2023年北京市高考数学文科试卷

2023年普通高等学校招生全国统一考试数学〔文〕〔北京卷〕本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一局部〔选择题共40分〕一、选择题共8小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.集合，，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【解析】和往年一样，依然是集合〔交集〕运算，本次考察的是一次和二次不等式的解法。利用一次、二次不等式的解法，并画出数轴图易得答案：D2.在复平面内，复数对应的点的坐标为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【解析】考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。因为，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为答案：A202xy3.设不等式组表示的平面区域为，在区域202xy〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【解析】一道微综合题，它涉及到的知识包括：线性规划，圆的概念和面积公式，几何概型。题目中表示的区域如右图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方型面积减去四分之一圆的面积局部，因此所求概率是，答案：D4.执行如下图的程序框图，输出的值为〔A〕2〔B〕4〔C〕8〔D〕16【解析】考查程序框图，涉及到判断循环结束的时刻，以及简单整数指数幂的计算。当k=3时，循环结束，此时输出的S为8，答案：C5.函数的零点个数为〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕3【解析】外表上考查的是零点问题，实质上是函数图象问题〔单调性〕的变种，该题所涉及到的图像为幂函数和指数函数混合运算后的零点，即令。根据此题可得，在平面直角坐标系中分别画出幂函数和指数函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，答案：B。6.为等比数列，下面结论中正确的是〔A〕〔B〕〔C〕假设，那么〔D〕假设，那么【解析】考查的是等比数列的根本概念，其中还涉及到了均值不等式的知识，如果对于等比数列根本概念〔公比的符号问题〕理解不清，也容易错选。当然此题最好选择排除法来做，当时，比方-1，2，-4……，所以A选项错误；当时，C选项错误；当时，比方1，-2，4，-8……，与D选项矛盾，而B选项因此描述均值定理的B选项为正确答案，答案：B。7.某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥的外表积是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕455【解析】考查的是三棱锥的三视图问题，只不过与往年不同的是这题所求不是棱锥或棱柱的体积而是外表积，因此对于学生计算根本功以及空间想象的双能力都存在着综合性的考查。从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥〔也已说明〕，如右图所示。图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。此题所求外表积应为三棱锥四个面的面积之和。利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10，10，10，。因此该几何体外表积，答案：B4558.某棵果树前年的总产量与之间的关系如下图，从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，的值为〔A〕5〔B〕7〔C〕9〔D〕11【解析】知识点考查很灵活，要根据图像识别看出变化趋势，利用变化速度可以用导数来解，但图像不连续，所以只能是广义上的，因此对数学的理解很大程度上限制了考生的分数。当然此题假设利用数学估计过于复杂，最好从感觉出发。由于目的是使平均产量最高，就需要随着n增大，变化超过平均值的参加，随着n增大，变化缺乏平均值的舍去。由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该参加，因此，答案：C第二局部〔非选择题共110分〕二、填空题共6小题，每题5分，共30分。9.直线被圆截得的弦长为__________。4yxo【解析】涉及到的是直线和圆的知识，由于北京的考卷多年没有涉及直线和圆，对于考生来说，可能有些陌生，直线和圆相交求弦长，利用直角三角形解题，也并非难题。将题目所给的直线和圆图形化得到如右图所示的情况，半弦长，圆心到直线的距离d，以及圆半径r构成了一个直角三角形。但是因为此题特殊，直线y=x与圆心所在y轴成夹角，因此，所以弦长。答案：4yxo10.为等差数列，为其前项和，假设，，那么____________，_________________。【解析】考查的是等差数列的根本计算，技术难度并不高，通项公式和前n项和的常规考法。因为，且所以，所以答案：11.在中，假设，，，那么的大小为_________。【解析】考查的是解三角形，所用方法并不唯一，对于正弦定理和余弦定理此二者会其一都可以得到最后的答案。在中，利用正弦定理，可得，所以。再利用三角形内角和，可得。答案：12.函数，假设，那么_____________。【解析】对数函数题，要求学生会利用对数的运算公式进行化简，同时也要求学生对于根底的对数运算敏感；答案：213.正方形的边长为，点是边上的动点，那么的值为_______；的最大值为_______。【解析】平面向量问题，考查学生对于平面向量点乘知识的理解，其中包含动点问题，考查学生对于最值时刻的图形感官；答案：1；114.，。假设，或，那么的取值范围是_________。【解析】考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数型函数的平移的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或〞连接，形式上是小型题，考确实是大思路，分类讨论是这个题的重点。答案：〔-4，0〕三、解答题共6小题，共80分，解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.〔本小题共13分〕函数。〔Ⅰ〕求的定义域及最小正周期；〔Ⅱ〕求的单调递减区间。16.〔本小题共14分〕如图1，在中，，分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2。〔Ⅰ〕求证：平面；〔Ⅱ〕求证：；〔Ⅲ〕线段上是否存在点，使平面？说明理由。17.〔本小题共13分〕近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下〔单位：吨〕：“厨余垃圾〞箱“可回收物〞箱“其他垃圾〞箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060〔Ⅰ〕试估计厨余垃圾投放正确的概率；〔Ⅱ〕试估计生活垃圾投放错误的概率；〔Ⅲ〕假设厨余垃圾在“厨余垃圾〞箱、“可回收物〞箱、“其他垃圾〞箱的投放量分别为，其中，。当数据的方差最大时，写出的值〔结论不要求证明〕，并求此时的值。〔注：，其中为数据的平均数〕18.〔本小题共13分〕函数，。〔Ⅰ〕假设曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；〔Ⅱ〕当时，假设函数在区间上的最大值为，求的取值范围。19.(本小题共14分)椭圆的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交