2024-2025学年广东省深圳市福田外国语学校九年级（上）开学数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年广东省深圳市福田外国语学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．三叶玫瑰线 B．笛卡尔心形线 C．蝴蝶曲线 D．四叶玫瑰线2．（3分）下列各等式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 B．8x＝2×4x C．x2+4x+4＝（x+2）2 D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+13．（3分）已知点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．4．（3分）小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣25．（3分）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：已知：如图，△ABC中，AB＝AC，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3．∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2，∴①______．又∵∠4＝∠5，MA＝MC，∴△MAD≌△MCB（②______）．∴MD＝MB．∴四边形ABCD是平行四边形．若以上解答过程正确，①，②应分别为（）A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA6．（3分）某单位向一所希望小学赠送了1080件文具，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为（）A． B． C． D．7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，连接CD与AB交于点F，E是边DF的中点，若DF＝8，，则AB的长为（）A． B． C． D．48．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠CBA＝60°，BC＝2，则对角线BD的长是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）9．（3分）分解因式：3a3﹣12a＝．10．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．11．（3分）如图所示，一次函数y＝kx+b与y＝﹣2x+4的交点坐标为（，3），则不等式kx+b≥﹣2x+4的解集为.12．（3分）如图，AD为△ABC中∠BAC的外角平分线，BD⊥AD于D，DE＝5，AC＝3．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，，连接AP，以A为中心，连接CQ、DQ，且∠BCQ＝∠DCQ．三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）14．（5分）解方程：．15．（7分）先化简：，再从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为x的值代入求值．16．（8分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；（2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点P'（a+4，b+2）2B2C2；（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为．17．（8分）端午节主要风俗有挂钟道像、赛龙舟、饮用雄黄酒、吃五毒饼、咸蛋、粽子等，在端午节来临之际，某单位准备购买粽子和咸蛋共30盒分发给员工回家过节．其中粽子比咸蛋每盒贵20元．（1）若用700元购买咸蛋与用900元购买粽子的数量相同，求粽子和咸蛋每盒的价格；（2）在（1）的条件下，若购买咸蛋数量不超过粽子数量的2倍18．（9分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点．某数学兴趣小组要在AC上找两个点E，F，现总结出甲、乙两种方案如下：甲方案乙方案在AO，CO上分别取点E，F，使得AE＝CF作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F请回答下列问题：（1）选择其中一种方案，并证明四边形BEDF为平行四边形；（2）在（1）的基础上，若EF＝3AE，S△AED＝5，则▱ABCD的面积为．19．（12分）如图①②，在四边形ABCD中，AD∥BC（﹣1，），B（﹣2，0），C（3，0），D（2，），∠ABC＝60°，动点N从C开始以每秒1个单位长度的速度沿线段CB向B运动，N、M同时出发，当其中一点到达终点时，设运动时间为t秒．请回答下列问题：（1）AB＝，AD＝；（2）如图①，若点M沿折线BA﹣AD﹣DC向C运动，①t为何值时，MN⊥AB，请说明理由；②t为何值时，以点M、N和四边形ABCD的任意两个顶点为顶点的四边形是平行四边形，请说明理由；（3）如图②，若点M沿射线BA运动，当线段MN被AD平分时．20．（12分）综合与实践问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在▱ABCD中，点O是边AD的中点，连接AC．保持▱ABCD不动，绕点O顺时针旋转得到△EFG，点A，D，F，G．当线段AB与线段FG相交于点M（点M不与点A，B，F，G重合）时，连接OM．老师要求各个小组结合所学的图形变换的知识展开数学探究．初步思考：（1）如图2，连接FD，请你证明这一结论；操作探究：（2）如图3，连接BG，请你证明这一结论；拓展延伸：（3）已知，CD＝2，当以点F，C，D为顶点的三角形是等腰三角形时

2024-2025学年广东省深圳市福田外国语学校九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．三叶玫瑰线 B．笛卡尔心形线 C．蝴蝶曲线 D．四叶玫瑰线【解答】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．该图形既是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．2．（3分）下列各等式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 B．8x＝2×4x C．x2+4x+4＝（x+2）2 D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1【解答】解：A、从左到右的变形是整式的乘法；B、8x不是多项式；C、把一个多项式转化成几个整式积的形式；D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式．故选：C．3．（3分）已知点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：∵点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，∴，解得：1＜m＜3，故选：D．4．（3分）小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2【解答】解：将关于x的分式方程＝﹣2两边都乘以x+1，得x＝m﹣2x﹣8，解得x＝，由于分式方程的增根是x＝﹣5，当x＝﹣1时，即﹣1＝m+6﹣2，解得m＝﹣1，由于方程有增根无解，所以m＝﹣3．故选：A．5．（3分）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：已知：如图，△ABC中，AB＝AC，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3．∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2，∴①______．又∵∠4＝∠5，MA＝MC，∴△MAD≌△MCB（②______）．∴MD＝MB．∴四边形ABCD是平行四边形．若以上解答过程正确，①，②应分别为（）A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3，∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠6+∠2，∴∠2＝∠3，∵点M是AC的中点，∴MA＝MC，在△MAD和△MCB中，，∴△MAD≌△MCB（ASA），∴MD＝MB，∴四边形ABCD是平行四边形．∴①，②分别为∠2＝∠7，故选：D．6．（3分）某单位向一所希望小学赠送了1080件文具，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为（）A． B． C． D．【解答】解：∵每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，且B型包装箱每个可以装x件文具，∴A型包装箱每个可以装（x﹣15）件文具．依题意得：＝﹣12．故选：B．7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，连接CD与AB交于点F，E是边DF的中点，若DF＝8，，则AB的长为（）A． B． C． D．4【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠B＝90°，∵E是FD中点，∴AE＝DF＝FE＝DE，∴∠D＝∠EAD，∴∠AEC＝∠D+∠EAD＝3∠D，∵∠ACD＝2∠D，∴∠ACD＝∠AEC，∴AC＝AE＝DF＝，∵BC＝，∠B＝90°，..AB＝＝＝．故选：C．8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠CBA＝60°，BC＝2，则对角线BD的长是（）A． B． C． D．【解答】解：延长BA至F，使AF＝BC，∵四边形ABCD中，∠ADC＝120°，∴∠BAD+∠C＝180°，∵∠BAD+∠DAF＝180°，∴∠DAF＝∠C，又∵AD＝CD，AF＝BC，∴△DAF≌△DCB，（SAS），∴DB＝DF，∠ADF＝∠CDB，∴△DBF为等腰三角形，∠FDB＝∠ADC，∵∠ADC＝120°，BC＝2，∴∠FDB＝120°，AF＝2，∴∠DBF＝30°，过D作DH⊥BF，垂足为H，∵AB＝2，∴BF＝AB+AF＝7，∴BH＝，在Rt△BDH中，∠DBF＝30°，∴HD＝BD，∴HD2+BH4＝BD2，∴，∴BD＝．故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）9．（3分）分解因式：3a3﹣12a＝3a（a+2）（a﹣2）．【解答】解：3a3﹣12a＝7a（a2﹣4），＝7a（a+2）（a﹣2）．故答案为：3a（a+2）（a﹣2）．10．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x＞﹣3．【解答】解：要使代数式在实数范围内有意义2x+6＞5，解得：x＞﹣3．故答案为：x＞﹣3．11．（3分）如图所示，一次函数y＝kx+b与y＝﹣2x+4的交点坐标为（，3），则不等式kx+b≥﹣2x+4的解集为x≥.【解答】解：由图象得：不等式kx+b≥﹣2x+4的解集为：x≥，故答案为：x≥．12．（3分）如图，AD为△ABC中∠BAC的外角平分线，BD⊥AD于D，DE＝5，AC＝37．【解答】解：延长BD、CA交于点H，在△ADH和△ADB中，，∴△ADH≌△ADB（ASA），∴BD＝DH，AB＝AH，∵BD＝DH，BE＝EC，∴CH＝2DE＝10，∴AH＝CH﹣AC＝7，∴AB＝AH＝8，故答案为：7．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，，连接AP，以A为中心，连接CQ、DQ，且∠BCQ＝∠DCQ4﹣4．【解答】解：如图，连结AC，连结OQ．在矩形ABCD中，OA＝OC＝OB＝OD，∵AB＝4．BC＝4，∴AC2＝AB2+BC3＝64．∴AC＝8（﹣8不合题意舍去）．∴AO＝OB＝AB＝7，∴△AOB是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AQ，∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，∵∠BAC＝∠PAQ，∴∠BAP＝∠CAQ，∵又AB＝AO，AP＝AQ，∴△ABP≌△AOQ（SAS）．∴∠ABP＝∠AOQ＝90°，∵O为AC的中点，∴OQ垂直平分AC，∴AQ＝CQ．∵∠BCQ＝∠DCQ，而∠BCQ+∠DCQ＝90°，∴∠QCB＝45°，而PQ＝CQ，∴∠PQC＝90°，设PB＝x，则CP＝4，在Rt△ABP中，AP＝＝，而CP＝PQ＝×＝4，∴x＝6﹣4（负值舍去），∴CP＝6﹣8，∴CQ＝CP＝4．故答案为：4﹣4．三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）14．（5分）解方程：．【解答】解：，方程两边都乘x﹣2，得x+6（x﹣2）＝﹣（x﹣4），解得：x＝7，检验：当x＝2时，x﹣2＝7，所以x＝2是增根，即原方程无解．15．（7分）先化简：，再从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为x的值代入求值．【解答】解：＝（+）•＝•＝，∵x≠3，2，∴x＝﹣1或2，当x＝0时，分式＝16．（8分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；（2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点P'（a+4，b+2）2B2C2；（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为（2，1）．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C3即为所求；（2）如图所示，△A2B2C4即为所求．（3）对称中心的坐标为（2，1）．故答案为（4，1）．17．（8分）端午节主要风俗有挂钟道像、赛龙舟、饮用雄黄酒、吃五毒饼、咸蛋、粽子等，在端午节来临之际，某单位准备购买粽子和咸蛋共30盒分发给员工回家过节．其中粽子比咸蛋每盒贵20元．（1）若用700元购买咸蛋与用900元购买粽子的数量相同，求粽子和咸蛋每盒的价格；（2）在（1）的条件下，若购买咸蛋数量不超过粽子数量的2倍【解答】解：（1）设粽子每盒的价格为x元，则咸蛋每盒的价格为（x﹣20）元，由题意得：＝，解得：x＝90，经检验，x＝90是原方程的解，∴x﹣20＝90﹣20＝70，答：粽子每盒的价格为90元，咸蛋每盒的价格为70元；（2）设购买咸蛋为m盒，则购买粽子为（30﹣m）盒，由题意得：m≤2（30﹣m），解得：m≤20，设总费用为w元，则w＝70m+90（30﹣m）＝﹣20m+2700，∵﹣20＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝20时，w最小，此时，30﹣m＝30﹣20＝10，答：购买咸蛋20盒，粽子10盒时．18．（9分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点．某数学兴趣小组要在AC上找两个点E，F，现总结出甲、乙两种方案如下：甲方案乙方案在AO，CO上分别取点E，F，使得AE＝CF作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F请回答下列问题：（1）选择其中一种方案，并证明四边形BEDF为平行四边形；（2）在（1）的基础上，若EF＝3AE，S△AED＝5，则▱ABCD的面积为50．【解答】解：（1）甲方案，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，∵∠BEF＝180°﹣∠AEB，∠DFE＝180°﹣∠CFD，∴∠BEF＝∠DFE，∴BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形．乙方案，证明：∵BE⊥AC于点E，∴BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）由（1）得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵EF＝3AE，∴AC＝5AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABC＝S△ADC＝7S△AED＝5×5＝25，∴S▱ABCD＝3×25＝50，故答案为：50．19．（12分）如图①②，在四边形ABCD中，AD∥BC（﹣1，），B（﹣2，0），C（3，0），D（2，），∠ABC＝60°，动点N从C开始以每秒1个单位长度的速度沿线段CB向B运动，N、M同时出发，当其中一点到达终点时，设运动时间为t秒．请回答下列问题：（1）AB＝2，AD＝3；（2）如图①，若点M沿折线BA﹣AD﹣DC向C运动，①t为何值时，MN⊥AB，请说明理由；②t为何值时，以点M、N和四边形ABCD的任意两个顶点为顶点的四边形是平行四边形，请说明理由；（3）如图②，若点M沿射线BA运动，当线段MN被AD平分时（0，2）．【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，∵A（﹣1，），B（﹣2，∴BE＝﹣1﹣（﹣2）＝6，AE＝，∴AB＝＝8，∵A（﹣1，），D（3，），∴AD＝2﹣（﹣5）＝3，故答案为：2，5；（2）①由题意知N点运动过程中的坐标为（3﹣t，0），∵MN⊥AB，∴△BMN是直角三角形，∵∠ABC＝60°，∴∠BNM＝30°，∴BM＝3t，BN＝，∴＝＝，即4t＝8﹣t或4t＝t﹣5，解得t＝3或t＝﹣（舍去），∴t＝7时，MN⊥AB；②由题意，分两种情况，MN∥AB时，由题得当1≤t＜时，M点在AD上运动，若想M，N与四边形ABCD的任意两个顶点构成平行四边形，即MD∥NC且MD＝NC，∵MD＝AD﹣AM＝3﹣（2t﹣8）＝5﹣2t，NC＝t，∴3﹣2t＝t，∴t＝；当MN∥AB时，根据题意，BH＝AB•sin30°＝1，∴BC＝1+5+3＝5，∴AM＝5t﹣2，NB＝5﹣t，∴3t﹣2＝5﹣t，∴t＝；当AM＝NC时，2t﹣6＝t，∴t＝2；故t的值为或或5；（3）设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入A，B两点，则，得，∴y＝x+2，∴M（x，x+2，0），∵MN被AD平分，∴MN的中点P（，），∵P在线段AD上，∴P点纵坐标为，∴＝，∴x＝0，∴y＝x+2，∴M点坐标为（0，2），故答案为：（0，2）．20．（12分）综合与实践问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在▱ABCD中，点O是边AD的中点，连接AC．保持▱ABCD不动，绕点O顺时针旋转得到△EFG，点A，D，F，G．当线段AB与线段FG相交于点M（点M不与点A，B，F，G重合）时，连接OM．老师要求各个小组结合所学的图形变换的知识展开数学探究．初步思考：（1）如图2，连接FD，请你证明这一结论；操作探究：（2）如图3，连接BG，请你证明这一结论；拓展延伸：（3）已知，CD＝2，当以点F，C，D为顶点的三角形是等腰三角形时【解答】（1）证明：如图1，连接CF，∵将△ADC绕点O顺时针旋转得到△EFG，∴∠ADC＝∠EFG，OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，∵∠ADC＝90°，∴∠EFG＝90°，∵点O是边AD的中点，∴OA＝OD，∴OA＝OF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠ADC＝90°，∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°，∴∠BAD＝∠EFG＝90°，∵在Rt△OAM和Rt△OFM中，∴Rt△OAM≌Rt△OFM（HL），∴∠AOM＝∠FOM，∵∠AOF是△OFD的一个外角，∴∠AOF＝∠AOM+∠FOM＝∠ODF+∠OFD，即2∠AOM＝7∠ODF