.机动目录上页下页返回结束解:

向量

l

的方向余弦为例2.

求函数在点P(2,3)沿曲线朝x

增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P

的切向量为机动目录上页下页返回结束例3.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:

方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数机动目录上页下页返回结束二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:

f的最大变化率之值方向导数取最大值：机动目录上页下页返回结束1.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P

处的梯度记作(gradient),在点处的梯度机动目录上页下页返回结束说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),机动目录上页下页返回结束称为函数f

的等值线

.则L*上点P处的法向量为同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为指向函数增大的方向.结论等高线的画法播放等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法例如,梯度与等高线的关系：类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数3.梯度的基本运算公式机动目录上页下页返回结束例4.证:试证机动目录上页下页返回结束处矢径r的模,三、物理意义函数(物理量的分布)数量场(数性函数)场向量场(矢性函数)可微函数梯度场(势)如:温度场,电位场等如:力场,速度场等(向量场)注意:

任意一个向量场不一定是梯度场.机动目录上页下页返回结束例.例5.已知位于坐标原点的点电荷q在任意点试证证:利用例4的结果这说明场强:处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.机动目录上页下页返回结束内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为机动目录上页下页返回结束2.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在••可微机动目录上页下页返回结束梯度在方向l

上的投影.思考与练习1.设函数(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向

的夹角

.2.P131题16机动目录上页下页返回结束曲线1.(1)在点解答提示:机动目录上页下页返回结束函数沿l的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量机动目录上页下页返回结束2.P131题

16P1082，3，7，9，10作业第八节目录上页下页返回结束备用题

1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z

具有轮换对称性(92考研)机动目录上页