2024全国初中数学竞赛试题及答案

中国教化学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯"2024年全国初中数学竞赛试题参考答案

——

题号总分

1~56~1011121314

得分

评卷人

复查人

答题时留意：1.用圆珠笔或钢笔作答.

2.解答书写时不要超过装订线.

3.草稿纸不上交.

一'选择题(共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为A,B,

C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号

里.不填、多填或错填都得0分)

1.已知实数X,y满意44-?4=3,/+/=3,则吃4+丁4的值为().

(A)7(B)匕巫(C)7+历(D)5

22

【答】(A)

解：因为好＞。，/三0,由已知条件得

12+74+4x4x31+V132-1+71+4x3-1+713

/=8>=2=~r~

AO?

所以4+/=4+3+3-/=4-/+6=7.

XXX

(___Y+(___)-3=0?9

另解：由已知得：「k一，明显-《h/,以一弓，丁为根的一元二次方

(/)+/-3=0x”

程为〃+/-3=0,所以(—-)+y2=-1,(—-)xJ/2=-3

xx

422

故F+寸=[(-)+｝；2]2-2x(--)x=(-1)2-2x(-3)=7

xxx

2.把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地匀称的正方体骰子先

后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为如n,则二次函数丁=必+7加+〃的图象与X轴

有两个不同交点的概率是().

(B)|(D)-

(A)H©22

【答】(C)

解：基本领件总数有6X6=36,即可以得到36个二次函数.由题意知

A=m2-4n>Q,即〃，>4〃.

17

通过枚举知，满意条件的加”有17对.故尸=一.

36

3.有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点

可以确定的不同直线最少有().

(A)6条(B)8条(C)10条(D)12条

［答］(B)-----

解：如图，大圆周上有4个不同的点A,B,C,D,两两连线J\

可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E,F中，至少有一(Q

EV------/

个不是四边形A3CD的对角线AC与3。的交点，则它与A,B,c,\

。的连线中，至少有两条不同于A,B,C,。的两两连线.从而这

6个点可以确定的直线不少于8条.

(第3题)

当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线.

所以，满意条件的6个点可以确定的直线最少有8条.

4.已知是半径为1的圆。的一条弦，且AB=a<l.以AB为一边在圆。内作正△

ABC,点。为圆。上不同于点A的一点，^.DB=AB=a,。。的延长线交圆。于点E,则

AE的长为().

(A)—a(B)1(C)—(D)

22

【答】(B)

解：如图，连接OE,OA,OB.设ND=a,则------，

ZECA=120°-a=ZEAC.(第4题)

又因为NABO=gNABD=；(60。+180。—2a)=120。—a,

所以/XACE咨ZVIBO,于是AE=Q4=L

以点B为圆心，AB为半华/\

另解：如图，作直径EF,连结AF,

,C,D都在。B上，AK~~p；一纥工

作。B,因为AB=BC=BD,则点A

由/尸=NEDA=-ZCBA=1x60°=30°

22

所以AE=EFxsimZF=2xsim300=1

5.将1,2,3,4,5这五个数字排成一排，最终一个数是奇数，且使得其中随意连续

三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满意要求的排法有().

(A)2种(B)3种(C)4种(D)5种

【答】(D)

解：设&a2,%，g，%是1，2,3,4,5的一个满意要求的排列.

首先，对于q,a2,a3,%，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，

与已知条件冲突.

又假如火(1W/W3)是偶数,是奇数，则见+2是奇数，这说明一个偶数后面肯定要

接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最终一个数.

所以囚，a2,a3,a4,%只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满意条件：

2,1,3,4,5；2,3,5,4,1；2,5,1,4,3；

4,3,1,2,5；4,5,3,2,1.

二'填空题(共5小题，每小题6分，满分30分)

6.对于实数M,v,定义一种运算"*"为：u*v=uv+v.若关于x的方程x*(a*x)=-2

有两个不同的实数根，则满意条件的实数。的取值范围是.

【答】a>0,或a<-l.

由x*(a*x)=——>得■(a+l)x~+(a+l)xH—=0,

44

a+1w0,

依题思有\.

A=(a+l)--(a+l)>0,

解得，a>0,或a<-1.

7.小王沿街匀速行走，发觉每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎

面驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔

固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟.

【答】4.

解：设18路公交车的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行驶的相邻两车

的间距为s米.

每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则6x-6y=s.①

每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则3x+3y=s.②

由①，②可得s=4x,所以-=4.

X

即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟.

8.如图，在△ABC中，AB=1,AC=11,点”是3c的中点，

AD是NB4c的平分线，MF//AD,则RC的长为

【答】9.

解：如图，设点N是AC的中点，连接MN,则

又MFHAD,所以ZFMN=ZBAD=ZDAC=ZMFN,

所以FN=MN=-AB.

2（第8题答案）

因止匕FC=FN+NC=-AB+-AC=9.E

22

另解：如图，过点C作AD的平行线交BA的延长线为E,延长MF交

AE于点N.N

贝UZE=ZBAD=ZDAC=ZACE

所以AE=AC=H.又FNHCE,所以四边形CENF是等腰梯形,

即CF=EN==；x(7+11)=9

9.△ABC中，AB=1,BC=8,CA=9,过△ABC的内切圆圆心/作DE〃3C,分别与

AB,AC相交于点。，E,则DE的长为

【答】—.

3

解：如图，设△ABC的三边长为a,b,C,内切圆/的半径为

3C边上的高为均，则

=5/=g（a+b+c»，

所以

naa+b+c

〃一

因为△ADEs△ABC,所以它们对应线段成比例，因止匕”」r=丝nF,

\BC

匚门、|2％一r”厂、a、a(b+c)

以DE=--------tz=(1-----)a=(1------------)a=----------,

hahaa+b+ca+b+c

()

故DE=8X7+93

8+7+93

另解：SAABC=rp=，p（p一a）（p一b）（p一c）=712x4x3x5=1245

（这里〃=q±2±£）所以r=应5=石，丸型卫=2x12君=3百

212a8

3

由△ADES^ABC,得—=h1ZL=^-V5=2,

BCha3753

DE==-BC=—

33

10.关于x,y的方程/+丁2=208袅-丁）的全部正整数解为.

%=48,%=160,

【答】

y—32,,=32.

解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0,奇数的平方数除以4

所得的余数为1,所以x,y都是偶数.

设x=2a,y=2b,则

4+/=104（"6）,

同上可知，a,6都是偶数.设a=2c,Z?=2d,则

c2+J2=52（c-d）,

所以，c,d都是偶数.设c=2s,d=2t,则

s?+r=26（s—t）,

于是（s—13）2+«+13）2=2x13?,

其中s,/都是偶数.所以

（5-13）2=2X132-（?+13）22x132-152<112.

所以卜-13|可能为1,3,5,7,9,进而«+13）2为337,329,313,289,257,故只能

s=6,s=20,

是0+13）2=289,从而卜_13|=7.于是.

t=4；t=4,

X=48,1％=160,

因此

y=32,y—32.

另解：因为(x—104)2+(y+104)2=2x104?=21632贝有(丁+104)?W21632,

又y正整数，所以1<y<43

令a=|x-104|,。=|y+104|,则/+/=21632

因为任何完全平方数的个位数为：1,4,5,6,9

由片+廿=21632知/万的个位数只能是1和1或6和6；

当//2的个位数是1和1时，则a力的个位数字可以为1或9

但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与6+〃的十位数字为3冲突。

当的个位数是6和6时，则a/的个位数字可以为4或6。

由105W0W147,取。=106,114,116,124,126,134,136,144,146代入/+/=21632

|-104|=56x=48x=160

得,只有当。136时，a=56,即<%解得

|y+1041=136〔y=32y=32

三、解答题(共4题，每题15分，满分60分)

11.在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+Z?(左#0)的图象与x轴、y轴的正半轴分别

交于A,3两点，且使得△。45的面积值等于|QA|+|C啊+3.

(1)用人表不k；

(2)求△043面积的最小值.

h

解：(1)令x=0,得y=b,b>0；令y=0,得x=—>0,k<0.

k

1-)

所以A,3两点的坐标分别为A(——,0),3(02)，于是，△043的面积为

由题意，有心人,-'+"3，

解得左=至二以，b>2............5分

2(0+3)

01,，氏伏。+3)(6—2)2+73—2)+10

(2)由(1)知3=—/?•()=-----------=----------------------------------

2kb-2b-2

=6—2+^^+7=()2+7+2710^7+2V10,

当且仅当b一2=也时，有5=7+2屈，即当6=2+M,左=—1时，不等式中的等号成立.

b-2

所以，△^^。面积的最小值为？＞？^............15分

12.是否存在质数p,q,使得关于x的一元二次方程加2-/+p=0有有理数根?

解：设方程有有理数根，则判别式为平方数.令△=/-4p2="2,

其中〃是一个非负整数.则①一〃）（q+〃）=4p2...........5分

由于iWq-且q-〃与q+〃同奇偶，故同为偶数.因此，有如下几种可能情形:

q—n=2,q_n=4,q-n-p,q-n-2p,q-n=p2,

q+n=2p2,q+n-p2,q+n-^p,q+n=2p,q+〃=4.

消去〃，解得q="+1,q=2+-^-,q=~^9q=2p,q=2+-^-.10分

对于第1,3种情形,p=2,从而q=5；对于第2,5种情形，p=2,从而q=4（不

合题意，舍去）；对于第4种情形，q是合数（不合题意，舍去）.

又当p=2,q=5时，方程为2d—5X+2=0,它的根为网=；,x?=2,它们都是有理数.

综上所述，存在满意题设的质数...........15分

★12、已知Q山为正整数，关于%的方程％2—2依+方=0的两个实数根为再，%，

关于y的方程丁+2纱+》=0的两个实数根为3,y2,且满意=2008.

求。的最小值.

另解：由韦达定理，得西+%2=2。，%1»x2=b；%+%=-2。，

M+%=—2a=一（再+%）=（一玉）+（-9）

即

%・%=》=（一%）・（一%2）

M=一%2

解得:…或

%=一%2[%=一%1

把％,%的值分别代入=2008得％1・（一不）一为2式一%2）=2008

或再・（一%2）-％2，（一百）=2008（不成立）

2

即x2-x；=2008,（芝+西）（%—玉）=2008

因为$+%=2。>0,xr»x2=b>0所以xi>0,x2>0

于是有2a・J4a2—4b=2008即一力=502=1x502=2x251

—1a=505"=2或<a=251

因为a,b都是正整数，所以《或<9或<

a2-Z?=5022a~-b=la2-b=25^a2-b=4

一

a=1ra=502a=2a=251

分别解得：!，或《、或《，或〈

5=1—5022Z?=5022-lb=2-25fZ?=2512-4

a=502a=251

经检验只有：<<。符合题意.

方=5022-1'Z?=2512-4

所以b的最小值为："最小值=2512-4=62997

13.是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的

AABC?证明你的结论.

解：存在满意条件的三角形.

当△ABC的三边长分别为a=6,b=4,c=5时，ZA=2ZB."....................5分

如图，当NA=2NB时，延长B4至点。，使AD=AC=爪连接CD,则△AC。为等腰三角

形.因为/BAC为△ACD的一个外角，所以NH4c=2N£>.由已知,ZBAC=2ZB,所以

ZB=ZD.所以△CB。为等腰三角形.

又/。为△ACD与△CB。的一个公共角，有AACDsACBD,

ADCDba

——=——，即Hn-=----,

CDBDab+c

所以a1-b(b+c).

而62=4X(4+5),所以此三角形满意题设条件,

故存在满意条件的三角形............15分

说明：满意条件的三角形是唯一的.

若ZA=2NB,可得/=舶+°).有如下三种情形:

(i)当a>c>Z?时，设a=〃+l,c-n,b=n-l(〃为大于1的正整数)，

代入。2=60+。)，得+1),解得“=5,有a=6,b=4,c=5；

(ii)当c>a>Z?时，设c=〃+l,a-n,/?="一1("为大于1的正整数)，

代入a?=£>(£>+<?),得/=("-1>2"，解得n=2,有a=2,b=1,c=3,此时不能构成

三角形；

(iii)当a>Z?>c时，设。=〃+1,b=n,c=n-l("为大于1的正整数)，

代入Y=帅+c),得(〃+球=〃(2〃_1),即n2-3n-l=0,此方程无整数解.

所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形

存在，而且只有三边长分别为4,5,6构成的三角形满意条件.

★13、如图，Z\ABC的三边长6C=a,AC=b,AB=c,a,b,c都是整数，且

的最大公约数是2。点G和点I分别为AABC的重心和内心，且NG/C=90。，求AABC

的周长.

另解：如图，连结GA,GB,过G,I作直线交BC、AC于点E、F,作AABC的内切圆L

切BC边于点D。记AABC的半周长为P,内切圆半径为r,BC,AC边上的高线长为为

S圾BC=rp=y]p(p-a)(p-b)(p-c)

,I(p—a)(p—b)(p—c)

VP

r2

易知：CD=p—c,在RtACIE中,DE=-------

p-c

即》J正处

p

(p-a)(p-b)_ab

CE=CD+DE=(p—c)

PP

又•••CI1EF,CI^-^ZACB,所以CE=CF

rbv=q+v+v+v

H^\ABC—^AABG丁°ABEG丁2AAFG丁^AFEC

Q1、八、

得：50比=当包+」义但abhn1abK1ab

ZViDCx32—)x—+—x(b------)x—+2x—x——xr

p32p32P

17、p-b.1,.p-aab

——°AABC+Z(—xaxA)x---------b(—xbx九z)x---------1——-xrp

BCJ203p2%3pp2

整理得2P°—cp=3ab,即3aZ?=2〃2_Q9=,(2〃_C)=P(G+Z?)

设AABC的周长为加，则m=2〃=包上为整数。

a+b

⑵方

由已知(。乃)=2,设a=2s8=2容且(sj)=l,s,渚B是正整数，代入上式，得加