南台科技大学科管所

指導老師：黃振勝班級：碩研科管一甲學號：M96Q0102報告學生：林稚皓討論專告題報圖片版權屬於南台科技大學各系所、處室拍攝者。

蔡志偉、唐麗英，2008，品質學報，第十五卷，第四期，頁259-268。圖片版權屬於南台科技大學各系所、處室拍攝者。

應用資料包絡分析法與自組性演算法

最佳化來自實驗設計之多反應變數報告大綱前言一資料包絡分析法二自組性演算法三應用DEA與GMDH最佳化流程四實證分析五個案研究六結論七一、前言實驗設計(DOE)一直是用來分析系統、改善製程、研發新產品與求得最佳配方的一項有效工具，其應用領域非常廣泛，在學術界與實務界都扮演著極重要的角色。一、前言DOE主要是利用變異數分析找出顯著之因子後，再利用反應曲面法(RSM)來找出最佳配方。RSM是根據實驗之反應資料來建立反應曲面模型，然後繪製等高線圖來判斷最佳配方所在之區域。一、前言當反應變數不只一個時，就以重疊等高線圖的方式來進行分析，如果反應變數的數目越多，就會建構出越多的反應曲面模型，此時以重疊等高線圖的方式就越不容易用來求解最佳配方。一、前言

Tongetal.(2005)以田口方法的信號雜音比為基礎，利用主成份分析與理想解類似度偏好順序評估法的技巧，分別分析具有多反應的靜態及動態田口實驗。

LuandAntony(2002)將田口方法的品質損失函數結合模糊推論以最佳化具有多反應的田口實驗。一、前言上述所提文獻在最佳化多反應時，皆是針對各反應分別建模後再進行整合以得出最佳配方，而本研究以相對效率的概念能同時考慮所有的反應，對多個反應同時進行資料分析，利用能夠有效分析多投入多產出的資料包絡分析法為基礎，建構一套最佳化之流程，找出具有多反應的DOE實驗之最佳配方。一、前言本研究先以DEA分析由DOE所得之實驗數據，將具有多個反應之實驗數據轉換成一個相對效率指標，根據此效率指標再利用自組性演算法(GMDH)適配出一個效率估計模型，接著僅需利用此一個效率估計模型即可找出最佳配方。一、前言最後，引用文獻上的四個案例進行最佳化方法之比較，此外，亦將本研究方法應用到新竹某積體電路公司的一個蝕刻製程實驗，以說明本研究方法之可行性。二、資料包絡分析法

Charnesetal.(1978)所提出之DEA模型，又稱CCR模型，是利用虛擬乘數將多投入與多產出加權整合成單一投入與單一產出，然後以此作為效率衡量的指標，在固定規模報酬的前提下，可求得使每個DMU自身有最大效率的投入與產出權重。二、資料包絡分析法假設共有L個DMU要進行分析，則某個DMU投入導向之相對效率可由下式式(1)求得：二、資料包絡分析法

(1)二、資料包絡分析法由於式(1)為一個分數規劃模型，且在固定規模報酬的假設下，會有無限多解之情形，故通常將式(1)轉換成式(2)之線性規劃模型以方便求解。二、資料包絡分析法

(2)三、自組性演算法GMDH演算法是根據系統的投入與產出，以迴歸方程式所估計的產出來建構一個由投入變數所組成的自組織模型。三、自組性演算法假設現有的資料為一個產出變數(y)，N個投入變數(x1、x2…xn)，GMDH演算法的第一步驟是將投入變數兩兩一組構成一個多項式，即有N(N−1)/2個多項式，利用以下之二次迴歸多項式模型得出y之估計值式(3)。三、自組性演算法其中A、B、C、D、E與F為模型的參數，s與t為由投入變數(x1、x2…xn)所組成的任一對投入變數，則為適配之y的估計值。(3)三、自組性演算法

接下來第二步驟是篩選進入下一個世代的變數，選取之準則是依據均方絕對誤差或相對誤差等指標，透過這些指標可衡量y

之估計值與實際值的差異程度。三、自組性演算法

最後根據此世代與上一世代的指標值來確認模型是否應繼續改善，若此世代之模型結果優於上一世代，則重複進行上述流程，直到模型無法再改善為止，此時可得到以下之多項式式(4)：三、自組性演算法

(4)四、應用DEA與GMDH流程本研究針對篩選實驗之後決定最佳配方的階段，提出一套可分析具有多反應之實驗的最佳化流程。四、應用DEA與GMDH流程步驟一：規劃實驗及進行實驗首先選定可控因子(X1、X2…Xn)與反應變數，然後選擇適當之DOE實驗配置來規劃實驗，再根據此實驗配置進行實驗，紀錄實驗之反應值與各反應之特性要求

(屬於望大、望目或望小性質)。令第i個實驗點所紀錄的第j個反應變數值為，i=1,…,m，j=1,…,n。四、應用DEA與GMDH流程步驟二：以DEA分析實驗數據本研究在使用DEA模型時，為了能夠在相同的投入項下評比所有產出項之績效表現，對於實驗所紀錄之反應值，利用下式進行轉換，轉換後之資料以表示，i=1,…,m，j=1,…,n：如以下式（５）四、應用DEA與GMDH流程(5)四、應用DEA與GMDH流程本研究令ε(非阿基米德常數，代表一個極小之正數)代表每個DMU之投入項，因此在每個DMU均具有相同之投入項來評比彼此之產出項的表現時，即可符合固定規模報酬的條件，因此本研究採用CCR模型作為DEA的分析模型，如式(6)

所示。四、應用DEA與GMDH流程(6)四、應用DEA與GMDH流程四、應用DEA與GMDH流程步驟三：以GMDH演算法適配效率估計模型以DOE中各實驗點的因子水準當作自變數，以步驟二所求得各實驗點之當作因變數，利用GMDH演算法適配出此系統的效率估計模型=f(x)。四、應用DEA與GMDH流程步驟四：以目標規劃法求解最佳配方由於

值越大表示品質表現越佳，因此根據步驟三之效率估計模型，利用下式求得使效率值最大之配方作為最佳配方：(7)五、實證分析本節以四個文獻上具有多反應之DOE實驗案例進行本研究方法與其它最佳化方法之比較。案例一使用QLP最小化之技巧，案例二結合RSM與WSSOF演算法提出一套混合型數值方法，五、實證分析案例三是RSM與多重等高線圖之分析方法，案例四則是以非對稱損失函數所建立的數學規劃模型來進行多反應之最佳化。因為時間的關係，我只對案例一做詳細的解釋，案例二、三、四皆只呈現原著作者實驗與作者提出的方法兩者比較的表。五、實證分析案例一(Amesetal.,1997)

為一個熱成像產品設計之實驗，本實驗是以CCD來規劃實驗，並在中心點進行五次重複實驗，可控因子為TAI(ThermallyActivatedInitiator)(x1)與CFM(ColorFormingMaterials)(x2)。五、實證分析實驗的反應為觀測雷射照射所形成顏色的光密度，根據雷射照射量的不同會有三種不同的觀測值，分別以ODX4(y1)、ODX3(y2)與ODX2.5(y3)表之，皆屬望大性質。五、實證分析依照實驗資料適配出反應曲面模型如式(8)至式(10)。(8)(9)(10)五、實證分析根據Amesetal.(1997)的實驗資料，以本研究之方法進行分析，首先將實驗所得之數據以式(5)進行資料處理後，利用式(6)之DEA進行效率分析，得出每筆實驗點之效率值k=1,…13，再利用GMDH演算法適配出效率估計模型：(11)五、實證分析

表1：本研究方法與案例一所得配方之比較資料來源：作者整理五、實證分析案例二(IstadiandAmin,2005)此實驗的目標是使二氧化碳氧化偶合甲烷製程中的催化劑化合物能有較高的催化表現。五、實證分析本案例共有四個可控因子：二氧化碳與甲烷之比值(x1)、反應器溫度(x2)、氧化鈣的濃度(x3)與一氧化錳的濃度(x4)。反應變數有三個：甲烷轉換率(y1)、選擇性(y2)與良率(y3)，皆為望大性質。五、實證分析

表2：本研究方法與案例二所得配方之比較資料來源：作者整理五、實證分析案例三(TheppayaandPrasertsan,2004)此實驗是應用RSM與多重等高線圖來進行橡木烘乾實驗的最佳化。五、實證分析本實驗的可控因子為：烘乾溫度(x1)、相對溼度(x2)、空氣速率(x3)與橡木的初始水分含量(x4)。觀測的反應變數為橡木可達成的最終水分含量(y1)、烘乾時間(y2)與能量消耗(y3)，皆屬望小性質，而橡木可達成的最終水分含量(y1)必須要小於16%。五、實證分析

表3：本研究方法與案例三所得配方之比較資料來源：作者整理五、實證分析案例四(DerringerandSuich,1980)

案例四的實驗資料最早為DerringerandSuich(1980)所提出，之後JayaramandIbrahim(1997)與WuandChyu(2004)亦曾引用此一案例來進行最佳化方法的討論與比較。五、實證分析此案例有四個反應變數，在此以y1、

y2、y3與y4表示。y1為望大性質，規格下限為120；y2為望大性質，規格下限為1000；y3為望目性質，目標值500，容忍界限為±100；y4為望目性質，目標值67.5，容忍界限為±7.5。實驗的可控因子以x1、x2與x3表之。五、實證分析

(0.331，0.891，-1.291)(0.160，0.594，-1.326)(0.115，0.710，-1.633)(0.167，1.060，-1.536)表4：本研究方法與案例四所得配方之比較資料來源：作者整理五、實證分析

表4：本研究方法與案例一所得配方之比較(續)資料來源：作者整理六、個案研究本案例為本研究方法實際應用至新竹科學園區某積體電路公司的一個蝕刻製程實驗，用來說明本研究方法之操作流程，並說明本研究方法在實務上的有效性及可行性。六、個案研究此積體電路公司的生產線因為面臨產品組合的改變，必須調整某機台的配方以減少蝕刻製程當中的光阻被蝕刻量，以達到增加光阻剩餘量之目標。六、個案研究經過工程經驗的判斷，面對新的產品組合，光阻剩餘量(PRRemains)必須至少大於3000Å，才能滿足後續製程之要求，若是不改變現行配方而進行蝕刻，光阻剩餘量將剩下不到1000Å，所以目前必須找出製程之新配方以配合生產線上產品組合的改變。六、個案研究在進行篩選實驗之後，得知有兩個可控因子(x1和x2)是影響蝕刻製程的主要因素，故建構出兩因子三水準加上五個中心點設計之FCCD，反應變數為氧化層被蝕刻之損失量(y1)與PRRemains(y2)，其中y1為一個望目性質之反應，目標值為1200Å，y2為一個望大性質之反應。六、個案研究根據實驗資料，先以式(5)進行資料處理後，再繼續以式(6)進行每一筆實驗之效率分析。表5：蝕刻製程之實驗結果資料來源：作者整理六、個案研究表6：實驗配置與DEA之效率分析結果資料來源：作者整理六、個案研究然後根據上表之資料以GMDH演算法適配出可控因子(x1和x2)和值之關係式如下：(12)六、個案研究最後，將式(12)之效率估計模型代入式(13)即可求得最佳配方。(13)六、個案研究最佳配方為(x1=200,x2=50)，以此最佳配方進行試驗，在蝕刻之後所量得的y1與y2結果整理於下表。表7