暑假初一升初二数学提高班教材16讲资料全

77/77汇世纪教育（包含集团旗下高端个性化教育品牌——学远教育）创办于2004年，专业从事中小学生课外文化辅导教育，企业以“促进区域教育公平，共享优质教育资源”为使命，致力于将优质教育资源、先进教学模式、专业教学服务提供到中小县城，帮助三四线城市的中小学生获得更好的教育和发展机会。经过多年的发展，在众多一线教育专家加盟与教育研究院成立的基础上，目前已经建立起了从小学到高中的基础教育全体系文化辅导资源库。现提供多种类型的教学和咨询服务，包括精准1对1、品学小课堂，精品小班和天天向上班，所授课程涵盖小学、初中、高中的文化课程。为广大学子提供全方位的课程产品和优质贴心的服务。汇世纪教育目前已成为省美誉度颇高的教育机构之一，先后被评为“优秀课外辅导教育机构”，“十佳课外辅导机构”，“诚信办学机构”。荣誉与责任并存，创新与发展共进，汇世纪教育将立足长远，始终坚持国家的教育改革方针，为缩小我国县级城市与一二线城市的教育资源严重不均衡的现状，为改善地区性教育水平差距不断耕耘。初一升初二,你准备好了吗?做好衔接，快人一步!假如用一句话概括初中：那就是初一是希望，是习惯养成的关键期；初二是分化期，是同学们差距出现的时候；初三是拼搏，是同学们实现人生理想的第一次真正的奋斗。初二是初中的一个重要时段，这一阶段你对知识的掌握程度，直接影响着你的中考成绩，学习上并没有初一那样绝对的“轻松”，面对初二的最大问题就是分化，简单概括为好的更好，差的更差。那么为什么有的同学进入新的学年后，成绩突飞猛进，原本的差生摇身一变上了全班前几名，这到底是为什么呢?那些新学期的优等生是如何炼成的呢?其实优等生的秘密就在暑假里!新学年衔接辅导让很多差生或中等生在暑假里突飞猛进，进入陌生却早已熟悉的新学期后，他们自然早已快人一步，学习倍轻松!在初二，数学、语文、英语、物理要作为重点来安排学习，除了上课认真听讲，课后70%的精力要花在这些主课上。初二时，每门主科都要做到出现问题立刻解决掉，因为到了初三，未解决的知识漏洞不但会影响新知识的学习，更重要的是没时间来补回前面出现的问题（初三的新知识集中在上学期学完，下学期进入复习，学习任务很繁重）。初二后半学期，地理、生物要结业，听好课，掌握必要的知识即可。第一讲二元一次方程组（1）5第二讲二元一次方程组（2）10第三讲整式的乘法15第四讲乘法公式20第五讲提公因式法24第六讲公式法与其十字相乘法27第七讲整式的乘法和因式分解复习31第八讲平行线的性质和判定35第九讲垂线和两条平行线间的距离39第十讲分式的认识和它的基本性质43第十一讲分式的乘、除法与乘方47第十二讲整数的指数幂52第十三讲分式的加、减法57第十四讲分式方程62第十五讲分式方程的应用67第十六讲分式（复习）72第一讲二元一次方程组(1)1、二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by+c=0且a,b不等于02、二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。3、二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。4二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。5、二元一次方正组的解法（1）代入法（2）加减法6、三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。7、三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。例1．★★下列方程：①②③;④;⑤⑥其中是二元一次方程的有．例2．★★判断下列各对数值，哪一对是二元一次方程组的解．（1）（2）例3．★★用代入消元法解下列方程组：例4．★★用加减消元解方程组：例5已知二元一次方程组的解是,则a+b的值为________。例6．如果的解都是正数，那么a的取值围是（）（A）a<2； （B）； （C）； （D）；例7．★★★（1）如果是方程组的解，试求的值。（2）若，试求a、b的值。（一）选择题1．下列方程属于二元一次方程的是（）A、 B、 C、 D2．下列方程中，二元一次方程一共有（）（1）（2）（3）（4）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个3．若，则、的值为（）A、 B、 C、 D、4．若和是同类项，则（）ABCD5、若|3x+y+5|+|2x-2y-2|=0，则2x2-3xy的值是（）（A）14 （B）-4 （C）-12 （D）126、若5x-6y=0，且xy≠0，则的值等于（）（A） （B） （C）1 （D）-1（二）求解方程组6．解下列方程组（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）三．填空题若xlal-2010+(a-2011)y=2009，是关于x,y的二元一次方程，则a=__________四．解答题1．已知二元一次方程组的解是，求的值。1．在方程中，是二元一次方程的是．2．方程的两个解是和，则=，=。3．若和是关于、的方程的两个解，则=，=。4、解方程组：（两种方法：代入消元法、加减消元法）3x+5y=8x+y=7①2x-y=1②3x+y=174．若是关于、的二元一次方程，则的值是多少？第二讲二元一次方程组(2)列方程组解应用题的一般步骤：（1）审题：审题是解决问题的前提．通过审题找出已知量和未知量，以与它们之间的相互关系．（2）设未知数：设谁为未知数与未知数的数量要根据题目中的具体条件而定．一般情况下问几个未知量就设几个未知数，可以直接设未知数，也可间接设未知数．（3）找出等量关系．列方程组的关键是找出题目中的等量关系，它决定了方程组列出的难易程度，一般情况下设几个未知数，就应找出几个等量关系．（4）列方程组，根据等量关系，列出方程组．（5）解方程组，运用方程组的知识求出方程组的解．（6）答题：根据题目写出答案．例1、★★一群女学生住若干间宿舍，若每间住4人，则还剩1人无房住；若每间住5人，则有一间宿舍空出，那么共有名女生，间宿舍。例2、★★玻璃厂熔炼玻璃液，原料是由石英砂和长石粉混合而成，要求配料中含二氧化硅70%，根据化验，石英砂中含二氧化硅99%，长石粉中含二氧化硅67%，在3.2吨原料中，石英砂和长石粉各需多少吨？例3：[行程问题]小明与小红家相距20km,小明从家出发骑自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明，已知小明骑车的速度为13km/h，小红骑车的速度为12km/h。如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇？如果小明先走30min，那么小红骑自行车要走多少小时才能与小明相遇？例4：[增长率问题]某肖2012年秋季七年级和高一年级招生总数为500人，计划2013年秋季七年级招生数增加20％，高一年级招生数增加15％,这样2013年将增加18％，求2013年秋季七年级、高一年级的计划招生数分别是多少？例5：[和、差、倍、分问题]某电视台在黄金时段的2min广告时间，计划插播长度为15s和30s的两种广告，15s广告每播1次收费0.6万元，30s广告每1播次收费1万元，若要求每种广告播放不少于2次，问：（1）两种广告的播放次数有几种安排方式？（2）电视台选择哪种方式播放收益较大？★★甲、乙两缸，甲缸中现有49L水，乙缸中现有56L水。如果把乙缸的水倒满甲缸，那么乙缸中还剩下的水相当于甲缸容量的一半；如果把甲缸的水倒满乙缸，那么甲缸中剩下的水相当于本身容量的，求这两个缸的容量各是多少？1．某城市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口将增加1%，设这个城市现有城镇人口x万，农村人口y万，则所列方程为。2．某单位去年男员工比女员工多80人，今年经过一次大规模的调整后，女员工增加了20%，男员工减少25%，因此女员工反而比男员工多30人。去年有男员工，女员工人。3．在环保知识竞赛中，某校代表队的平均在绩是88分，其中女生的平均成绩是比男生高10%，而男生人数比女生人数多10%，则男女生的平均成绩分别是分。4．某工厂甲、乙两个车间去年计划共完成税利720万元，结果甲车间完成去年计划的115%，乙车间完成了计划的110%，两车间共完成税利812万元，去年两个车间分别超过额完成税利万元。5．一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件；若前面每人分4件，则最后一人只能得到1件玩具。求小朋友的人数与玩具数。6．某种产品是由A种原料和B种原料混合而成的，其中A种原料每千克50元，B种原料每千克40元。据最新消息，这两种原料过几天都要调价，A种原料价格上涨10%，B种原料价格下降15%，经核算，产品的成本仍然不变，因而产品不需调价。已知这批产品共重11000kg，问A种原料和B种原料各需多少？7．一个三位数，三个数位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数的和比个位数大3，如果把百位上的数字与个位数字对调，所得的新数比原数小198，求原数。8．某车间有工人30人，生产甲、乙、丙三种零件，每人每小时能生产零件甲30个，或零件乙25个，或零件丙20个，现用零件甲3个，零件乙5个，零件丙4个装配成某种机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件刚好配套？10．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需支付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元。（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。11．已知某一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间为40秒，求火车的速度和车长。12、★★★某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家农工商公司收获这种蔬菜140，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16；如果进行精加工，每天可加工，但两种加工方式不能同时进行，受季节条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没有来得与进行加工的蔬菜，在市场上销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成。你认为哪种方案获利最多？为什么？1．小明家今年计划结余950元，比去年结余相比增长90%，其中收入比去年高15%，支出比去年低10%，求今年计划收入与支出各是多少元？2．国贸商场在春节期间搞优惠促销活动。商场将29英寸和25英寸彩电共96台分别以8折和7折出售，共得184400元。已知29英寸彩电原价3000元/台，25英寸彩电原价2000元/台，问出售29英寸和25英寸彩电各多少台？3．商品店出售A、B、C三种商品，一月份C端商品的销售额占商店总销售金额的60%，预计二月份A、B商品的销售金额减少5%，要使二月份商店总销售金额比一月份的总销售金额增长10%，那么必须使C商品的销售金额比一月份增长多少？第三讲整式的乘法1．代数式2．去括号添括号法则：a+（b-c）=a+b-c，a-（b+c）=a-b-c，a+b-c=+（），a-b+c=-（）。3．幂的运算法则：am·an=______（m，n都是正整数），（am）n=_______（m，n都是正整数）．am÷an=_______（m，n都是正整数，且m>n，a≠0），（ab）n=______（n为正整数）总结1．单项式与单项式相乘，把它们的系数，一样字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.2．单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即注：这里、、和都表示单项式．3．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项．再把所得的积相加，如：③③①②④①②③④例1化简（a-b）3·（b-a）2÷（b-a）3。例2计算：（a+b-1）（a-b+1）。例3已知一个多项式与单项式－７xy的积为２１xy－２８xy＋７y（２xy），试求这个多项式.例4已知多项式能被整除，且商式是，求代数式的值。一、填空题：1．-x3y2z的系数是________，次数是______，x2-xy+1是______次_______项式。2．若x2m-1y2m与-x5yn+7是同类项，则（m-n）-1的值为_________3．若a-=3，则a2+的值为_______。二、选择题4．下列运算正确的是( )

A．B． C． D．5．下列关系式中，正确的是( )

A．B．

C． D.6．已知4n-m=4，则（m-4n）2-3（m-4n）-10的值是（）A．-6B．6C．18D．-387．如图（1），在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b），把余下的部分剪拼成一个长方形如图（2），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（）A．a2-b2=（a+b）（a-b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a-b）2=a2-2ab+b2D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2三简答题8．计算：（1）；（2）运用乘法公式计算：1992×2008（3）．若3x2-mxy+6y2是一个完全平方式，求m的值．9．先化简再求值：，其中，10．已知A=5x2-mx+n，B=-3y2+2x-1，若A+B中不含有一次项和常数项，求m2-2mn+n2的值。11．有一列数：第一个数为x1=1，第二个数为x2=3，第三个数开始依次记为x3，x4，…，xn；从第二个数开始，每个数是它相邻两个数和的一半．（如x2=）（1）求第三、第四、第五个数，并写出计算过程；（2）根据（1）的结果，推测x8=_________．（3）探索这一列数的规律，猜想第K个数Xk=_______．（K是大于2的整数）1．下列计算正确的是（）A．B.C.D.2．化简（）A． B.C. D.3．的计算结果是（）A． B.C． D.4.先化简,再求值．，其中第四讲乘法公式1．完全平方公式：①；②．即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，这个公式叫做乘法的完全平方公式．2．完全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．3．公式的推广：①；②；③；④．4. 平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。这个公式叫做乘法的平方差公式5. 公式的结构特征①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全一样，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差（一样项的平方减去相反项的平方）。一、.完全平方公式的应用例1．计算：（1）（2）（3）例2．已知，求和的值．例3用简单方法计算（1）（2）例4已知，求和的值．例5已知，求、的值．二.利用平方差公式计算1、位置变化：（1） （2）2、符号变化：（3） （4）3、系数变化：（5） （6）4、指数变化：（7） （8）5、增项变化（1） （2）（3）（4）6．增因式变化（1） （2）1．下列等式不成立的是（）A、B、C、D、2．下列各式中计算结果是的是（）A、B、C、D、3．计算：的结果等于（）A、B、C、D、4．若，则因式（）A、B、C、D、5．等于（）A． B． C． D．6．在①；②；③；④中，运算正确的是（）A.②① B.②③ C.②④ D.③④7．若，那么代数式M应是（）A． B． C． D．1．（）=已知，求的值和的值计算（1）；（2）（3）第五讲因式分解提公因式法1.因式分解的概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式。2.提取公因式确定公因式的方法是：先取各项数字系数的最大公约数，再取各项一样字母的最低次幂，合起来就是这个多项式的公因式。如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号第一项的系数是正的，并且注意括号其它各项要变号。如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。总结①公因式的系数：②字母：③一样字母的指数：例1下列从左到右的变形,属于分解因式的是()A.(x+3)(x－2)=x2+x－6B.ax－ay+1=a(x－y)+1C.x2－=(x+)(x－)D.3x2+3x=3x(x+1)例2写出下列多项式中的公因式：（2）（3）（4）（5）（6）例3利用提公因式法分解因式：（2）例4把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（）A． a（a﹣4） B． （a+2）（a﹣2） C． a（a+2）（a﹣2） D． （a﹣2）2﹣4例5把多项式（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）提取公因式（m﹣1）后，余下的部分是（） A． m+1 B． 2m C． 2 D． m+2例6已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），其中a，b，c均为整数，则a+b+c=（） A． ﹣12 B． ﹣32 C． 38 D． 72 一、判断题1．一个多项式若能因式分解,则这个多项式被其任一因式除所得余式为0．（）2．因式分解:－x4y5+x2y2－xy=－xy(x3y4－xy)．（）3．分解因式:(a－b)(m－2)－(b－a)(n+3)=(a－b)(m－n－5)．（）二、选择题1．下列变形中,属于因式分解的是________．（）A．(a+b)(a－b)=a2－b2B．x2－y2+4y－4=(x+y)(x－y)+4(y－1)C．a3－b3=(a－b)(a+ab+b)D．a2－10a+10=a(a－10)+102．计算((－2)11+(－2)10的结果是________．（）A．(－2)21B．210C．－210D．－23．a2x+ay－a3xy在分解因式时，应提取的公因式是________．（）A．(－2)21B．210C．－210D．－24．49x3yz3+14x2y2z2－21xy2z2在分解因式时应提取的公因式是________（）A．7x3yz3B．7x2y2z2C．7xy2z2D．7xyz25．多项式0.5x(a－b)－0.25y(b－a)中,可提取公因式________．（）A．0.5x+0.25yB．0.5x+0.25yC．a+bD．0.25(a－b)6．(－a)m+a(－a)m－1的值是________．（）A．1B．－1C．0D．(－1)x+17．下列各恒等变形中,是因式分解的是________．（）A．a2－2ab+b2=(a－b)2B．(a+b)2=a2+2ab+b2C．a2b+ab2+c=ab(a+b)+cD．a2－2ab+b2－c=(a－b)2－c8．多项式－3x2n－9xn分解因式的结果是________．（）A．3(－x2n+3xn)B．－3(x2n－3xn)C．－3xn(xn+3)D．－3xn(x2+3)9．(－2)2n+1+2(－2)2n其结果是________．（）A．22n+1B．－22n+1C．0D．(－2)2n+210．3m(x－y)－2(y－x)2分解因式为________．（）A．(x－y)(3m+2x－2y)B．(x－y)(3m－2x+2y)C．(y－x)(2y－2x+3m)D．(y－x)(2x－2y+3m)三、填空题1．分解因式:－4m3+16m2－6m=_____________．2．5m(a+b)－a－b=(a+b)_____________．1．分解因式：ab2+a=_________．xy﹣3x=_________．a2b﹣2ab2=_________2．已知：a+b=3，ab=2，求：a2b+ab2第六讲公式法与其十字相乘法运用公式法平方差：完全平方：十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式中，如果能把常数项分解成两个因式的积，并且等于一次项系数中，那么它就可以分解成（2）二次项系数不为1的二次三项式中，如果能把二次项系数分解成两个因数的积，把常数项分解成两个因数的积，并且等于一次项系数，那么它就可以分解成：。分组分解法定义：=，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法例1.分解因式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）例2.已知、、是△ABC的三边，且满足，求证：△ABC为等边三角形。例3．因式分解的应用：1、可以被60与70之间的两个整数整除，求这两个数。2、若的值。例4.探索与创新：[问题一]（1）计算：（2）计算：[问题二]如果二次三项式（为整数）在整数围可以分解因式，那么可以取那些值？一填空题：1、；；＝。2、分解因式：＝；＝；＝。3、计算：1998×2002＝，＝。4、若，那么＝。5、、满足，分解因式＝。二、选择题：1、把多项式因式分解的结果是（）A、B、C、D、2、如果二次三项式可分解为，则的值为（）A、－1B、1C、－2D、23、若是一个完全平方式，那么的值是（）A、24B、12C、±12D、±24三、解答题：1、因式分解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）一．直接写出下列因式分解的结果：（1）（2）（3）（4）（5）（6）二．解答题：1、已知，求的值。2、已知是△ABC的三边的长，且满足，试判断此三角形的形状。第七讲整式的乘法和因式分解复习1．因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解与整式的乘法是互为_______运算。2．因式分解的方法：（1）提取公因式法（首先考虑的方法）、应用公式法、分组分解法、十字相乘法．（2）公式：a2-b2=_______，a2±2ab+b2=_______。3．因式分解的一般步骤先看有没有公因式，若有立即提出；然后看看是几项式，若是二项式则用平方差；若是三项式用完全平方公式。4．因式分解时要分解到不能再分解为止，还要注意题目要求什么围分解。5．因式分解是式的变形的基本功，用处很大，必须熟练掌握，分解时要又快又准。本节主要考查因式分解的熟练掌握程度，特别是几个基本公式；属基础题，常以填空题，选择题的形式出现。◆典例精析例1分解因式m2（m-n）2-4（n-m）2．（2）2a（x-y）3+2a3（y-x）．例2分解因式（1）-x3+2x2-x；（2）-xn+3+xn+1。一、填空题：1．分解因式：16x29y2。分解因式：a32a2a。2．一个矩形的面积为a32ab+a，宽为a，则矩形的长为。3．计算。二、选择题4．下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是().A．a(x+y)=ax+ayB．.x24x+4=x(x4)+4C．10x25x=5x(2x1)D．.x216+3x=(x+4)(x4)+3x5．下列各式中，能用提公因式法分解因式的是().A．x2yB．.x22xC．x2y2D．x2xyy26．利用因式分解简便计算5799+449999正确的是().A．99(57+44)=99101=9999B．99(57+441)=99100=9900C．9(57+44+1)=99102=10098D．99(57+4499)=992=1987．有三种卡片，其中边长为的正方形卡片，边长分别为，的矩形卡片，边长为的正方形卡片．用这卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为__________．A．3a+2bB．2a+3bC．3a+bD．三、解答题8．分解因式（1）2m(a-b)-3n(b-a)（2）x39x.(3)（a+b）2－6（a+b）+9（4）.a2+a+(5)3（x－y）3－6（y－x）2（6）（8）x4–2x2+1（8）（9）（10）已知1＋x+x2＋x3＋x4=0，求1＋x+x2＋x3＋…x19999．已知是△ABC的三边的长，且满足，试判断此三角形的形状。1、下列从左到右的变形,属于分解因式的是()A.(x+3)(x－2)=x2+x－6B.ax－ay+1=a(x－y)+1C.x2－=(x+)(x－)D.3x2+3x=3x(x+1)2、若多项式x2+ax+b可分解为(x+1)(x－2),试求a、b的值。3．把多项式2(x－2)2－(2－x)3分解因式的结果是（）A.(x－2)2(4－x)B.x(x－2)2C.－x(x－2)2D.(x－2)2(2－x)分解下列因式1.2.4.第8讲平行线的性质和判定平行线的性质和判定1．两直线平行，同位角相等2．两直线平行，错角相等3．两直线平行，同旁角互补4．垂直于两平行线之一的直线，必垂直于另一直线两直线平行的判定方法1．平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行2．平行线的判定定理1：错角相等、两直线平行3．平行线的判定定理2：同旁角互补、两直线平行4．平行公理的推论：平行于同一直线的两条直线平行5．垂直于同一直线的两条直线平行例1如图，∥，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分，若，求。1123ABCDEFG1234ACBM1234ACBMNE例3如图所示，∠ABC=∠ADC，BF、DE是∠ABC、∠ADC的角平分线，∠1=∠2，求证：DC∥AB。AABCDEF123例4如图，若∠1=∠4，∠1+∠2=180°，则AB、CD、EF的位置关系如何？例5已知：如图∥，求证：CCDEBA例6如图，已知，∠B=140°，∠D=150°，∠E=70°，求证：AB∥CD。AABCDEF1．已知，如图1，∠1=∠ABC=∠ADC，∠3=∠5，∠2=∠4，∠ABC+∠BCD=180°。(1)∵∠1=∠ABC(已知)∴AD∥()(2)∵∠3=∠5(已知)∴AB∥()(3)∵∠2=∠4(已知)∴∥()(4)∵∠1=∠ADC(已知)∴∥()图2ABCD1243图2ABCD12432．如图2所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4，由∠1=∠2，可判定_______∥_______；由∠3=∠4，可判定_____∥_____.ABABCDEF1234567图3①∵∠1=∠2，（已知）∴_____∥_____．（）②∵∠2=∠3，（已知）∴_____∥_____．（）③∵∠4=∠7，（已知）∴_______∥________．（）④由②③可得_______∥________∥________．（）4．如图，已知AC∥DE，∠1=∠2。求证：AB∥CD。AABCDE12ABCDE125．已知，如图，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠ABCDE1221ABEFCD621ABEFCDABCDEFGE121．如图所示，若∥，∥，ABCDEFGE122．如图所示，已知AB∥EF，求证：∠BCF=∠B+∠F。AABCDEF123．给下列证明过程填写理由．ABE13CDF24已知：如图4所示，AB⊥ABE13CDF24证明：∵AB⊥BC于B，CD⊥BC于C,（）∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°（）∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余．（）又∵∠1=∠2，（）图3∴_______=_______．（）图3∴BE∥CF．（）第9讲垂线和两条平行线间的距离1.垂直当两条直线相交所成的角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直.如图，AB与CD相交于O，当交角90°时，称AB与CD垂直，记作AB⊥CD与O.其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.2.垂直的性质：经过一点（已知直线上或直线外），有且只有一条直线与已知直线垂直.PAPA4A3A2A1ol4.垂线段的性质：直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短。如图：点到直线距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离。例1.如图，CD⊥AB，CD=DB，DB=3㎝，求①C到AB的距离；②∠ADC=﹖，∠BDC=﹖例2如图，直线AB与CD不平行，点M在AB上，MN⊥CD于N．则下列4个判断中，正确的判断有_______.(1)线段NM的长度是直线AB，CD之间的距离；(2)线段NM的长度是点M到直线CD的距离；(3)线段MN的长度是点N到直线AB的距离；(4)线段MN是点M与点N之间的距离．例3如图，在面积为12cm2的长方形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，则AD与BC之间的距离为()A．3cmB．4cmC．6cmD．不能确定例4如图，AD∥BC，AD=BC，E是AD上任意一点，已知S△EBC=5．求：四边形ABCD的面积．例5如图，已知直线l1∥l2，点A，B在直线l1上，点C，D在直线l2上，则△ACD与△BCD的面积相等吗?请说明理由．一、选择题1．过线段MN的中点，画直线l⊥MN，若MN=5cm，则点M到直线l的距离为()A．5cmB．2．5cmC．10cmD．不能确定2．在同一平面，与已知直线的距离等于4cm的直线有()A．1条B．两条C．无数条D．不能确定3．将一条线段沿某一方向平移，记平移的距离为m，线段和它的像的距离为n，则()A．m=nB．m>nC．m＜nD．m≥n4．如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，下列说法中不正确的是()A．∠ABD=∠CDEB．CE=FGC．A，B两点间的距离就是线段AB的长度D．l1与l2之间的距离就是线段CD的长度二、填空题5．已知l1∥l2∥l3，l1与l2之间的距离为3cm，l2与l3之间的距离为4cm，则l1与l3之间的距离为_____cm．6．已知△ABC的面积为l5cm2，AC=5cm，直线DE经过点B且平行于AC，则DE与AC之间的距离为______．7．两条平行的铁轨间的枕木的长度都相等，依据的数学原理是________________________________.三、解答题8．如图，已知直线a和线段b，求作一条直线l，使l∥a，且与直线a的距离等于b．9．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC=15cm，AD=12cm，BE⊥AC于点E．BE=10cm．求：AD，BC之间的距离．10．如图，已知平行四边形ABCD的周长为25cm，对边的距离分别为DE=2cm，DF=3cm．求：这个平行四边形的面积．1．把直线l沿某一方向平移3cm，得平移后的像为b，则直线a与b之间的距离为()A．等于3cmB．小于3cmC．大于3cmD．等于或小于3cm2．如图，线段AB=2cm，把线段AB向右平移3cm，得到线段DC，连结B，C和A，D．则四边形ABCD的面积为（）A．4cm2B．9cm2C．6cm2D．无法确定3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．FG∥AB与CD相交于E，下列叙述不正确的是()A．点C到AB的距离是线段CD的长B．线段BC的长是点8到AC的距离C．线段BG的长是FG与AB之间的距离D．线段DE的长是AB与EF之间的距离4．如图，长方形ABCD的长AD为6cm，宽AB为3cm，现有动点E从A点出发沿AD运动到D，速度为2cm/s，动点F从C点出发，沿CB运动到B，速度为lcm/s．已知，两动点均在t0时刻分别从A点，c点开始运动，则当两动点距离最短时，时间已经经过了()A．2sB．3sC．1．5sD．2．5s第10讲分式的认识和它的基本性质1．分式的概念：有关分式的概念的理解：（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线起除号和括号的作用，例如表示；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母；2．分式有意义：3．分式的值：4．分式的基本性质（初步约分）：例1下列各式中，分式的个数有（）x+y,,,—4xy,,A、1个B、2个C、3个D、4个例2（1）当时，分式无意义；（2）若分式；（3）为何值时，下列分式有意义．①②③（4）为何值时，分式没有意义？例3（1）为何值时，下列分式的值为零．①②③（2）求满足条件的的值．①分式1；②分式的值为负数；③分式的值为正数．（3）若的值为整数，求x的整数值。例4（1）填空：；（2）当、满足关系式时，分式的值等于；（3）若、同时扩大2倍，则下列分式的值的变化情况为：①：；②：；③：．例5（1）a为何值时，下列等式成立：①； ②．（2）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中的各项系数化为整数．①； ②；例6（1）化简下列分式：①； ②；例7已知的值；一、填空题1.当a=_______时,分式的值为零.2.当分式=-1时,则x__________.3.若分式的值为零，则x的值为4.当x________时,有意义.5.不改变分式的值,把分式中分子、分母各项系数化成整数为________.6.小明参加打靶比赛,有a次打了m环,b次打了n环,则此次打靶的平均成绩是______环.7．当ｘ=＿＿＿时，分式的值为0．8．当x______时,分式有意义.9．已知：，，，……，若（a、b都是正整数），则a+b的最小值是__。10．①②。11．约分：①__________，②__________。12．计算：__________。1．使分式有意义的的取值围是（）A.B.C.D.2．已知两个分式：，，其中，则A与B的关系是（）A、相等B、互为倒数C、互为相反数D、A大于B3．当x__________时分式有意义；当时，的值为负数；当、满足时，的值为；4．如果把分式中的、都扩大3倍，那么分式的值；第11讲分式的乘、除法与乘方1．约分技巧2．幂的计算：同底数幂相乘除，指数相加减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的幂等于幂的积．3．乘除法：先把各分子分母因式分解，再约分．例1计算：； ②；③； ④；⑤； ⑥．例2计算：①； ②；③； ④；⑤； ⑥．例3计算：①； ②；③； ④；例4；1．下列各式中，计算正确的是（）A．B．C．D．2．化简，结果是（）A．B．C．D．3．下列计算中，错误的是（）A．B．C．D．4．计算得（）A．B．x5yC．y5D．xy55．计算的结果是（）A．B．C．D．6．计算的值等于（）A．B．C．D．7．=．=___________．8．计算：（1）；（2）.（3）·÷．（4）．（5）．（6）．9．阅读理解：计算时，小虎给出了他的解答过程如下：解：试说明小虎的求解过程是否正确？如果不正确，请你指出错误之处，并写出你认为正确的解答过程．10．课堂上，吴老师给大家出了这样一道题：求当x等于:（1）7－2；（2）9+2时，请分别计算代数式÷的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程．一、选择题1．下列等式正确的是()A.(－1)0=－1B.(－1)－1=1C.2x－2=D.x－2y2=2．使分式的值等于5的a的值是()A.5B.－5C.D.－二、填空题1．计算：=________.2．若代数式有意义，则x的取值围是________.3．若=5，则=________.三、计算：(1) (2)第12讲整数的指数幂1．同底数幂的运算性质2.同底数幂的运算性质推广：3．4．多重乘方：=5.积的乘方:1．计算：（P为正整数）（n为正整数）2．计算：①②③④3．计算：①②③④⑤⑥⑦4．计算：①②5、①②③已知，，求m，n的值。7、已知m、n均为正整数，且3m+n是10的倍数，求证：3m+4+n也是10的倍数。一、填空：1．________2._______3.若__________4._________5．_________6．__________7．=____________8．若__________9．________________________________________二、选择题：1．可写成（）A．B.C.D.2．81×27可记为（）A．B.C.D.3．若，则下列各式不成立的是（）A．B.C．D.4．下列各式中，正确的是（）A．B.C．D.5．在中，括号应填写的代数式是（）A．B.C.D.6．a、b互为相反数，且都不为0，n为正整数，则下列两数互为相反数的是（）A．B.C.D.7．计算等于（）A．B.C.D.8．若m、n、p为正整数，则等于（）A．B.C.D.9．若n为正整数，当a=-1时，等于（）A．1B.-1C.0D.1或-110．计算.等于（）A．0B.1C.-5D.三、计算：1、 2、、四、解答题.1．若2.计算：3.已知n是正整数,且一、填空题1．2．3．4．5．6．若，，则.7．8．计算：=9.=5.计算:①②6.已知第13讲分式的加、减法1．分式的运算法则同分母分式加减法：异分母分式加减法：2．分式的乘除法3．分式的乘方：4．常用的公式变形：注：分式的计算中，分数线具有括号的作用！例1计算：（1）； （2）例2计算：（1） （2）（3） （4）.例3化简：（1） （2）（3） （4）（-）·（5） （6）．（7） （8）例4已知：，求分式的值：例5已知：，求的值；例6计算1．若，则的值等于（）A．B．C．D．或2．化简的结果是()(A)(B)(C)(D)3．计算的结果是（）A． B． C． D．4.计算的结果为（）A． B． C． D．5.在下列三个不为零的式子中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是，把这个分式化简所得的结果是.6.若一个分式含有字母，且当时，它的值为12，则这个分式可以是．（写出一个即可）7.已知，则代数式的值为.8.若+=（a≠b≠0），用含a、b的代数式表示m，则m＝________9.化简：=10.观察下列各式：，；；；…想一想，什么样的两数之积等于这两数之和？设n表示正整数，用关于n的等式表示这个规律为＿＿＿.一、填空题：1.计算的结果是_______.2.若,则M=___________.3.化简：＝＿＿＿.4.各分式的最简公分母是＿＿＿.5.若x≠0，则＝＿＿＿.6.请在下面“、”中分别填入适当的代数式，使等式成立：+=7.公路全长为skm，骑自行车t小时可到达，为了提前半小时到达，骑自行车每小时应多走________二、选择题1.计算：，正确的结果是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2.与相等的式子是（）A.B.C.D.第14讲分式方程[知识要点]1．分式方程的概念：字母里面有未知数的方程．2．分式方程的解法：（1）去分母：将分式方程两边都乘以最简公分母，化分式方程为整式方程；（2）解整式方程；（3）验根3．增根：使分式方程中分母为0的根，叫做方程的增根，应舍去．例1下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是______________。（只填序号）=1\*GB3①QUOTE；=2\*GB3②QUOTE；=3\*GB3③QUOTE；=4\*GB3④QUOTE；=5\*GB3⑤QUOTE；=6\*GB3⑥QUOTE；=7\*GB3⑦QUOTE；=8\*GB3⑧QUOTE；=9\*GB3⑨QUOTE例2解方程：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）．例3（1）解方程：（2）解方程：例4（1）解方程：（2）解方程：例5（1）解关于的方程：（2）解关于的方程：（3）解关于的方程：例6若分式方程：有增根，求的值．例7已知一次函数的图象经过（1，3）和（-2，0）两点，则关于x的方程的根是多少？1．分式方程的解是（）A． B． C． D．2．分式方程的解是()A．x=1B．x=－1C．x=2D．x=－23．方程的解是．4．方程的解是.5．方程的解是x=．6．当时，关于的分式方程无解.7．解方程：（1）（2）（3） （4）（5）（6）（7） （8）1．下列式子，是分式方程的是（）A． B．C． D．2．如果关于x的分式方程有增根，则m的值为（）A． B． C． D．3．关于x的方程的根为，则a等于（）A． B．3 C． D．4．方程的根是（）A． B． C． D．5．一件工作，甲单独做a天完成，乙单独做b天完成，两人合作，共需（）A． B．C． D．6．如果与互为相反数，则x的值等于___________7．某车间原计划在x天生产120个零件，由于采用了新技术，每天多生产零件3个，因此提前2天完成任务，则列方程为______________8．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为_____________9．方程的解是_____________第15讲分式方程的应用1：知识：（1）会列分式方程解决比较简单的实际问题并能检验根的合理性。（2）以以工程问题为例，能将此类问题中的相等关系用分式方程表示，提高运用方程思想解决问题的能力。2、思想：（1）“实际问题分式方程模型求解检验根的合理性”（2）分式方程是有效描述现实世界的模型，提升分析问题、解决问题的能力，培养应用意识。（3）分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，把未知问题转化为已知问题，是数学的转化思想。3、方法：列方程(组)解应用题的一般步骤是：①审清题意；②设未知数，③找等量关系列方程；④解方程；⑤检验；⑥写出答案．列分式方程解应用题的方法、步骤与上述一样，关键是最后必须验根4、行程问题等量关系，工程问题等量关系。5、一件工作，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，则甲的工效为，乙的工效为。则甲、乙合作小时完成。例1.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。求乙队单独完成需要的时间。例2、甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？归纳：解工程问题的基本思路是（1）。（2）。（3）。练一练：1.甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的，求甲、乙两队单独完成各需多少天？3.一个工厂接了一个订单，加工生产720t产品，预计每天生产48t，就能按期交货，后来，由于市场行情变化，订货方要求提前5天完成，问：工厂应每天生产多少吨？例3.如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上。小明家到王老师家的