高中数学高考44第七章 不等式、推理与证明 7 6 直接证明与间接证明

§7.6直接证明与间接证明第七章不等式、推理与证明NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.直接证明知识梳理ZHISHISHULI(1)综合法①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的

，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论).③思维过程：由因导果.推理论证(2)分析法①定义：一般地，从

出发，逐步寻求使它成立的

，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.(其中Q表示要证明的结论).③思维过程：执果索因.要证明的结论充分条件2.间接证明反证法：一般地，假设原命题

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出

，因此说明假设错误，从而证明___________的证明方法.不成立矛盾原命题成立1.直接证明中的综合法是演绎推理吗？提示是.用综合法证明时常省略大前提.【概念方法微思考】2.综合法与分析法的推理过程有何区别？提示综合法是执因索果，分析法是执果索因，推理方式是互逆的.3.反证法是“要证原命题成立，只需证其逆否命题成立”的推理方法吗？提示不是.反证法是命题中“p与綈p”关系的应用.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.(

)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.(

)(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”.(

)(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.(

)(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.(

)×××基础自测JICHUZICE123456√×√题组二教材改编A.P>Q

B.P＝QC.P<Q

D.由a的取值确定√123456∴P2>Q2，又∵P>0，Q>0，∴P>Q.123456A.1 B.2 C.4 D.6√1234564.若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是A.ac2<bc2

B.a2>ab>b2123456题组三易错自纠解析a2－ab＝a(a－b)，∵a<b<0，∴a－b<0，∴a2－ab>0，∴a2>ab. ①又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，

②由①②得a2>ab>b2.√123456解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A.5.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根√6.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为____________.123456等边三角形解析由题意得2B＝A＋C，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∴△ABC为等边三角形.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一综合法的应用例1

已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：师生共研证明∵a>0，∴3a＋1>1，(1)从已知出发，逐步推理直到得出所证结论的方法为综合法；(2)计算题的计算过程也是根据已知的式子进行逐步推导的过程，也是使用的综合法.思维升华跟踪训练1

设Tn是数列{an}的前n项之积，并满足：Tn＝1－an.又∵T1＝1－a1＝a1，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn题型二分析法的应用例2

已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.师生共研只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立.于是原等式成立.(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法.思维升华所以要证的不等式成立.题型三反证法的应用师生共研(1)a＋b≥2；由基本不等式及ab＝1，(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立.证明假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1矛盾.故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立.反证法的一般步骤：(1)分清命题的条件与结论；(2)作出与命题的结论相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用演绎推理的方法，推出矛盾的结果；(4)断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不成立，原结论成立，从而间接地证明原命题为真.思维升华(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；解设等差数列{an}的公差为d.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N*，所以p＝r，与p≠r矛盾，所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.3课时作业PARTTHREE1.在△ABC中，sinAsinC<cosAcosC，则△ABC一定是A.锐角三角形

B.直角三角形C.钝角三角形

D.不确定√12345678910111213141516解析由sinAsinC<cosAcosC得cosAcosC－sinAsinC>0，即cos(A＋C)>0，所以A＋C是锐角，基础保分练A.x2>1 B.x2>4C.x2>0 D.x2>112345678910111213141516因为x>0，所以x2>0成立，故原不等式成立.√3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值A.恒为负值

B.恒等于零C.恒为正值

D.无法确定正负√12345678910111213141516解析由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0.解析假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，12345678910111213141516A.至少有一个不大于2 B.都小于2C.至少有一个不小于2 D.都大于2√∴a，b，c都小于2错误.∴a，b，c三个数至少有一个不小于2.b，c三个数5.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是A.②③

B.①②③

C.③

D.③④⑤√12345678910111213141516但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，下面用反证法证明：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.123456789101112131415166.用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设______________.12345678910111213141516x≠－1且x≠1解析“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”.12345678910111213141516a≥0，b≥0且a≠b12345678910111213141516cn＋1<cn则cn随n的增大而减小，∴cn＋1<cn.123456789101112131415169解析因为a>0，b>0，所以2a＋b>0.即其最小值为9，所以m≤9，即m的最大值等于9.1234567891011121314151610.在不等边三角形ABC中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足_________.a2>b2＋c2得b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.1234567891011121314151612345678910111213141516证明∵a，b，c∈(0，＋∞)，由于a，b，c是不全相等的正数，∴上述三个不等式中等号不能同时成立，12.若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a<b)，则称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数.12345678910111213141516其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知，解得b＝1或b＝3.因为b>1，所以b＝3.1234567891011121314151612345678910111213141516解得a＝b，这与已知矛盾.故不存在.A.A≤B≤C

B.A≤C≤BC.B≤C≤A

D.C≤B≤A12345678910111213141516技能提升练√1234567891011121314151614.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_____.123456789101112131415161和3解析由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，又甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”.1234567891011121314151615.已知函数f(x)＝2e2x－2ax＋a－2e－1，其中a∈R，e为自然对数的底数.若函数f(x)在区间(0,1)内有两个零点，则a的取值范围是A.(2e－1，2e2－2e－1) B.(2，2e－1)C.(2e2－2e－1，2e2) D.(2，2e2)√拓展冲刺练12345678910111213141516解析f(x)＝2e2x－2ax＋a－2e－1，则f′(x)＝4e2x－2a，x∈(0，1)，∵4<4e2x<4e2，∴①若a≥2e2时，f′(x)<0，函数f(x)在(0，1)内单调递减，故在(0，1)内至多有一个零点，故舍去；②若a≤2时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，1)内单调递增，故在(0，1)内至多有一个零点，故舍去；12345678910111213141516则h′(x)＝－lnx＋1＋ln2，当x∈(2，2e)时，h′(x)>0，h(x)为增函数；当x∈(2e，2e2)时，h′(x)<0，h(x)为减函数，所以h(x)max＝h(2e)＝－1<0，即f(x)min<0恒成立，所以函数f(x)在区间(0，1)内有两个零点，1234567891011121314151616.对于给定的正整数k，若数列{an}满足an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”.(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；证明因为{an}是等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，从而，当n≥4时，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1,2,3，所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an