信息光学之光学成像系统的频率特性

第五章光学成像系统的频率特性

§5-1透镜的成像性质∴由（5-8）式运用卷积定理直接写出像平面的光场复振幅分布：再按卷积定义式写出:(5-11)这是我们的主要结果#为几何光学的理想像，其特征：（1）与原物完全相似（2）倒立，反演（3）比例缩放，倍数M（4）幅度缩为1/M定义:(5-15)再定义:为光瞳函数的F.T.(5-10)第五章光学成像系统的频率特性

§5-1透镜的成像性质:结论(5-11)2．h

是成像系统的脉冲响应,代表物平面(0,0)处点光源在像面上的分布。若P(x,h)=1,即透镜孔径为无穷大，则此时是理想几何像,倒立,缩放。为光瞳函数的F.T.(衍射斑)若透镜的光瞳为有限尺寸，则#1．像平面上的光场分布,是几何光学像与光瞳函数F.T.的卷积,

使像平滑，变模糊。第五章光学成像系统的频率特性

§5-1透镜的成像性质:结论即轴上物点发出发散球面波照明孔径，在会聚点得到的夫琅和费衍射图样。如果为圆孔即为Airy斑。(5-11)3．在物平面和像平面之间，光学系统的变换是一个线性空不变系统。系统的脉冲响应是光瞳函数的F.T.每个物点在像平面产生一个Airy斑，像平面分布是所有这些Airy斑的加权叠加。#第五章光学成像系统的频率特性

§5-1透镜的成像性质:结论(5-11)把成像系统的作用分为两部分:理想成像和卷积积分:定标器线性空不变系统h物U0几何像Ug实际像Ui=Ug

*h只考虑后一部分直接把Ug称为输入像。#复杂的光学系统与单透镜系统有何不同?§5-2成像系统的一般分析本节目的：分析复杂的光学系统,并求出它的脉冲响应函数研究像强度分布与照明光源相干性的关系成像系统的普遍模型——黑箱模型复习：（几何光学）复杂光学系统由多个透镜（正、负、厚、薄不同）和光阑组成。透镜孔径也构成光阑。光阑：光学元件的边框和特加的有一定形状开孔的屏统称光阑。有拦光作用（对成像光束的大小有限制作用）。#§5-2成像系统的一般分析

成像系统的普遍模型——黑箱模型孔径光阑（孔阑ApertureStop）：所有光阑中有一个对成像光束最终起到实际限制的作用，决定成像光束截面或立体角，称为孔径光阑。（注意不一定几何尺寸最小）入射光瞳（入瞳EntrancePupil）：孔径光阑通过它前面的光具组所成的像。由于物像共轭关系，物方能通过入瞳的光束，必定能完全通过孔阑。出射光瞳（出瞳ExitPupil）：孔径光阑通过它后面的光具组所成的像。所以，通过孔阑的光束在像方能完全通过出瞳。#§5-2成像系统的一般分析

成像系统的普遍模型——黑箱模型例：如图所示系统。原有两个透镜。无光阑D时，L1和L2为共轭关系。L1P0L2Piuiu0D加入光阑D,限制了物方成像光束的立体角为u0D是孔径光阑D通过L1成一虚像D0,物方所有能通过D的光束都能通过D0.D0是入瞳DiD0同理,Di是出瞳#§5-2成像系统的一般分析

成像系统的普遍模型——黑箱模型1322.透镜系统:黑箱.只考虑边端(入瞳与出瞳之间)的变换关系1.物面入瞳:菲涅耳衍射3.出瞳像面:菲涅耳衍射为了确定系统的脉冲响应,需要考察黑箱的性质;衍射受限系统和像差系统复杂的光学系统是为了消除像差.当像差完全消除以后,可以不考虑各个透镜的具体配置,系统的成像性能仅受光瞳的影响.若成像系统的像质仅受有限大小光瞳的衍射效应所限制,则称为“衍射受限”系统,或衍射限制系统(diffraction-limitedsystem)#§5-2成像系统的一般分析

一、衍射受限系统的“黑箱”模型全部成像元件都装在黑箱中,可以不考虑它的内部结构,只需知道它的外部结构:即:将物平面发出的投射到入瞳上的光束,完全按照几何光学投射到出瞳上,并会聚到像平面.(像差系统此项不成立)黑箱的边端由入瞳和出瞳组成:

入瞳:光到达成像元件所必须经过的一个有限孔径.

出瞳:光离开成像元件到达像平面所必须经过的一个有限孔径入瞳和出瞳互为几何成像的共轭关系.光在二者间之的传播完全用几何光学描述:衍射受限系统的衍射效应,只有在物入瞳及出瞳像的传播中才起重要作用,并且可以归结到这两段中的任何一段#§5-2成像系统的一般分析

二、阿贝(Abbe)成像理论（1873）若透镜孔径无限大,频谱准确.二次F.T.成理想像若透镜孔径有限，丢失高频成分——降低分辨率光学系统是低通滤波器第一次衍射——分解:在后焦面得到物体的频谱第二次衍射——综合:频谱点作为惠更斯子波源,发出的球面子波在像面上干涉成像二次衍射成像理论Abbe理论:衍射效应由有限出瞳引起.Reyleigh:有限入瞳.二者等价本课程采用处理方式：衍射效应由有限出瞳引起。#三、衍射受限系统的脉冲响应

（单色光照明）衍射受限系统的脉冲响应是光学系统出瞳的夫琅和费衍射图样.中心在几何光学理想像点为几何光学预言的理想像其中:可以得到与单透镜系统相似的结果:系统出瞳所确定的脉冲响应任意复杂的衍射受限光学成像系统，都可看作线性空不变系统.像的复振幅分布是几何光学理想像和系统出瞳所确定的脉冲响应的卷积。#§5-2成像系统的一般分析

四、非单色照明光学系统的成像性质与照明方式有密切的关系在非单色光照明的情况下，光场扰动可表示为其复振幅既是空间函数又是时间函数,随时间缓慢变化。可看成为频率为

n

的单色光波的包络。实际光源不是严格单色，总有一定的光谱线宽Δ.本节讨论准单色照明,即Δ<<

,是照明光波的平均频率。例:光波含有二个频率:n1和n2,单位振幅#§5-2成像系统的一般分析四、非单色照明例:光波含有二个频率:n1和n2,单位振幅其复振幅既是空间函数又是时间函数,随时间缓慢变化。可看成为频率为

n

的单色光波的包络。#我们仍可不考虑高频振荡部分，而仅考虑相幅矢量U(x,y,t)§5-2成像系统的一般分析

四、非单色照明在同一时刻t,像的复振幅与物的复振幅之间应满足叠加积分：最终关心的是像面上的强度分布：脉冲响应是光学系统的性质,与时间无关.可以交换时间求极限与空间积分的顺序。#＜.＞:对足够长时间求平均:T将Ui(xi,yi;t)表达式代入:T这是两个互相独立的积分。Ui(xi,yi;t)Ui*(xi,yi;t)§5-2成像系统的一般分析

四、非单色照明现在<.>中的量完全决定于照明方式,即物平面上任意两点(x0,y0)与(x0’,y0’)引起的光场扰动之间的相关性,或相干性.称为空间相干性问题。我们讨论两种极限情况#像面上的强度分布:(1)T§5-2成像系统的一般分析

四、非单色照明:照明光为完全空间相干光在这种照明下,物平面上各点的光振动有完全确定的不随时间改变的位相关系.因此任何点的复振幅对时间的依赖关系,可以归结为某一特定点(例如原点)对时间的依赖关系.表达为：归一化因子#（2）§5-2成像系统的一般分析

四、非单色照明:照明光为完全空间相干光像面强度分布:(1)（2）(2)代入(1)，即得:（每个积分可以独立完成）式中，Ui(xi,yi)可以理解为即像面上各点的复振幅也有确定的位相关系,不随时间变.成像系统是对复振幅作线性变换,再由像的复振幅求像的强度。#§5-2成像系统的一般分析

四、非单色照明:完全非相干照明物理意义：物面上各点的光振动是完全统计无关的,相互的位相关系随时间变化完全不确定.任意两点光振动值的乘积U0U0*在较长的时间内的平均值为零.除非此二点完全重合.将(3)代入(1)，得：此式表明：对于完全非相干照明，系统对光强度作线性变换。变换的脉冲响应函数为像强度分布:物上各点在像平面上引起的强度分布的加权叠加。#此时（3）k是复常数§5-2成像系统的一般分析

照明光源的相干性问题:物理图像A,B两点光振动相干,则引起的以A’,B’为中心的两个分布也相干.应将其干涉图样求出后,再作模方求强度。相干照明:非相干照明:x0BAy0xiB’A’yiBlackBoxx0BAy0xiB’A’yiBlackBox任意时刻A.B两点在像面上某点引起的复振幅没有确定的位相关系。观察到的强度是多个像点强度的叠加，即非相干叠加。#§5-3衍射受限的相干成像系统的频率响应对复振幅而言是线性空不变系统——对强度的变换是非线性的一．相干传递函数CoherentTransferFunction,CTF.物像关系满足卷积积分复振幅的脉冲响应（相干脉冲响应）几何光学理想像输入频谱:Gg(fx,fy)=

{Ug(x0,y0)}像频谱:

Gi(fx,fy)=

{Ui(xi,yi)}系统频率特性:§5-3衍射受限的相干成像系统的频率响应

对于实际光学系统，有一个由光瞳大小决定的有限通频带。比例变化(difx,dify)决定了截止频率值f0.#物像频谱关系：Gi(fx,fy)=Gg(fx,fy)Hc(fx,fy)取决于物(或几何像)的空频结构对输入频谱的传递和转化作用。定义：相干传递函数Hc(fx,fy)=

{h(xi,yi)}§5-3衍射受限的相干成像系统的频率响应二．相干传递函数例1.出瞳为边长l的正方形相干传递函数:为沿fx轴和fy轴方向的截止频率(像面截止频率)定义:#§5-3衍射受限的相干成像系统的频率响应二．相干传递函数例为沿各个方向的截止频率(像面截止频率)1.出瞳为直径l的圆形孔径相干传递函数:#§5-3衍射受限的相干成像系统的频率响应相干传递函数的角谱解释考虑像面上光轴附近很小的区域.从出瞳平面出射并能到达此区域的平面波,最大倾角为qx:在近轴近似下,sinqx≈l/2di沿x方向(fx轴)的截止频率:沿某方向的截止频率=此方向上光瞳的总宽度2ldi(对称光瞳)#§5-3衍射受限的相干成像系统的频率响应二．相干传递函数例3M=1的相干成像系统

di

=2f=10cm=10-4cm光阑缝宽l=3cm解:相干系统对复振幅分布进行线性变换。思路：几何像复振幅的频谱（物频谱）×传递函数＝像复振幅频谱→像的强度分布（无限窄的单缝∥y0轴的阵列，周期d=0.01mm）求像的强度分布.物体的复振幅透过率:理想光栅§5-3衍射受限的相干成像系统的频率响应二．相干传递函数例3.每个狭缝产生会聚球面波,将孔径(单缝)的F.T.投射到像平面上.产生的位移的衍射图样相干叠加.*=0hUi3xi-1UgfxGg0-1/d1/dfxGi0-1/d1/d0f0fHc1=-f0#§5-3衍射受限的相干成像系统的频率响应二．相干传递函数例3.Ug几何像复振幅Ui3xi-1d-d实际像复振幅d-d实际像强度分布Ii(xi)=|Ui(xi)|2光栅线仍能分辨,但已平滑变形,并出现附加结构.像面具有强度变化(条纹结构)的必要条件是至少有两个频谱分量能通过.系统通频带越宽,像与物越相似.#§5-4衍射受限的非相干成像系统的频率响应一、非相干照明时的物像关系—空域已经证明，在非相干照明下：复振幅变换的脉冲响应像强度分布实常数物强度分布(几何像)并且在相干照明时,复振幅变换的脉冲响应可写为定义光强脉冲响应hI(xi,yi):是点物产生的衍射斑的强度分布非相干脉冲响应,点扩展函数于是物像关系可以表示为:#§5-4衍射受限的非相干成像系统的频率响应

二.频域分析—光学传递函数为了考察衍射受限系统在非相干照明下成像的频率响应特性,可以对空域关系式作F.T.求像的频谱.(忽略常系数)Ii(xi,yi)=

Ig(xi,yi)*

hI(xi,yi)Ai(fx,fy)=

Ag(fx,fy).

HI(fx,fy)非相干成像系统是强度变换的线性空不变系统.物像关系满足卷积积分.像强度分布是物体上所有的点源产生的像斑按强度叠加的结果理想像(输入)强度频谱实际像(输出)强度频谱传递函数#

§5-4衍射受限的非相干成像系统的频率响应二.频域分析—光学传递函数:归一化频谱即:令零频处取值为1,而变化部分(非零频分量)取值即为相对零频值的大小.实际上我们并不关心像的总强度,而是关心其变化程度.所以可以对以上各个频谱函数,用各自的零频分量进行归一化处理.g#i

§5-4衍射受限的非相干成像系统的频率响应二.频域分析—光学传递函数:定义:点扩展函数的归一化频谱为光学传递函数OpticalTransferFunction,OTF这些归一化频谱仍然满足关系式:

i(fx,fy)=

g(fx,fy).(fx,fy)Ai(fx,fy)=

Ag(fx,fy).

HI(fx,fy)OTF是比CTF用得更为广泛的函数,已成为光学仪器业评价镜头质量的重要手段.#§5-4衍射受限的非相干成像系统的频率响应

三、OTF的计算OTF一定和CTF有关,因而和光瞳函数有关.把OTF与光瞳直接联系起来,找出一种求OTF的几何方法.复习:F.T.性质—自相关定理.∵是hI的归一化频谱,而★#

§5-4衍射受限的非相干成像系统的频率响应三.OTF的计算.Hc(fx,fy)=CTF=P(difx,dify)是光瞳函数★#分子在fx=0,

fy=0的值.

§5-4衍射受限的非相干成像系统的频率响应

三.OTF的计算积分号下可以做变量替换di’,di’∴P*(x,h)=P(x,h),P(x,h)2=P(x,h),∫∫P(x,h)2dx

dh

=光瞳总面积#衍射受限系统光瞳函数的特点:P(x,h)在光瞳内为1,光瞳外为0.

§5-4衍射受限的非相干成像系统的频率响应三.OTF的计算.两个错开光瞳的相对位置,与指定空频分量相对应.光瞳为简单函数时,OTF可以直接计算,复杂情况时要用面积仪或计算机.#§5-4衍射受限的非相干成像系统的频率响应三.OTF的计算例1.出瞳为边长l

的正方形OTF的截止频率是CTF的两倍#f0:相干截止频率§5-4衍射受限的非相干成像系统的频率响应三.OTF的计算

例2:出瞳为圆形孔径

以上两例都可以看出,OTF的截止频率是相同光瞳的CTF截止频率的二倍cosq

=ldifx/l#§5-4衍射受限的非相干成像系统的频率响应

三.OTF的计算例3系统与相干照明的例3相同,但光阑缝宽l=2cm.非相干照明.物体是强度透过率τ0(x0)=∑δ(x-nd)的理想光栅,周期d=0.01mm,求像的强度分布.思路:首先求出物(几何像)强度的频谱,并确定系统的OTF与截止频率在通频带内对于每个物频谱分量求出OTF的值求出像频谱综合出像强度

解:(1)M=1,单位强度的平面波垂直照明.几何光学理想像分布 等于物体的强度透过率.Ig(x0)=∑δ(x0-nd)(2)输入的归一化频谱:(3)系统的OTF:(fx)=tri(fx/2f0)f0=CTF的截止频率=

l/(2ldi)∵M=1.

di=2f=10cm.截止频率2f0=l/ldi

=200周/mm#§5-4衍射受限的非相干成像系统的频率响应

三.OTF的计算例3(4)输入的归一化频谱中有三项通过:fx

=0,+100周/mm,

相应的OTF值:tri(0)=1,tri(+1/2)=1/2(5)输出的归一化强度频谱:(6)像面光强分布调制度m=1的余弦条纹与理想几何像相比,光栅线仍能分辨,但清晰度降低#§5-4衍射受限的非相干成像系统的频率响应

三.OTF的计算例3与理想几何像相比,光栅线仍能分辨,但清晰度降低如果2f0<1/d,将看不到光栅像.本例中基频传递值小于零频,保证了像面强度值非负.对比相干成像系统例3.fxGg0-1/d1/dfxGi0-1/d1/d0f0fHc1=-f0*=0hUi3xi-1Ugd-d实际像强度分布Ii(xi)=|Ui(xi)|2§5-4衍射受限的非相干成像系统的频率响应四、OTF的一般性质1．(0,0)=1由于

(fx,fy)是光瞳函数的归一化自相关函数，定义本身保证了这一性质的成立。3．|(fx,fy)|≤|(0,0)|

由于

(fx,fy)是Hc(fx,fy)的归一化自相关函数，由自相关函数的性质可立即得到（证明用到Schwartz不等式）2．

*(fx,fy)=(-fx,-fy),即

(fx,fy)是厄米函数。由于

本身是的F.T,实函数的F.T.是厄米函数.§5-4衍射受限的非相干成像系统的频率响应四、OTF的一般性质4.(fx,fy)一般为复函数,可写为

(fx,fy)=|(fx,fy)|e

jf(fx,fy)相应地,f(fx,fy)称为相位传递函数。其中|(fx,fy)|(即OTF的模)称为调制传递函数MTF（ModulationTransferFunction）对于中心对称的光瞳(光瞳函数为实偶函数),OTF是实函数,故OTF=MTF.§5-4衍射受限的非相干成像系统的频率响应四、OTF的一般性质调制度modulation,又称为对比度、反衬度是评价像质的定量方法之一。像的调制度V的定义:IM:最大光强Im:

最小光强0,即IM=Im，像面光强无变化;1,

即Im=0，对比度最高,条纹结构最清晰。V=一般情况下0<V<1#MTF的重要性§5-4衍射受限的非相干成像系统的频率响应四、OTF的一般性质例如：光强分布为余弦型所以均值为1(B=1)的余弦型光强变化幅度A就是调制度。为余弦振幅与均值之比可以证明：对于余弦型光强:#空频为f0,调制度为m的余弦条纹，经过非相干成像系统后,成为空频f0,调制度为

m|OTF|fx=f0的余弦条纹.这也是OTF的物理意义由于|MTF|<|MTF(0,0)|=1,所以成像后的对比度一定下降。#上述分析适合于任何复杂物体的非相干光照明成像。#作业P1405.10,5.11P1415.13(注:空频单位为mm-1)提示对于中心对称的光瞳(光瞳函数为实偶函数),OTF是实函数,故OTF=MTF.只要求出在给定频率的OTF值,就可求出该频率余弦条纹的调制度变化.反之亦然.§5-5相干成像与非相干成像的比较

一.Summary相干成像 非相干成像

像的复振幅像强度:

复振幅频谱空域频域像强度频谱★★(归一化)#§5-5相干与非相干成像的比较

一.Summary(续)相干成像 非相干成像

传递函数代表理想带通滤波器有衰减的低通滤波器,

MTF=|OTF|<1截止频率:CTF由光瞳函数决定 扩展到CTF的二倍边长l的方瞳:直径l的圆瞳:频

域成像质量要做具体分析,主要从频域考虑#§5-5相干与非相干成像的比较

二、对空间频率分量的传递作用（滤波器）相干成像系统是一