向量的概念及其几何运算(第一课时)

第五章平面向量向量的概念及其几何运算第讲1（第一课时）考点搜索●向量的基本概念●向量的加法与减法●实数与向量的积●一个向量与非零向量共线的充要条件●向量与几何高考猜想高考中对本章内容的考查主要是向量的有关概念、运算法则、线线平行条件及基本定理，以选择题和填空题形式出现的可能性较大.一、向量的有关概念1.既有_______又有_________的量叫做向量.向量可以用有向线段来表示.2.向量的大小，也就是向量的_______(或称模)，记作_______.3.长度为______的向量叫做零向量，记作0.规定零向量的方向是_________.长度为1的向量叫做单位向量.大小方向长度0任意的

4.方向______________的向量叫做平行向量，也叫做_____________.规定：零向量与___________平行.5.长度_______且方向______的向量叫做相等向量.

二、向量的初等运算

1.向量的加法法则有____________法则和________法则.2.向量的加法满足_______律和______律.相同或相反共线向量任一向量相等相同平行四边形三角形交换结合3.与a长度__________,方向______的向量，叫做a的相反向量.4.实数λ与向量a的乘积λa是一个________，它的长度是|a|的______倍，它的方向为：当λ＞0时，与a的方向_________；当λ＜0时，与a的方向__________；当λ=0时，λa=__________.相等相反向量|λ|相同相反05.设a、b是任意向量，λ、μ是实数，则实数与向量的积满足以下运算律：(1)结合律，即λ(μa)=__________;(2)第一分配律，即(λ+μ)a=_____________;第二分配律，即λ(a+b)=______________.(λμ)aλa+μaλa+λb

三、两个重要定理

1.共线向量定理：向量b与______向量a共线的充要条件__________________.

___________。

2.平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个_______向量，那么对这一平面内的任一向量a_________一对实数λ1、λ2,使___________________，其中e1、e2是_______________.一组基底a=λ1e1+λ2e2有且只有不共线有且只有一个实数λ,使得b=λa非零

1.(教材第一册(下)习题5.1的第2题改编)如图，d，e，f分别是△abc的边ab，bc，ca的中点，则()a.b.c.d.a解法1：因为所以得故选a.

解法2：2.已知o是△abc所在平面内一点，d为bc边的中点，且那么()

解：因为o是△abc所在平面内一点，

d为bc边的中点，所以由得即a3.在平行四边形abcd中，ac与bd交于点o，e是线段od的中点，ae的延长线与cd交于点f.若则af=()

解:如图,易知解得b因为e是线段od的中点，ae的延长线与cd交于点f，所以所以故选b.1.判断下列命题的真假，并说明理由.①若|a|=|b|，则a=b或a=-b;②若则a，b，c，d是一个平行四边形的四个顶点；③若a=b，b=c，则a=c;题型1向量有关概念的辨析④若a∥b，b∥c，则a∥c;⑤设a,b为非零向量,|a+b|=|a|-|b||a|≥|b|且a与b方向相反.解：①两向量相等必须大小相同而且方向相同，因此，模相等是向量相等的必要不充分条件，故此命题不正确.②由可得且，由于可能是a，b，c，d在同一条直线上，故此命题不正确.③正确.④不正确.当b=0时，a∥c不一定成立.⑤正确.点评：相等向量、平行向量、零向量是向量中的几个基本概念，两向量相等的充要条件是：方向相同且长度相等；平行向量对应的直线(或线段)在同一直线上，或在两平行直线上；零向量是方向任意，长度为零的向量，与其他非零向量都平行.

2.如图，设e、f、g、h分别是四边形abcd四条边的中点，求证：证明：因为①②①+②得因为g、h分别是ad、bc的中点，

题型2向量的加法、减法及数乘的应用所以所以同理，故点评：利用向量证几何中的平行或相等问题，注意向量加法的合并原则“首尾相接，首尾连”，而减法运算可转化为加上此向量的相反向量，从而统一成加法运算.另外也可结合图形，利用加法的平行四边形法则或三角形法则进行加减运算.求证：点o是△abc的重心的充要条件是证明：(1)充分性：因为所以即是与方向相反且长度相等的向量.如图所示，以ob、oc

为相邻的两边作平行四边形

bocd，则所以在平行四边形bocd中，设bc与od相交于点e，则所以ae是△abc的边bc的中线，且所以点o是△abc的重心.(2)必要性：因为o点是△abc的重心，连结ao并延长交bc于e，则e为bc的中点.延长oe到d，使则四边形bocd为平行四边形，所以所以1.向量的加法与减法是互逆运算.2.当一个向量的终点为另一个向量的始点时，可用向量加法的三角形法则；而当它们的始点相同时，可用向量加法的平行四边形法则；3