线性代数：4解结构和子空间

§4.5

线性方程组的解的结构1回顾：线性方程组的解的判定包含n个未知数的齐次线性方程组Ax=0

有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)<

n．包含n个未知数的非齐次线性方程组Ax=b

有解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)=R(A,b)，并且当R(A)=R(A,b)=n时，方程组有唯一解；当R(A)=R(A,b)<

n时，方程组有无限多个解．2引言问题：什么是线性方程组的解的结构？答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限 多个解时，解与解之间的相互关系．备注：当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构．下面的讨论都是假设线性方程组有解．3解向量的定义定义：设有齐次线性方程组Ax=0，如果x1=x11，

x2=x21，...，xn=xn1为该方程组的解，则称为方程组的解向量．4齐次线性方程组的解的性质性质1：若x=x1，

x=x2

是齐次线性方程组Ax=0

的解， 则x=x1+x2

还是Ax=0

的解．证明：A(x1+x2)=

Ax1+Ax2

=0+0=0．性质2：若x=x是齐次线性方程组Ax=0

的解，k为实数， 则x=kx

还是Ax=0的解．证明：

A(kx)=

k(Ax)

=k0=0．结论：若x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

是齐次线性方程组Ax=0

的解，则x=k1x1+k2x2+…+ktxt

还是Ax=0

的解.5结论：若x=x1,

x=x2,...,

x=xt

是齐次线性方程组Ax=0

的解，则x=k1x1+k2x2+…+ktxt

还是Ax=0

的解.已知齐次方程组Ax=0的几个解向量，可以通过这些解向量的线性组合给出更多的解．能否通过有限个解向量的线性组合把Ax=0的解全部表示出来？把Ax=0的全体解组成的集合记作S，若求得S

的一个极大无关组S0：x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

，那么Ax=0的通解可表示为x=k1x1+k2x2+…+ktxt

．齐次线性方程组的解集的极大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系（不唯一）．6基础解系的概念定义：齐次线性方程组Ax=0的一组解向量：x1,x2,...,xr如果满足①

x1，x2，...，xr线性无关；②方程组中任意一个解都可以表示x1,x2,...,xr的线性组合，那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．7定理：设m×n

矩阵的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩

RS=n

−r．后n-r

列前r

列设

R(A)=r，为叙述方便，不妨设A行最简形矩阵为对应的齐次线性方程组令xr+1,…,xn

作自由变量，则8令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，则齐次线性方程组的通解记作x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r．（满足基础解系②）

9n

−

r

列前

r

行后

n

−

r

行故R(x1,

x2,…,xn-r)=n

−

r

，即x1,

x2,…,xn-r线性无关．（满足基础解系①）于是x1,

x2,…,xn-r就是齐次线性方程组Ax=0的基础解系．10令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，则齐次线性方程组的通解记作x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r

11下面我们直接给出基础解系此即为Ax=0

的基础解系．通解为

x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r，则令12基础解系的求解例：求齐次线性方程组的基础解系．方法1：先求出通解，再从通解求得基础解系．即13令x3=c1，x4=c2，得通解表达式因为方程组的任意一个解都可以表示为x1,x2

的线性组合．x1,x2的四个分量不成比例，所以x1,x2线性无关．所以x1,x2是原方程组的基础解系．14方法2：先求出基础解系，再写出通解．即令合起来便得到基础解系，得15定理：设m×n

矩阵的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩

RS=n

−r．例：设Am×nBn×l=O（零矩阵），证明R(A)+R(B)≤

n．例：证明R(ATA)=R(A)．例：设n

元齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解，证明R(A)=R(B)．16非齐次线性方程组的解的性质性质3：若x=h1，

x=h2

是非齐次线性方程组Ax=b

的解，则x=h1−h2

是对应的齐次线性方程组Ax=0

（导出组）的解．证明：A(h1−h2)=

Ah1−Ah2

=b

−b=0．性质4：若x=h是非齐次线性方程组Ax=b

的解，x=x是导出组Ax=0

的解，则x=x+h

还是Ax=b

的解．证明：

A(x+h

)=

Ax+Ah

=0+b=b

．17根据性质3和性质4可知若x=h*

是Ax=b

的解，x=x

是Ax=0

的解，那么

x=x+h*

也是Ax=b

的解．设Ax=0

的通解为x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r

．于是Ax=b

的通解为h=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r+h*18例：求线性方程组的通解．解：容易看出是方程组的一个特解

．其对应的齐次线性方程组为根据前面的结论，导出组的基础解系为19于是，原方程组的通解为20子空间(向量空间)的概念定义：如果n维向量空间Rn

的非空子集合V

中的向量对加法及数乘两种运算是封闭的，则称V

是Rn

的子空间．例：

n

维向量的全体Rn集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}集合V2={(1,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}解：V1是Rn

的子空间，V2不是Rn

的子空间．21向量空间的基的概念定义：设有向量空间

V

，如果在V

中能选出r个向量a1,a2,…,

ar，满足①a1,a2,…,ar线性无关；②V

中任意一个向量都能由a1,a2,…,ar线性表示；那么称向量组a1,a2,…,ar

是向量空间V

的一个基．r

称为向量空间V

的维数，并称V

为r

维向量空间

．

向量空间向量空间的基向量空间的维数向量组向量组的最大无关组向量组的秩22

n

维向量的全体RnEn

的列向量组是Rn的一个基，故Rn

的维数等于n

.集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}En

的后n－1个列向量是V1的一个基，故

V1的维数等于n－1

．

n

元齐次线性方程组的解集S1={x|Ax=0}齐次线性方程组的基础解系是S1的一个基，故

S1的维数等于n－R(A)．23由a1

,a2

,...,am所生成的向量空间L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}若a1

,a2

,...,am线性无关，则

a1

,a2

,...,am是向量空间L

的一个基．若a1

,a2

,...,am线性相关，则

向量组A：a1

,a2

,...,am等价于 向量组A的最大无关组A0：a1

,a2

,...,ar从而L=L1={l1a1+l2a2+…+lr

ar|l1,l2,...,lr∈R}故向量组A0就是L的一个基，A0中向量的个数就是L的维数.24定义：如果在向量空间V中取定一个基a1

,a2

,...,ar

，那么V中任意一个向量可唯一表示为x=l1a1+l2a2+…+lrar数组l1,l2,...,lr称为向量x在基a1

,a2

,...,ar中的坐标．例：的列向量组是R3

的一个基，那么b

在基e1,e2,e3