正多边形与圆、弧长与扇形的面积、圆锥的侧面积与全面积课件(上课用)

标题正多边形与圆、弧长与扇形的面积、学习目标3.会用圆锥侧面积计算公式计算有关问题。2.会运用弧长计算公式、扇形面积公式计算有关问题。1.了解正多边形的概念、正多边形与圆的关系，会判断一个正多边形是轴对称图形还是中心对称图形。会用两种方法画正多边形。学习目标1.正多边形的概念各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.2.正多边形与圆的关系⑴我们可以借助量角器将一个圆n(n≥3)等分,依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.⑵这个圆是这个正多边形的外接圆,正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心.？正多边形的性质:1.正多边形的各边相等,各角相等.

2.正n边形是轴对称图形,有n条对称轴;但不一定是中心对称图形,除非n是偶数.用量角器画正四边形、正六边形？·ABCDO90°DABCEFO·60°你能用尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？OABCEF·D

以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形.

先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………你能用尺规作出正八边形吗？据此，你还能作出哪些正多边形？·ABCDO只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆内接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……

说说作正多边形的方法有哪些?归纳：（1）用量角器等分圆周作正n边形；（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形,用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形．例1.有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,

求地基的周长和面积(精确到0.1平方米).FADE..OBCrRP解:∴亭子的周长L=6×4=24(m))(6.412242121122242422224mLrSop2BCPCOCOPCRt»..===-=====D亭子的面积根据勾股定理,可得，中，在把正多边形转化为直角三角形问题是解决正多边形问题的有效方法。典型例题？使用给定的一种或几种正多边形，它能否拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不相互重叠？结论：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成一个片面图形。典型例题例2（1）把正三角形、正方形结合，是否能铺满地面？（2）把正三角形、正方形、正六边形三者结合能铺满地面吗？请你试试看。（3）用任意四边形能否铺满地面？请你试试看。…90°+90°+60°+60°+60°=360°正方形、正三角形的组合。正六边形、正方形和正三角形的组合。任意四边形小结：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成一个片面图形。1.下列说法中正确的是()A.平行四边形是正多边形B.矩形是正四边形C.菱形是正四边形D.正方形是正四边形2.下列命题中,真命题的个数是

()①各边都相等的多边形是正多边形;②各角都相等的多边形是正多边形;③正多边形一定是中心对称图形;④边数相同的正多边形一定相似.A.1B.2C.3D.4DA及时反馈3.已知正n边形的一个外角与一个内角的比为1﹕3,则n等于()A.4B.6C.8D.124.如果一个正多边形绕它的中心旋转90°就和原来的图形重合,那么这个正多边形是()A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形CB5.正多边形一定是_______对称图形,一个正n边形共有_______条对称轴,每条对称轴都通过______;如果一个正n边形是中心对称图形,n一定是_______.6.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转_______度,才能与原来的图形位置重合.7.两个正三角形的内切圆的半径分别为12和18,则它们的周长之比为______,面积之比为____。轴n中心偶数722﹕34﹕9？一、圆的周长公式二、圆的面积公式C=2πrS=

π

r2三、弧长的计算公式四、扇形面积计算公式例3；制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)解：由弧长公式，可得弧AB的长因此所要求的展直长度

L（mm）

答：管道的展直长度为2970mm．

我们应该学会把实际问题转化为数学问题.典型例题典型例题例4:

如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m。求截面上有水部分的面积？弓形面积可转化为扇形面积减去三角形面积来求解.

CD解：如图，连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D,交与点C。∵OC=0.6DC=0.3∴OD=OC-CD=0.3在Rt△OAD中，OA=0.6利用勾股定理可得，AD=0.3在Rt△OAD中,OD=OA∴∠OAD=30°∠AOD=60°∠AOB=120°有水部分的面积S=S扇形OAB-S△OAB

答：有水部分的面积为1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S扇=_.2、已知扇形面积为，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=____．

23、已知半径为2cm的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积，S扇=______及时反馈4.(2006,武汉)如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离,它们的半径都是1,顺次连接四个圆心得到四边形ABCD,则图形中四个扇形(空白部分)的面积之和是___________.

5.（2007，山东）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为

个平方单位．6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90º，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于点D，求图中阴影部分的面积．分析：阴影部分的面积是不规则的图形，用扇形面积公式不可能直接用。这里AB是直径、又AB=AC,所以连接AD用割补法求出阴影部分的面积。解：连接AD.因为AB是直径，所以∠ADB=90º。又因为AB=AC，所以AD=BD=BC，则弓形BED面积=弓形AFD的面积。所以，S阴影=△ACD的面积=1EF如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m。求截面上有水部分的面积？（精确到0.01m2)例1解：如图，连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交与点C。∵OC=0.6DC=0.3∴OD=OC-CD=0.3在Rt△OAD中，OA=0.6利用勾股定理可得，AD=0.3在Rt△OAD中,OD=OA∴∠OAD=30°∠AOD=60°∠AOB=120°有水部分的面积S=S扇形OAB-S△OABCD练习园地变式练习：（1）思维激活：（1）弧长公式涉及三个量弧长圆心角的度数弧所在的半径，知道其中两个量，就可以求第三个量。（2）当问题涉及多个未知量时，可考虑用列方程组来求解1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S扇=.2、已知半径为2cm的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积，S扇=试一试理一理要选择合适的公式3、已知扇形面积为，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=____．

24、已知扇形面积为，这个扇形的半径R=2，则圆心角为____试一试理一理120°如图，有一把折扇和一把团扇。已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120

°，问哪一把扇子扇面的面积大？aa例题精选等边三角形的边长为ａ，求阴影部分的面积分析用割补计算阴影部分面积做一做.如图，A是半径为1的圆O外一点，且OA=2，AB是⊙O的切线，BC//OA，连结AC，则阴影部分面积等于

。例2

我国著名的引水工程的主干线输水管的直径为2.5m,设计流量为12.73m3/s.如果水管截面中水面面积如图所示,其中∠AOB=45°,那么水的流速应达到多少m/s.OAB(精确到0.01m/s).D例题精选1、如图，水平放置的一个油管的横截面半径为12cm,其中有油的部分油面高6cm,求截面上有油部分的面积(结果精确到1cm2).OABCD做一做C

变式：若求由优弧ACB和弦AB组成的阴影部分的面积，则变式2：已知弓形的半径为12cm和弦AB的长为12cm求弓形的面积。cm

2、AB、CD是半径为ｒ圆O的两条互相垂直的直径，以B为圆心作弧CED，求阴影部分的面积ABCDOEABCOABCABCO

4.已知：下图中等腰直角三角形ABC的直角边长均为2，求三个图中的阴影部分的面积。2．探索弧长及扇形的面积之间的关系，并能已知l、n、R、S中的两个量求另两个量．1．探索扇形的面积公式，并运用公式进行计算．S扇形360n＝πR2课堂回顾3.扇形的面积大小与哪些因素有关？（1）与圆心角的大小有关（2）与半径的长短有关4.扇形面积公式与弧长公式的区别：l弧＝

C圆360nS扇形＝S圆360n5.扇形面积单位与弧长单位的区别：（1）扇形面积单位有平方的（2）弧长单位没有平方的扇形面积大小（）

(A)只与半径长短有关

(B)只与圆心角大小有关

(C)与圆心角的大小、半径的长短有关C如果半径为r，圆心角为n0的扇形的面积是S，那么n等于（）(A)(B)(C)(D)360Sπr360Sπr2180Sπr180Sπr2B3.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的，则此扇形的圆心角是（）

(A)300(B)360(C)450(D)600

18C课堂小测试如图，三个同心扇形的圆心角∠AOB为120°，半径OA为6cm，C、D是的三等分点，则阴影部分的面积等于cm2思维激活：有关求阴影部分的面积，要将图形通过旋转、平移、翻折等变换，转化为可求的图形的面积。

3.如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，以a/2为半径的圆相切于点D、E、F，求图中阴影部分的面积。4.如图：AB是半圆的直径，AB=2r,

C、D是半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于

5.巧解难题：如图，扇形OAB的圆心角为90°，半径为R，分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆，P、Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P和Q大小关系是（）

A.P=QB.P>QC.P<QD.无法确定PQAh1h2r圆锥的高母线SAOBr我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB等叫做圆锥的母线连接顶点S与底面圆的圆心O的线段叫做圆锥的高思考圆锥的母线和圆锥的高有那些性质？？hlr由勾股定理得：如果用r表示圆锥底面的半径,h表示圆锥的高线长,表示圆锥的母线长,那么r,h,之间有怎样的数量关系呢？r2+h2=2ABOCR母线的长=其侧面展开图扇形的半径SAOBrSAOB

底面周长=侧面展开图扇形的弧长如图,设圆锥的母线长为l,底面半径为r,(1)此扇形的半径(R)是

,(2)此扇形的弧长(L)是

,(3)此圆锥的侧面积(S侧)是

;(4)它的全面积(S全)是

.圆锥的母线圆锥的侧面积和全面积是一个扇形.圆锥底面的周长圆锥的母线与扇形弧长积的一半底面积与侧面积的和O┓rhl圆锥的侧面展开图是什么图形?考查与圆锥有关的计算例5；小红准备自己动手用纸板制作圆锥形的生日礼帽,如图,圆锥帽底面积半径为9cm,母线长为36cm,请你帮助他们计算制作一个这样的生日礼帽需要纸板的面积为多少?|--36cm---|9cm.小结:此类问题可直接运用公式,但是扇形中的弧长与母线、半径之间的关系一定要清晰，不能混淆.典型例题例6：如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角θ=144°用这个扇形围成一个圆锥的侧面.(1)求这个圆锥的底面半径r;(2)求这个圆锥的高.ACO

Br典型例题分析:此题把公式进行灵活运用，n、R、r中知道两个就能求出另外一个。解:小结:圆锥的底面周长就是展开扇形的弧长，母线就是扇形的半径，一定要牢记。例7:已知圆柱的轴截面ACBD,底面直径AC=6,

高为12cm，今有一蚂蚁沿圆柱侧面从A点

爬到B点觅食．

问它爬过的最短距离应是多少？BDACDABC动画典型例题分析:A,B两点之间的线段最短，把圆柱展开，侧面是长方形，线段AB就是最短距离.解：DABC答：它爬过的最短距离是17.48cm变式:如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？ABC分析：点B到AC的最短路线是点到线的距离那么垂线段最短。把圆锥展开，侧面是扇形。过点B作AC的垂线，垂足为D，即BD为最短路线。解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，小结:例7与变式的运用，都是把曲面问题转化为平面问题来处理。答：它爬过的最短路线为

圆锥可以看做是一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周所成的图形OABC？例8、已知：在RtΔABC,

求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。分析：以AB为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体，因此求全面积就是求两个圆锥的侧面积。BCA典型例题例8、已知：在RtΔABC,

∠C=90°,AB=13cm,BC=5cm求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。BCAD解：过C点作，垂足为D点所以底面周长为答：这个几何体的全面积为所以S全面积ABC思考：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º。(1)分别以AC，BC为轴旋转一周所得的圆锥相同吗?(2)以AB为轴旋转一周得到怎样的几何体？(3)若AB=5，BC=4，你能求出题(2)中几何体的表面积吗？

CBA（1）以BC为轴旋转一周所得的圆锥BAC以AC为轴旋转一周所得的圆锥ABC

CBA(2)以AB为轴旋转一周得到怎样的几何体？若AB=5，BC=4，则该几何体的表面积是：BACO扇形面积大小（）

(A)只与半径长短有关

(B)只与圆心角大小有关

(C)与圆心角的大小、半径的长短有关C如果半径为r，圆心角为n0的扇形的面积是S，那么n等于（）(A)(B)(C)(D)360Sπr360Sπr2180Sπr180Sπr2B3.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的，则此扇形的圆心角是（）

(A)300(B)360(C)450(D)600

18C及时反馈ACBA′C′4.如图，把Rt△ABC的斜边放在直线ℓ上，按顺时针方向转动一次,使它转到∆A’B’C’的位置。若BC=1,∠A=30°。求点A运动到A′位置时，点A经过的路线长=_________。5.如图：AB是半圆的直径，AB=2r,C、D是半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于_________.1.了解正多边形的概念、正多边形与圆的关系，解决一些实际问题。2．会运用弧长及扇形的面积之间的关系，并能已知l、n、R、S中的两个量求另外两个量3.运用圆锥侧面积计算公式解决有关实际问题。4.渗透了转化的思想。（如将圆锥侧面通过展开转化为平面图形加以研究）课堂小结S扇形360n＝πR2课堂小结我们的认识圆锥的高母线SAOBr我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB等叫做圆锥的母线连接顶点S与底面圆的圆心O的线段叫做圆锥的高思考圆锥的母线和圆锥的高有那些性质？hlr由勾股定理得：如果用r表示圆锥底面的半径,h表示圆锥的高线长,表示圆锥的母线长,那么r,h,之间有怎样的数量关系呢？r2+h2=2填空:根据下列条件求值（其中r、h、分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）（1）

=2，r=1则h=_______(2)h=3,r=4则=_______(3)

=10,h=8则r=_______56ABOC圆锥的侧面展开图是扇形ABOC其侧面展开图扇形的半径=母线的