材料力学第五章 梁弯曲时的位移

第五章

梁弯曲时的位移◆

梁的位移——挠度及转角◆

梁的挠曲线近似微分方程及其积分◆

按叠加原理计算梁的挠度和转角◆

奇异函数·梁挠曲线的初参数方程◆

梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施◆

梁内的弯曲应变能当梁发生对称弯曲时，梁的轴线在纵向对称平面内弯成一条平面曲线。§5-1

梁的位移

—挠度和转角光滑连续曲线——线位移——角位移梁的位移挠度w转角q挠曲线w=f

(

x

)小变形情况下：f

=

tanq

≈q挠曲线方程（挠度方程）q

=

f

(x

)

转角方程图示坐标下：w向下为正，

q

顺时针转为正。高等数学：梁中性层的曲率：§5-2

梁的挠曲线近似微分方程及其积分＝1r

(x)M(x)E

Iz=±1r

(x)w（1＋

w

）23/2M

＜0，w

＞0M

＞0，w

＜0=M(x)E

Iz±w（1＋

w

）23/2取负号!挠曲线微分方程挠曲线近似微分方程小变形=M(x)E

Iz－w（1＋

w

）23/2w（1＋

w

）23/2=M(x)E

Iz－w=M(x)E

Iz－等直梁：E

I

w

＝－

M(x)E

I

为常量积分常数由边界条件、连续条件确定积分法wA

＝0wB

＝0wA

＝0qA

＝0挠曲线上某些点的已知位移（挠度和转角）条件

——

边界条件边界条件

——

支座处的约束条件挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠度和转角——

连续条件当弯矩方程需要分段建立时，在相邻梁段的交接处，应具有相同的挠度和转角。错！错！约束条件连续条件边界条件本教材中例1：悬臂梁在自由端受集中力F作用，试求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度。设梁的弯曲刚度为

EI。P160例5-1积分x

=

0

时：边界条件例2：简支梁在D点受集中力F

作用，试求梁的转角方程和挠度方程，并求最大挠度。设梁的弯曲刚度为

EI。P162例5-3FAFBxxAD段（

0≤

x

≤

a

）：DB段（

a

≤

x

≤

l

）：AD段（

0≤

x

≤a

）：DB段（

a

≤

x

≤

l

）：x

=

a

时：连续条件x

=

l

时：x

=

0

时：边界条件确定积分常数AD段（

0≤

x

≤a

）：DB段（

a

≤

x

≤

l

）：可以证明：当a

＞b

时，梁最大挠度发生在AD段。而对于受任意荷载的简支梁，若挠曲线上无拐点，则可用梁中点的挠度代替最大挠度。wC

与

wmax

非常接近，最大误差2.65％。

例3：悬臂梁如图，已知F、a，M＝0.5

Fa，梁的弯曲刚度

EI

为常数，试画出挠曲线的大致形状。ABCDaaaF

MABCDaaaF

MxyM

图－0.5Fa0.5Fa＋HM＜0，挠曲线上凸；M＞0，挠曲线下凸；H

为挠曲线的拐点；M＝0，挠曲线为直线。例4：已知一直梁的挠曲线方程为试求：①端点（

x

＝0

及

x

＝l

）的约束情况；

②画弯矩图、剪力图；③荷载情况，并画出梁的简图。反问题正问题固定铰支座活动铰支座固定端活动铰支座抛物线直线FS

图（q0l

）－＋3858M

图（q0l

2

）189128－＋q018q0l

2FS

图（q0l

）－＋3858189128－＋q0静定梁（简支梁）超静定梁静定梁？当某一参数（如内力、应力、位移等）与荷载成线性关系时，叠加原理§5-3

按叠加原理计算梁的挠度和转角

多个荷载作用下引起的参数等于各个荷载单独作用下所引起的参数的叠加。积分法挠度和转角的普遍方程梁上荷载复杂时，须分段建立弯矩方程，积分常数成倍增长，确定积分常数十分烦琐。叠加法、奇异函数法（初参数法）、能量法等P372附录Ⅳ求

wC

、qA+wC

(

q

)

、qA

(

q

)拆分wC

(F

)

、qA

(F

)

+叠加0.5

lABqwB

(q)

、qB

(q)

BC0.5

l+拆分求

wC

、qC变形位移wB(q)

qB(q)×0.5

l0.5

l0.5

lABCqqB(q)刚体位移叠加法不仅可将荷载拆开，进行上、下叠加；还可将梁拆开，进行左、右叠加。注意：①拆分时不能改变梁的受力情况；②叠加时不能改变梁的变形情况。

例：外伸梁受力如图，已知

F、q、a，试用叠加法求梁自由端

C

的挠度。设梁的弯曲刚度为

EI。2

aaABCqF2

aABqaFBCFM+拆分wC

(F

)qB×aqB

=

qB

(

q

)

+qB

(

M

)wC

(F

)2

aaABCqF刚度条件一、梁的刚度校核§5-5

梁的刚度校核

提高梁的刚度的措施普通机床主轴：屋梁和楼板梁：吊车梁：钢闸门主梁：

例：简支梁横截面由两个槽钢组成，受力如图。已知

F1=120

kN、F2=30

kN、F3=40

kN、F4=12

kN；钢[s

]=170MPa，[t

]=100MPa；E

=2.1×105MPa；梁[w

/

l]=

1

/

400。试选择槽钢的型号。P173例5-8SFAFBFSmax＝138kNMmax＝62.4kN·m①画内力图②按正应力强度条件选择槽钢型号查型钢表(P370)要校核正应力强度条件相对误差为3％＜5％，满足正应力强度条件。，选用两个

20a

号槽钢。③

校核切应力强度条件切应力强度条件满足查型钢表（20a

号槽钢）：④

校核刚度刚度条件满足选用两个20a

号槽钢

bi为Fi离支座最近的距离C二、提高梁的刚度的措施梁的位移除与梁的支承和荷载情况有关外，还与下列因素有关：材料

——

与弹性模量

E

成反比截面

——

与惯性矩

I

成反比跨长

——

与跨长

l

的

n

次幂成正比①增大梁的弯曲刚度

EI②调整跨长和改变结构FqqABqAB缩短跨长增加约束超静定结构OqMe①纯弯曲§5-6

梁内的弯曲应变能②横力弯曲