新教材同步备课2024春高中数学第8章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.2第1课时直线与平面垂直的定义及判定定理课件新人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的定义及判定定理学习任务1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系．(直观想象)2．归纳出直线与平面垂直的判定定理．(数学抽象)3．了解直线与平面所成的角．(数学抽象)必备知识·情境导学探新知01木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．问题：(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？(2)上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？知识点1直线与平面垂直的定义定义一般地，如果直线l与平面α内的________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α有关概念直线l叫做平面α的____，平面α叫做直线l的____．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做____图示

画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直任意一条垂线垂面垂足思考直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“无数条直线”？[提示]

不可以，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．知识点2直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的____________垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言m⊂α，n⊂α，_____＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α图形语言

两条相交直线m∩n知识点3直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线一条直线与一个平面____，但不与这个平面____，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA

斜足斜线和平面的____，如图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引____，过____和____的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO相交垂直交点垂线垂足斜足有关概念对应图形直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO；规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是____；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是___．取值范围设直线与平面所成的角为θ，则____________90°0°0°≤θ≤90°1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直． (

)(2)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线． (

)(3)若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线． (

)×××2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________；AB1与平面ADD1A1所成的角等于________；AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．45°

45°

0°

[∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.]45°45°0°关键能力·合作探究释疑难02类型1直线与平面垂直的判定类型2直线与平面所成的角类型1直线与平面垂直的判定【例1】如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[证明]

(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.反思领悟

证线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)．②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α.②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.[跟进训练]1．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.[证明]

设圆O所在的平面为α，∵PA⊥α，且BM⊂α，∴PA⊥BM.又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，∴AM⊥BM.由于直线PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM，而AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．故AN⊥平面PBM.2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.[证明]

如图，连接AC，则AC⊥BD，又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可证BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，∴A1C⊥平面BC1D.类型2直线与平面所成的角【例2】已知正方体ABCD-A1B1C1D1．(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；

(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．

[母题探究]在本例正方体中，若E为棱AB的中点，求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值．[解]

连接AC交BD于点O，过E作EO1∥AC交BD于点O1，易证AC⊥平面BB1D1D，∴EO1⊥平面BB1D1D，∴B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影，∴∠EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角．

发现规律

求直线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的____，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的__________中计算．垂线直角三角形[跟进训练]3．在正三棱柱ABC-A′B′C′中，AB＝1，AA′＝2，求直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值．

学习效果·课堂评估夯基础0312341．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(

)A．平行 B．垂直C．相交不垂直

D．不确定B

[一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．]√1234√2．(多选)下列说法，正确的是(

)A．若直线l垂直于α，则直线l垂直于α内任一直线B．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C．若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥bD．若a⊥b，b⊥α，则a∥αAC

[由线面垂直的定义知，A正确；当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错；C显然是正确的；而D中，a可能在α内，所以D错误．]√12343．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(

)A．60°

B．45°

C．30°

D．120°√

12344．设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是点H，给出以下说法：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则点H是△ABC的垂心；②若PA，PB，PC两两互相垂直，则点H是△ABC的垂心；③若点P到△ABC的三边距离相等，且点H在△ABC的内部，则H是△ABC的内心；④若PA＝PB＝PC，则点H是△ABC的外心．其中正确的说法是____________(填序号)．①②③④1234①②③④

[①正确，因为点P在平面ABC上的射影是H，则PH⊥平面ABC，故PH⊥BC.又PA⊥BC，PA∩PH＝P，所以BC⊥平面PAH，所以AH⊥BC，同理，BH⊥AC，所以H是△ABC的垂心；②正确，若PA，PB，PC两两互相垂直，容易推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心；③正确，易证Rt△PHD≌Rt△PHE≌Rt△PHF(D，E，F为△ABC各边的垂足)，所以HD＝HE＝HF，且点H在△ABC的内部，则H是△ABC的内心；④正确，可得Rt△PHA≌Rt△PHB≌Rt△PHC，所以HA＝HB＝HC，则H是△ABC的外心．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．直线与平面垂直的判定定理的内容是什么？证明线面垂直的主要方法有哪些？[提示]

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直；证明线面垂直的主要方法：(1)线面垂直定义；(2)