2024年湖南省初中学业水平考试·数学

数学试卷第页（共页）2024年湖南省初中学业水平考试·数学一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在日常生活中，若收入300元记作＋300元，则支出180元应记作()A.

＋180元 B.

＋300元 C.

－180元 D.

－480元1.C2.据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家．将4015000用科学记数法表示应为()A.

0.4015×107 B.

4.015×106C.

40.15×105 D.

4.015×1032.B【解析】4015000＝4.015×106.3.如图，该纸杯的主视图是()3.A4.下列计算正确的是()A.3a2－2a2＝1

B.a3÷a2＝a(a≠0)C.a2·a3＝a6 D.(2a)3＝6a34.B【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误A3a2－2a2＝a2≠1×Ba3÷a2＝a(a≠0)√Ca2·a3＝a5≠a6×D(2a)3＝8a3≠6a3×5.计算2×7的结果是()A.27 B.72C.14

D.145.D【解析】2×7＝14.6.下列命题中，正确的是()A.

两点之间，线段最短

B.

菱形的对角线相等C.

正五边形的外角和为720°

D.

直角三角形是轴对称图形6.A【解析】两点之间，线段最短，A选项正确；菱形的对角线互相垂直，不一定相等，B选项错误；正五边形的外角和为360°，C选项错误；直角三角形不一定是轴对称图形，D选项错误．7.如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为()A.

60° B.

75° C.

90° D.

135°7.C【解析】∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°.8.某班的5名同学1分钟跳绳的成绩(单位：次)分别为：179，130，192，158，141.这组数据的中位数是()A.

130 B.

158 C.

160 D.

1928.B【解析】将这组数据按从小到大排序为：130，141，158，179，192，最中间的数是158，∴中位数是158.9.如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是()A.DE∥BC B.△ADE∽△ABCC.BC＝2DE D.S△ADE＝12S△9.D【解析】∵点D，E分别为边AB，AC的中点，∴DE∥BC，BC＝2DE，故A，C选项正确；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故B选项正确；∵△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC＝(DEBC)2＝(12)2＝14，10.在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当yx(其中xy≠0)的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点P(2a－4，a＋3)在第二象限，下列说法正确的是(A.

a＜－3B.

若点P为“整点”，则点P的个数为3个C.

若点P为“超整点”，则点P的个数为1个D.

若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于1010.C【解析】∵点P(2a－4，a＋3)在第二象限，∴2a－4＜0a＋3＞0，∴－3＜a＜2，故A选项错误；∵点P(2a－4，a＋3)为“整点”，

－3＜a＜2，∴整数a为－2，－1，0，1，∴“整点”P为(－8，1)，(－6，2)，(－4，3)，(－2，4)，∴点P的个数为4个，故B选项错误；∵1－8＝－18，2－6＝－13，3－4＝－34，4－2＝－2，∴“超整点”P为(－2，4)，故C选项正确；∵点P(2a－4，a＋3)为“超整点”，∴点P的坐标为(二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11.计算：－(－2024)＝

．11.202412.有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是

．12.113.分式方程2x＋1＝1的解13.x＝1【解析】方程的两边同乘以x＋1，得2＝x＋1，解得x＝1.检验：当x＝1时，x＋1＝2≠0，∴原分式方程的解为x＝1.14.若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为

°.14.100【解析】∵等腰三角形的一个底角为40°，∴其顶角的度数为180°－40°×2＝100°.15.若关于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0有两个相等的实数根，则k的值为

．15.2【解析】∵关于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0有两个相等的实数根，∴b2－4ac＝(－4)2－4×1×2k＝0，解得k＝2.16.在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即f＝kl(k为常数，k≠0)．若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为

16.180【解析】把l＝0.9，f＝200代入f＝kl，得200＝k0.9，解得k17.如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N.若MN＝2，AD＝4MD，则AM＝

17.6【解析】由作图可知BP平分∠ABC，∵AD是边BC上的高，MN⊥AB，MN＝2，∴MD＝MN＝2，∵AD＝4MD，∴AD＝8，∴AM＝AD－MD＝6.18.如图，左图为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，右图为其平面示意图，已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l.若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为

分米(结果用含根号的式子表示)．18.(6－23)【解析】如解图，延长DC交水平线l于点H，连接OC，在Rt△OBH中，∠BOH＝90°－∠BOE＝90°－60°＝30°，OB＝12，∴BH＝12×tan

30°＝43，OH＝12cos30°＝83，∵S△OBH＝S△OCH＋S△OBC，∴12OB·BH＝12OH·CF＋12OB·BC，即12×12×43＝12×83×CF＋1解图三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19.计算：|－3|＋(－12)0＋cos60°－419.解：原式＝3＋1＋12－＝5220.先化简，再求值：x2－4x2·xx＋20.解：原式＝（x＋2）（x＝x－2x＝x当x＝3时，原式＝3＋13＝21.某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查，家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：(1)本次被抽取的学生人数为

人；(2)补全条形统计图；(3)在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是

°；(4)若该校有学生1

200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数．21.解：(1)100；(解法提示)

由题可知，参加1项家务劳动的有30人，占本次被抽取的学生人数的30%，故本次被抽取的学生人数为30÷30%＝100(人)．(2)补全条形统计图如解图；解图(3)36；(解法提示)

由题可知，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是360°×10100＝(4)1

200×15＋10100＝300(答：该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数约为300人．22.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，

．请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解决下列问题：(1)求证：四边形BCDE为平行四边形；(2)若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长．22.解：(1)①，证明：∵∠B＝∠AED，∴DE∥CB，∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形；(一题多解)②，∵AE＝BE，AE＝CD，∴CD＝BE,

∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形；(2)由(1)得四边形BCDE为平行四边形，∴DE＝BC＝10，∵AD⊥AB，AD＝8，∴在Rt△ADE中，AE＝DE223.某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富．已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1

000棵，总费用不超过38

000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？23.解：(1)设脐橙树苗的单价为x元/棵，黄金贡柚树苗的单价为y元/棵，根据题意，得x＋2y＝答：脐橙树苗的单价为50元/棵，黄金贡柚树苗的单价为30元/棵；(2)设购买脐橙树苗a棵，则购买黄金贡柚树苗(1000－a)棵，根据题意，得50a＋30×(1000－a)≤38000，解得a≤400，答：最多可以购买脐橙树苗400棵．24.某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积测量工具皮尺、测角仪、计算器等活动过程模型抽象某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下：测绘过程与数据信息①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米；③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°；④用计算器计算得：sin

60.3°≈0.87，cos

60.3°≈0.50，tan

60.3°≈1.75，sin

21.8°≈0.37，cos

21.8°≈0.93，tan

21.8°≈0.40.请根据表格中提供的信息，解决下列问题(结果保留整数)：(1)求线段CE和BC的长度；(2)求底座的底面ABCD的面积．24.解：(1)∵GH⊥CE，EF＝4米，∠CFG＝60.3°，∴tan

∠CFE＝tan

60.3°＝CEEF≈1.75，∴∵∠BFG＝45°，∴BE＝EF＝4米，∴CB＝CE－BE≈3米，答：线段CE的长度约为7米，线段BC的长度约为3米；(2)如解图，过点A作AM⊥GH于点M，∴四边形AMEB为矩形，∴AM＝BE，AB＝ME，∵∠AFG＝21.8°，∴tan

∠AFG＝tan

21.8°＝AMM∵AM＝BE＝4米，∴MF≈10米，∴AB＝ME＝MF－EF≈6米，∴底座的底面ABCD的面积约为3×6＝18平方米，答：底座的底面ABCD的面积约为18平方米．解图25.已知二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2，5)，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是此二次函数的图象上的两个动点．(1)求此二次函数的表达式；(2)如图①，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ，若x2＝x1＋3，求证：S△PDQS(3)如图②，点P在第二象限，x2＝－2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1－1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值．25.(1)解：∵二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2，5)，∴5＝－4＋c，∴c＝9，∴此二次函数的表达式为y＝－x2＋9；(2)证明：当y＝0时，0＝－x2＋9，∴x1＝－3，x2＝3，∴B(3，0)，设直线AB的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，∴－2k＋b＝∴y＝－x＋3，设P(x1，－x12＋9)，则Q(x1＋3，－(x1＋3)2＋9)，D(x1，－x1＋3)∴PD＝－x12＋9－(－x1＋3)＝(x1＋2)(－x1＋3)，CD＝－x1＋3∴S△PDQS△ADC∴S△PDQS(3)解：设P(x1，－x12＋9)，则Q(－2x1，－4x12＋设直线PQ的表达式为y＝mx＋n(m≠0)，∴mx1＋n＝∴y＝x1x－2x12＋9当x＝x1－1时，y＝x1(x1－1)－2x12＋9＝－(x1＋12)2＋∴当x1＝－12时，线段MN的长度取得最大值，最大值为3726.【问题背景】已知点A是半径为r的⊙O上的定点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°)得到OE，连接AE，过点A作⊙O的切线l，在直线l上取点C，使得∠CAE为锐角．【初步感知】(1)如图①，当α＝60°时，∠CAE＝

________

°；【问题探究】(2)以线段AC为对角线作矩形ABCD，使得边AD过点E，连接CE，对角线AC，BD相交于点F.①如图②，当AC＝2r时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC＝CD＋ED总成立；②如图③，当AC＝43r，CEOE＝23时，请补全图形，并求tanα及26.(1)解：30；(解法提示)

∵∠AOE＝α＝60°，OA＝OE，∴△OEA是等边三角形，∴∠OAE＝60°，∵直线l是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.(2)①证明：∵OA＝OE,

∴∠OAE＝∠OEA，∵∠AOE＝α，∴∠OAE＋∠OEA＋α＝180°，∴∠OAE＝180°－α2＝90°－∵∠OAC＝90°，∴∠DAC＝12α∵四边形ABCD是矩形，∴FA＝DF，CF＝DF＝12AC＝r,BC＝AD∴∠FAD＝∠FDA＝12α，∴∠CFD＝12α＋12α∵OA＝OE＝r，∴OA＝FC，OE＝FD，又∵∠AOE＝∠CFD，∴△OAE≌△FCD，∴AE＝CD，∵BC＝AD，AD＝AE＋DE，∴BC＝CD＋DE；②解：补全图形如解图①，过点O作OG⊥AE于点G，过点A作AH⊥OE于点H，在Rt△AOC中，OA＝r，AC＝43r，∴由勾股定理得OC＝53∵CEOE＝23，OE＝r，∴CE＝23r，∴OC＝OE＋CE，∴点E在线段OC上