2021-2022学年广西壮族自治区桂林市草坪民族中学高二数学理期末试卷含解析

2021-2022学年广西壮族自治区桂林市草坪民族中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.给出下列四个命题：①若，则；②已知，则是且的必要不充分条件③若，则；④若，则的最小值为8；真命题的个数为（

）A.

1个

B.2个

C.3个

D.4个参考答案：B2.是等比数列，且，则（

）A．8

B．-8

C．8或-8

D．10参考答案：A3.若焦点在y轴上的双曲线的焦距为4，则m等于（

）（A）0 （B）4 （C）10 （D）－6参考答案：B4.若直线与曲线有两个交点，则k的取值范围是（

）A．[1,+∞)

B．[-1,-)

C．(,1]

D．(-∞,-1]参考答案：B略5.给出以下命题：⑴若，则f(x)>0；⑵;⑶f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则；其中正确命题的个数为…（

））A.1

B.2

C.3

D.0

参考答案：B略6.若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A、

B、

C、

D、参考答案：A略7.任取，直线y=k（x+2）与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】几何概型．【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线y=k（x+2）的距离d，由r及d，根据垂径定理及勾股定理表示出弦AB的长，令AB的长大于等于2，列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，根据已知k的范围，利用几何概型即可求出|AB|≥2的概率．【解答】解：由圆x2+y2=4，得到圆心为（0，0），半径等于2，圆心到直线y=k（x+2）的距离d=，由弦长公式得：|AB|=2≥2，解得：﹣≤k≤，又﹣≤k≤，则|AB|≥2的概率为．故选：C．8.如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,那么k的取值范围是

(A)k=8

(B)0＜k≤12

(C)k≥12

(D)0＜k≤12或k=8

参考答案：D9.，则

（

）

A．

B．

C．9

D.11参考答案：C略10.在直角坐标系中，“方程表示椭圆”是“”的（

）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充要条件

D.既不充分条件又不必要条件

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知二次函数的导函数为，，f(x)与x轴恰有一个交点，则的最小值为_______.参考答案：212.已知,

(为两两互相垂直的单位向量)，那么=

.参考答案：–65略13.曲线在点处切线的倾斜角为

参考答案：略14.抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为

参考答案：略15.已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则的值为

*__.参考答案：1略16.△ABC中a=6,b=6A=30°则边C=

。参考答案：6或1217.若向量，，则等于

．参考答案：5三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）和动直线,（1）当动直线与椭圆相交时，求m取值范围；（2）当动直线与椭圆相交时，证明动直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上。参考答案：19.（本题满分11分）张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．（Ⅰ）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；（Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则．

………………3分所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为．（Ⅱ）依题意，的可能取值为0，1，2．

………………4分，

，．

………………7分随机变量的分布列为：012P．

………………8分（Ⅲ）设选择L1路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，，所以．

………………10分因为，所以选择L2路线上班最好．

………………11分略20.

参考答案：(1)证明：由条件当-1≤x≤1时，|f(x)|≤1，取x=0得：|c|=|f(0)|≤1，即|c|≤1.

……………4分(2)证法一：依题设|f(0)|≤1而f(0)=c，所以|c|≤1.当a＞0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是增函数，于是g(－1)≤g(x)≤g(1)，(－1≤x≤1).∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，|c|≤1，∴g(1)=a+b=f(1)－c≤|f(1)|+|c|=2，g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≥－(|f(－1)|+|c|)≥－2，因此得|g(x)|≤2

(－1≤x≤1)；当a＜0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是减函数，于是g(－1)≥g(x)≥g(1)，(－1≤x≤1)，∵|f(x)|≤1

(－1≤x≤1)，|c|≤1∴|g(x)|=|f(1)－c|≤|f(1)|+|c|≤2.综合以上结果，当－1≤x≤1时，都有|g(x)|≤2.(证法二)：∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)∴|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，|f(0)|≤1，∵f(x)=ax2+bx+c，∴|a－b+c|≤1，|a+b+c|≤1，|c|≤1，因此，根据绝对值不等式性质得：|a－b|=|(a－b+c)－c|≤|a－b+c|+|c|≤2，|a+b|=|(a+b+c)－c|≤|a+b+c|+|c|≤2，∵g(x)=ax+b，∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2，函数g(x)=ax+b的图象是一条直线，因此|g(x)|在［－1，1］上的最大值只能在区间的端点x=－1或x=1处取得，于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2，(－1＜x＜1.…………8分(3)解：因为a＞0，g(x)在［－1，1］上是增函数，当x=1时取得最大值2，即g(1)=a+b=f(1)－f(0)=2.

∵－1≤f(0)=f(1)－2≤1－2=－1，∴c=f(0)=－1.因为当－1≤x≤1时，f(x)≥－1，即f(x)≥f(0)，根据二次函数的性质，直线x=0为f(x)的图象的对称轴，由此得－＜0，即b=0.由①得a=2，所以f(x)=2x2－1.

……………12分21.（12分）已知命题：函数且在区间上单调递增；命题：函数对恒成立；若为真命题，为假命题，求实数的取值范围。

参考答案：略22.四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，侧面PAD为正三角形．（1）AD⊥PB；（2）若E为PB边的中点，过三点A、D、E的平面交PC于点F，证明：F为PC的中点．参考答案：考点：棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）取AD的中点M，连PM，BM，只要证明AD⊥平面PBM即可；（2）充分利用底面是菱形以及E为PB边的中点，利用线面平行的判定和性质，只要得到EF∥BC即可．解答：证明：（1）取AD的中点M，连PM，BM，则∵侧面PAD为正三角形，∴PM⊥AD，又底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，∴三角形ABD是等边三角形，∴AD⊥BM，∴AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB（7分）；（2）∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC，又AD?平面PB