2024年中职高考数学计算训练 专题11 平面向量的基本计算（含答案解析）

2024年中职高考数学计算训练专题11平面向量的基本计算一、单选题1．已知，，且，则的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意，设出点的坐标，结合向量的坐标表示以及平行关系，建立方程，可得答案.【详解】设，则，，由，则，解得，所以.故选：D.2．已知向量，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量减法的坐标运算可得答案.【详解】，.故选：A.3．已知向量，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量线性运算的坐标运算法则计算可得.【详解】因为，，则.故选：B4．已知点，，向量，，则与的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量运算法则以及夹角公式直接计算即可.【详解】因为点，，向量，，所以，，所以与的夹角的余弦值.故选：A5．设向量，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用平面向量模的运算，平面数量积的运算，平面向量平行、垂直的判断方法可得答案.【详解】对于A：因为，，所以，.对于B：，因为，所以.对于C：由B可知，所以C不正确.对于D：因为，所以D不正确.故选：B.6．化简（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量加法运算律即可求解.【详解】.故选：B.7．已知向量，，则（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】B【分析】根据向量数量积的坐标运算即可.【详解】由题意，，，因此.故选：B8．已知向量，，且，则（

）A．9 B．3 C．6 D．5【答案】C【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得.【详解】因为，，且，所以，解得.故选：C9．已知向量、的夹角为，，，则（

）A．4 B． C．5 D．【答案】C【分析】利用向量数量积和向量模的定义解决本题.【详解】由向量、的夹角为，，，得出.则.故选：C10．若向量，，则（

）A． B． C．40 D．46【答案】D【分析】计算出，从而利用向量数量积运算公式进行计算.【详解】因为，所以．故选：D11．已知单位向量，且，则（

）A．3 B． C． D．2【答案】B【分析】利用垂直关系的向量表示，结合数量积的运算律求解作答.【详解】单位向量满足，则，即，所以.故选：B12．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】A选项，设，得到，无解，A错误；B选项，设，得到方程组，无解，B错误；C选项，先得到，设，得到方程组，无解，C错误；D选项，计算出，得到，得到三点共线.【详解】A选项，设，即，故，无解，三点不共线，A错误；B选项，设，即，故，无解，三点不共线，B错误；C选项，，设，即，故，无解，三点不共线，C错误；D选项，，由于，故三点共线，D正确.故选：D13．已知向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据垂直时得到，解出值，再根据充分不必要条件的判定即可得到答案.【详解】若，则，则.若，则，解得或.故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.14．已知，，与的夹角为45°，要使与垂直，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，代入计算，即可得到结果.【详解】若与垂直，则，即，所以.故选：A15．已知向量，，，则实数k的值为（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根据平面向量数量积的坐标表示计算即可.【详解】由题意可得：，所以.故选：B16．中，点为上的点，且，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.【详解】如图所示，因为，由向量的线性运算法则,可得因为，所以，所以.故选：D.17．设向量、满足，且，若为在方向上的投影向量，并满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用投影向量的定义可求得的值.【详解】因为向量、满足，且，若为在方向上的投影向量，则，故.故选：C.18．如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，点是线段上的一点，且，则（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.【详解】由题意，点为的中点，点是线段上的一点，且，则，因为，且，则有.故选：D.19．在平面斜坐标系中，，平面上任一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若（其中，分别为，轴方向相同的单位向量），则的坐标为，若关于斜坐标系的坐标为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得到，平方后得到，求出.【详解】由题意得，故，故.故选：C20．已知向量，，若，则（

）A． B．1 C．2或 D．1或【答案】D【分析】根据向量平行的坐标表示，列方程求解，可得答案.【详解】由题意知，故，即或，故选：D21．两个单位向量与满足，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，，根据可得，设与的夹角为，利用即可求解.【详解】由题意可得，，且，所以.设与的夹角为，，则,所以.故选；D.22．已知空间向量且，，，则一定共线的三点是（

）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【答案】A【分析】A选项，计算出，A正确；B选项，设，得到方程组，无解；C选项，设，得到方程组，无解；D选项，计算出，设，得到方程组，无解.【详解】A选项，，所以A，B，D三点共线，A正确；B选项，设，则，即，无解，B错误；C选项，设，则，即，无解，C错误；D选项，，设，即，即，无解，D错误.故选：A23．已知向量与的夹角为，，，则向量在方向上的投影向量的模长为（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】由已知求出，根据投影向量的公式求解.【详解】向量与的夹角为，，，，则向量在方向上的投影向量的模长为.故选：D二、多选题24．下列向量组中，能作为平面内所有向量的基底的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用向量共线定理判断两向量是否共线，不共线则可以作为基底，对四个选项一一进行判断即可.【详解】能作为平面内的基底，则两向量不共线，A选项，，∴不共线，可作为基底，A正确；B选项，，∴不共线，可作为基底，B正确；C选项，，∴不共线，可作为基底，C正确；D选项，，∴共线，不能作为基底，D错误．故选：ABC三、填空题25．已知，与的夹角为，则.【答案】【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.【详解】因为，与的夹角为，所以.故答案为：26．已知向量,,若,则.【答案】【分析】根据向量的数量积坐标公式求出的值,再由模长坐标公式求解即可.【详解】∵,,,∴,即,∴,则,∴,则.故答案为:.27．已知向量与的夹角为，且，则．【答案】【分析】根据平面向量数量积定义即可得到答案.【详解】，则，.故答案为：.28．已知，，若||＝12，||＝5，且90°，则的值为．【答案】13【分析】把平方再开方，结合题中条件计算即可.【详解】90°,，又||＝12，||＝5则，故答案为：29．已知P是所在平面内一点，，，，则的最大值是.【答案】【分析】利用平面向量数量积的运算法则将转化为，从而得解.【详解】因为，，，所以，，当且仅当时，等号成立，所以的最大值是.故答案为：.30．向量，，，，若，则.【答案】6或【分析】根据设，通过验证得到共线，结合向量共线的坐标公式计算即可.【详解】因为，所以设，则，若不共线，则，则，无实根，不符合题意；则共线，因为向量，，所以，解得或.故答案为：6或四、双空题31．已知向量，满足，且，与的夹角为，则.在方向上的投影数量为.【答案】42【分析】由向量的数量积运算法则求出，根据投影数量的定义由数量积直接计算即可.【详解】，在方向上的投影数量为故答案为：4；2.五、解答题32．如图，在中，是边上的中线，为的中点．

(1)用，表示；(2)用，表示．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）根据图形，利用向量的线性运算即可.【详解】（1）因为是边上的中线，所以.（2）因为为的中点，所以.33．如图所示，M是内一点，且满足，BM的延长线与AC的交点为N.

(1)设，，请用，表示；(2)设，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用基底表示向量即可；（2）利用向量的的分解和共线向量的线性关系表示即可.【详解】（1）∵，则，解得，即.（2）过M作交AB于P，过M作交于Q，则，因为，则，又因为相似于，所以,所以，即.

34．已知，．(1)若，，且、、三点共线，求的值(2)当为何值时，有与垂直【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出、的坐标，由、、三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值；（2）依题意可得，根据数量积的坐标表示计算可得．【详解】（1），，，，，，三点共线，与共线，，解得；（2），，与垂直，，解得．35．已知向量，，.(1)求的最小值及相应t的值；(2)若，，其中O为坐标原点，点D在BC的延长线上，且，求点D坐标.【答案】(1)的最小值为，相应t的值为1(2)【分析】（1）根据向量加法运算法则和模的坐标计算公式直接求解；（2）根据向量线性运算法则以及图形关系直接求解.【详解】（1）因为向量，，所以，所以，当时，取得最小值为；（2）由题意知，，，即，，因为点D在BC的延长线上，且，所以，设，则，所以，所以，所以36．如图，在中，，E是AD的中点，设，.

(1)试用，表示；(2)若，与的夹角为，求【答案】(1),(2)【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，