求抛物线解析式几法

关于求抛物线解析式几法第一页，共四十五页，2022年，8月28日知识回顾：（1）开口向下且过（0，3）的抛物线可能是（）A、y=-x2+x+3B、y=x2+3x+2C、y=x+3D、y=-x+3（2）开口向下，顶点为（-1，2）的抛物线可能是（）A、y=-2(x+1)2+2B、y=-2(x-1)2+2C、y=(2x+1)2+2D、y=x2+1

（3）开口向上，且与x轴交于（-3，0）；（2，0）的抛物线可能是（）A、y=3(x-3)(x+2)

B、y=2(x+3)(x-2)（4）将抛物线y=x2向右平移5个单位后的解析式是

。AABy=(x－5)2第二页，共四十五页，2022年，8月28日二次函数常见的几种模型一般式：y=ax2+bx+c(a≠

0）顶点式（平移式）：y=a(x-d)2+h(a≠

0）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)

(a≠

0）第三页，共四十五页，2022年，8月28日题一：已知二次函数的图像如图所示，求其解析式。（3，0）知识探究:第四页，共四十五页，2022年，8月28日抛物线解析式的合理选择如图一，已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。如图二，已知抛物线上顶点坐标，通常选择顶点式。

如图三，已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式。oxyA（d,h）oxyx1x2oxyBAC一般式：y=ax2+bx+c(a≠

0）顶点式（平移式）：y=a(x-d)2+h(a≠

0）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)

(a≠

0）图一图二图三第五页，共四十五页，2022年，8月28日题二：如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m．ABCD（1）建立合适的直角坐标系，求点A、B、C、D的坐标，并设出抛物线的解析式。知识巩固：第六页，共四十五页，2022年，8月28日ABCDOxy以AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系可设抛物线：y＝a(x＋10)(x－10)(－10,0)(10,0)(－5,3)(5,3)第七页，共四十五页，2022年，8月28日ABCDOxy以CD的中点为坐标原点建立平面直角坐标系可设抛物线：y＝a(x＋5)(x－5)(－10,－3)(10,－3)(－5,0)(5,0第八页，共四十五页，2022年，8月28日ABCDOxy以A点为坐标原点建立平面直角坐标系可设抛物线：y＝a(x－

20)(x－0)(20,0)(5,3)(15,3）第九页，共四十五页，2022年，8月28日ABCDOxy过C点作AB的垂线，垂足为O，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系可设抛物线：y＝a(x＋5)(x－15)(－5,0)(15,0)(0,3)(10,3)或：y＝ax2＋bx＋3第十页，共四十五页，2022年，8月28日y＝a(x＋10)(x－10)y＝ax2或y＝a(x－

20)(x－0)或y＝a(x＋5)(x－15)y＝ax2＋bx

＋

3y＝ax2＋bx（2）求当正常水位时，拱桥的顶端离水面有多少米？

第十一页，共四十五页，2022年，8月28日解：以AB的中点为坐标原点，以AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系可知，A(-10,0)，B(10,0)可设抛物线：y＝a(x＋10)(x－10)又易知C（-5，3），D(5,3)所以3＝a(5＋10)(5－10)所以a

＝－所以抛物线的解析式为y＝－x2＋4当X=0时，Y=4所以当正常水位时，拱桥的顶端离水面4米第十二页，共四十五页，2022年，8月28日知识拓展Oxyb(0,b2)2b(2b,b＋2)OxyEFy=(x－b)2题三：如图，将抛物线y=x2左右平移，平移后的抛物线与直线y=x+2交于点E，与y轴交于点F，若EF//x轴，求平移后的抛物线的解析式。EFy=x+2第十三页，共四十五页，2022年，8月28日解：不妨设抛物线的解析式为y=（x-b）2，

对称轴直线x＝b，则F（o，b2）因为EF∥X轴∴E、F关于直线x＝b对称∴点E的横坐标为2b，且点E在直线y=

x+2上∴E（2b，b+2）∴b2=b+2解之有b1=-1，b2=2∴平移后抛物线的解析式为y=（x+1）2或y=（x-2）2即：y=x2+2x+1或y=x2－4x+4第十四页，共四十五页，2022年，8月28日思维提炼解析式表达形式顶点式交点式一般式解析式求法利用待定系数法建立解析式模型根据题目给定的信息求系数解题思想函数与方程思想数形结合思想转化思想第十五页，共四十五页，2022年，8月28日2.抛物线y=x2-2x-1的顶点为A,另一抛物线与轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在抛物线y=x2-2x-1的对称轴上，(1)求点A与点C的坐标(2)当四边形AOBC为菱形时，求另一抛物线的解析式课后练习1.已知二次函数的图像过原点，当x=1时，y有最小值为-1，求其解析式。第十六页，共四十五页，2022年，8月28日二次函数常用的几种解析式的确定技巧已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。

已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式。1、一般式2、顶点式3、交点式

4、平移式

将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐标，可将原函数先化为顶点式，再根据“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求新函数的解析式。 第十七页，共四十五页，2022年，8月28日解法二：交点式不妨设解析式为即y=a(x+1)(x-3)又C（1，4）在抛物线上∴4=a(1+1)(1-3)∴a=-1∴y=-(x+1)(x-3)即：例1、已知二次函数的图像如图所示，求其解析式。

三、应用举例由题可知，抛物线与x轴的两个交点坐标为A(-1,0)、B（3，0）（3，0）第十八页，共四十五页，2022年，8月28日例1、已知二次函数的图像如图所示，求其解析式。解法三：一般式设解析式为∴即：

三、应用举例又由题可知，抛物线经过

A(-1,0)、C（1，4）

（3，0）易得B（3，0）第十九页，共四十五页，2022年，8月28日例2、将抛物线向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。解法：将二次函数的解析式转化为顶点式得：(1)、由向左平移4个单位得：（左加右减）（2）、再将向下平移3个单位得

（上加下减）

即：所求的解析式为

三、应用举例第二十页，共四十五页，2022年，8月28日例3、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。（1）求拱桥所在抛物线的解析式；

三、应用举例即：

∴

EFa=-0.1解：（1）、由图可知：抛物线经过O（0，0），B（-12，0）。设解析式为又∵A（-2，2）点在图像上，

∴即：（-12，0）（-2，2）第二十一页，共四十五页，2022年，8月28日

三、应用举例例3、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是2.5米时，高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。PQ(2)、分析：船能否通过，只要看船在拱桥正中间时，船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标。水位+船高=2.5+1.4=3.9＞3.6解：∵∴∴顶点（-6，3.6）,当水位为2.5米时，∴船不能通过拱桥。PQ是对称轴。2.5第二十二页，共四十五页，2022年，8月28日

三、应用举例例3、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是2.5米时，高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。（3）当水位是2米时，高1米，宽为4米的船能否通过拱桥？请说明理由。PQ(3)、分析：船能否通过，只要看船在拱桥正中间时，船及水位的高度是否超过船的边缘所在位置拱桥的拱高。水位+船高=2+1=3解：当水位为2米时，∴船能通过拱桥。当船宽为4米时，船边缘所在位置拱桥的拱高为：即当x=-4时，=-0.1×(-4)2-1.2×(-4)=3.2∵3＜3.2-423.2第二十三页，共四十五页，2022年，8月28日练习1练习2思想方法应用举例一般式顶点式交点式例2

应用例1尝试练习二次函数的几种解析式及求法前言二次函数解析式练习3小结一般式顶点式交点式平移式例3平移式练习4第二十四页，共四十五页，2022年，8月28日

二次函数是初中代数的重要内容之一，也是历年中考的重点。这部分知识命题形式比较灵活，既有填空题、选择题，又有解答题，而且常与方程、几何、三角等综合在一起，出现在压轴题之中。因此，熟练掌握二次函数的相关知识，会灵活运用一般式、顶点式、交点式求二次函数的解析式是解决综合应用题的基础和关键。第二十五页，共四十五页，2022年，8月28日四、尝试练习：练习1.已知二次函数的图像过原点，当x=1时，y有最小值为-1，求其解析式。练习2.已知二次函数与x轴的交点坐标为（-1，0）,（1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。练习3.将二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移4个单位，求其解析式。练习4.如右图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为3.6m，跨度为7.2m．一辆卡车车高3米，宽1.6米，它能否通过隧道？

ABCDOxy练习5.有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m．（1）建立如图直角坐标系，求点B、D的坐标。（2）求此抛物线的解析式；

练习6.探索：利用二次函数说出x2-2x-3＜0的解集第二十六页，共四十五页，2022年，8月28日评析：

刚才采用一般式、顶点式和交点式求解，通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用一般式求解简便。同时也培养学生一题多思、一题多解的能力，从不同角度进行思维开放、解题方法开放的培养。注重解题技巧的养成训练，可事半功倍。2007年中考数学命题趋势，贴近学生生活，联系实际，把实际问题转化为数学模型，培养学生分析问题、解决问题的能力，增强学以致用的意识。第二十七页，共四十五页，2022年，8月28日1、已知二次函数的图像过原点，当x=1时，y有最小值为

-1，求其解析式。∴四、尝试练习解：设二次函数的解析式为∵x=1,y=-1,∴顶点（1，-1）。又（0，0）在抛物线上，∴a=1即：∴∴第二十八页，共四十五页，2022年，8月28日2、已知二次函数与x轴的交点坐标为（-1，0）,（1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。解：设所求的解析式为∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0）∴又∵点（0，1）在图像上，

∴a=-1即：∴∴∴四、尝试练习第二十九页，共四十五页，2022年，8月28日3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为3.6m，跨度为7.2m．一辆卡车车高3米，宽1.6米，它能否通过隧道？四、尝试练习

即当x=OC=1.6÷2=0.8米时，过C点作CD⊥AB交抛物线于D点，若y=CD≥3米，则卡车可以通过。

分析：卡车能否通过，只要看卡车在隧道正中间时，其车高3米是否超过其位置的拱高。第三十页，共四十五页，2022年，8月28日四、尝试练习3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为3.6m，跨度为7.2m．一辆卡车车高3米，宽1.6米，它能否通过隧道？解：由图知：AB=7.2米，OP=3.6米，，∴A（-3.6，0），

B（3.6，0），P（0，3.6）。又∵P（0，3.6）在图像上，当x=OC=0.8时，∴卡车能通过这个隧道。第三十一页，共四十五页，2022年，8月28日四、尝试练习

4、将二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移4个单位，求其解析式。解：∵二次函数解析式为（1）、由向右平移1个单位得：（左加右减）（2）、再把向上平移4个单位得：（上加下减）即：所求的解析式为第三十二页，共四十五页，2022年，8月28日刘炜跳投想一想5.刘炜在距离篮下4米处跳起投篮,篮球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最高度3.5米,然后准确落入蓝筐.已知蓝筐中心到地面距离为3.05米.如果刘炜的身高为1.9米,在这次跳投中,球在头顶上方0.15米处出手,问求出手时,他跳离地面的高度是多少?第三十三页，共四十五页，2022年，8月28日c分析：要求出他跳离地面的高度，关键是1.首先要求出该抛物线的函数关系式2.由函数关系式求出C点的坐标，即求出点C离地面的高度h，h-0.15米-刘炜的身高即,他跳离地面的高度.?h如图，刘炜在距离篮下4米处跳起投篮,篮球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最高度3.5米,然后准确落入蓝筐.已知蓝筐中心到地面距离为3.05米.如果刘炜的身高为1.9米,在这次跳投中,球在头顶上方0.15米处出手,问求出手时,他跳离地面的高度是多少?探索:第三十四页，共四十五页，2022年，8月28日Cyxoh解：建立如图所示的直角坐标系,则抛物线的顶点A(0,3.5),蓝筐中心点B(1.5,3.05)所以，设所求的抛物线为y=ax²＋3.5又抛物线经过点B（1.5，3.05），得a=-0.2即所求抛物线为y=-0.2x²＋3.5当x=-2.5时,代入得y=2.25又2.25-1.9-0.15=0.2m所以,他跳离地面的高度为0.2m第三十五页，共四十五页，2022年，8月28日6：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m．（2）求此抛物线的解析式；ABCDOxy（1）建立如图直角坐标系，求点B、D的坐标。第三十六页，共四十五页，2022年，8月28日（3）现有一辆载有救援物质的货车，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥280km（桥长忽略不计）货车以40km／h的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0．25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位到达最高点E时，禁止车辆通行）试问：如果货车按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？6：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m．ABCDOxyEF第三十七页，共四十五页，2022年，8月28日解：（1）B（10，0），D（5，3）（2）设抛物线的函数解析式为由题意可得：解得：∴抛物线的函数解析式为：ABCDOxy第三十八页，共四十五页，2022年，8月28日ABC