文科生高考复习资料向量与三角函数20138

PAGEPAGE18讲义——文科生高考复习资料2013.8一．平面向量我们知道力是有大小和方向的，把既有大小又有方向的矢量叫做向量，用或来表示。所以两个向量相等它们的大小相等，方向相同。一．基本概念与运算1.在图中，各点坐标分别是O,A,BC,D,E.向量=,=,==,=,=.=.=.从而得出：（1）向量的关系是，（2）向量的关系是，（3）向量的关系是。【小结】当且仅当向量的始点是原点时，终点的坐标就是该向量的坐标。2.在图1中，（1）向量与向量是，（2）向量与向量（2,4）是，（3）向量与向量（-2,-4）是。3.设=，=，若//（或/与是共线向量），则。4.若，，则m=。5．已知向量，．若向量与共线，则实数______．6.向量的模：在第1题中，向量的模是，向量的模是，（1）向量的模是=，（2）若，则向量叫做向量，7.下面关于单位向量的描述，①向量是平行于x轴的单位向量，②向量是平行于y轴的单位向量，③向量是单位向量,④向量是单位向量,正确的命题的代号是。8.向量的运算（1）已知，则－=，+=，2－=。（2）.若，，则2+=。二．向量的线性表示与分解——理论根据：平行四边形法则或三角形法则9.设是平面的不共线的非零向量，是任意一个向量，根据平行四边形法则，作出如图的线性表示用来表示。10.已知，，求实数，使得。11．（2006年广东卷）如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量（）A.B.C.D.12.A.B.C. D.13.设是平行四边形的对角线的交点，为任意一点，则（A）（B）（C）（D）14．（2013年广东文科10）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：（）①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数和，使；③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A．1 B．2 C．3 三．向量的数量积引入：15.（1）图1，一个作用在物体上的力的大小是10牛顿，它与物体位移的方向成600的角，这个物体在力的作用下前进了20米，求这个力所做的功W。（2）图2，一个作用在物体上的力的大小是10牛顿，它与物体位移的方向成1200的角，这个物体在力的作用下前进了20米，求这个力所做的功W。【知识点】已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos。·叫做数量积。而︱︱cos叫做向量在向量上的射影。特别得·==。16.边长为2的正三角形ABC中，向量的夹角是，=。=。17.若向量，满足，，1，则，的夹角为18.求证：.四．数量积的坐标运算（数量积的另一种计算方法）19.已知=,=，则·=(数量积的坐标公式)。20．已知，且，那么在方向上射影等于（）．A．B．C．D．21.在第一题中，在上的射影是。22.在第一题的图中，求的夹角的余弦值。23.矩形ABCD中，AB=4，BC=1，E是CD的中点，则。24．过点作圆的两条切线，，为切点，则（）（A）（B）（C）（D）25（1）．已知|a|=1，|b|=1，a与b的夹角为，那么|a-b|=__________．（2）．已知向量，都是单位向量，且，则的值为.（3）已知|a|=1，|b|=1，|a-b|=，则a与b的夹角为。五．向量的共线与垂直我们知道向量=在直线上，向量=在直线上，所以=与=共线，即。所以=与=垂直它们成900的角·=。26.（1）.向量,若,则实数的值为（）A.B.C.D.（2）．已知向量，．若向量与共线，则实数______．27.已知向量,,其中,则下列结论中正确的是A.B.C.D.28.如图，用向量证明余弦定理。ooxy29.如图，用向量证明两角差的余弦公式。二．三角函数直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.锐角三角函数的概念1.如图，在△ABC中，∠C=90°①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即2.特殊角的三角函数值：（1）.在图1中，取AB=2，则BC=,AC=,则sin300=,cos300=,tan300=.sin600=,cos600=,tan600=.（2）在图2中，取AC==1，则BC=,AB=,则sin450=,cos450=,tan450=.3.已知sinA=，A是锐角，则cosA=,tanA=.4.已知tanA=，A是锐角，则cosA=,sinA=.5.已知cosA=，A是锐角，则sinA=,tanA=.6．（2012•广州7）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A．B．C．D．7.（2013年10）如图5，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是的平分线，且则=（）ABCD角的概念的推广与任意角的三角函数规定：按逆时针方向旋转形成的角叫正角，按顺时针方向旋转形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转，这样的角叫零度角（即零角）。为了研究的方便，常常在直角坐标系内讨论角，让角的顶点和原点重合，角的始边和x轴的非负半轴重合，那么角的终边（除原点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角。规定：在单位圆中长为1个单位的弧所对的圆心角称为1弧度的角，记为1.1.弧度与角度互化：因为弧度=1800，所以1=且=，=，=，=，=，1200=，1350=，1500=，2700=，3600=，=，=，=，=，=，=，=，=，=。并在直角坐标系中表示上述的角的终边。如图终边落在OB上的角的集合是。终边落在y轴上的角的集合是。（一）任意角的三角函数的定义yP(x,y))xr2.已知yP(x,y))xr（x≠0）,其中.3、三角函数值在各个象限的符号（二）特殊角的三角函数值4.计算：sin0=,cos0=,tan0=.(见图1)sin900=,cos900=,tan900=.(见图1)sin=,cos=,tan=.(见图1)sin2700=,cos2700=,tan2700=.(见图1)sin1200=,cos1200=,tan1200=.sin1350=,cos1350=,tan1350=.sin=,cos=,tan=.（三）诱导公式5.诱导公式的推导：“奇变偶不变，符号看象限”。=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=。=,=,=,=,6.求值：sin=,cos=,tan=.sin(-510°)=7.已知（1）化简：（2）求的值。8.已知点A(2，0)，B(4，)，O是原点，若角的终边经过点B，则=，sin∠AOB=。（四）同角间的三角函数关系式9.同角间的三角函数关系式：yP(x,y))xr由三角函数定义：是的终边上除原点外的任一点，则（x≠0）,其中yP(x,y))xr可以得到，。10.已知，是第二象限的角，则。11.已知，是锐角，则，。12.已知，是第二象限的角，则。13．已知则（）ABCD14.已知，则。15．在△中，，则（）ABCD16.（满分14分）已知.（1）若，求的值；（2）若与共线，求的值。三角函数的图像与性质1.正弦函数y=sinx的图像和性质列表x0y定义域是，值域是，最小正周期是，是（奇偶）函数，增区间是，减区间是。当x取时，函数有最大值，当x取时，函数有最小值。中心对称点是，对称轴方程是。2.余弦函数y=cosx的图像和性质列表x0y定义域是，值域是，最小正周期是，是（奇偶）函数，增区间是，减区间是。当x取时，函数有最大值，当x取时，函数有最小值。中心对称点是，对称轴方程是。3.正切函数y=tanx的图像和性质列表x0y定义域是，值域是，最小正周期是，是（奇偶）函数，增区间是。4.分别作出下列函数的图象，并且说明它们与函数f(x)=sinx的图象的关系。（1）y=sin（2）y=sinx+2（3）y=sin（4）y=sin（5）y=2sinx（6）y=sinx5.把函数y=sin的图象向平移个单位得到函数y=sin的图象。6.把函数y=sin的图象向平移个单位得到函数y=sin的图象。7.把函数y=sin的图象向平移个单位得到函数y=cos的图象。8.把函数y=sin的图象经过怎样的变换得到函数y=sin的图象。9.作出函数在一个周期内的图像。（1）当x取何值时，函数有最小值，最小值是什么？（2）求函数的对称轴和对称中心。（3）求函数的增区间。x第一点第二点第三点第四点第五点02sin（1）当x=时，函数有最小值，最小值是（2）函数的对称轴是和对称中心是。（3）函数的增区间是。10.已知函数（其中，，）的最大值为3，最小正周期为.（1）求函数的解析式；（2）求函数的增区间；（3）求函数的最小值，以及取到最小值时x的集合。11.已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A>0，ω>0，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，图（1）求函数f（x）的解析式；图（2）函数f（x）的图像是由函数y=sinx的图像经过怎样的平移伸缩变换得到。12.求函数的值域和单调区间。13.求函数的值域和单调区间。14.已知函数是最小正周期是．（1）求函数的解析式；（2）求f（x）的增区间；（3）求f（x）的最大值，以及取到最大值时x的集合。四．两角和与差的三角函数（一）三角函数化一变换用公式来推导在公式中，把换成即得1.把下列函数化成化下列为y=或y=的形式。(1).y==。(2).y==。(3).y==。(4).y==。(5).y==。(6)2.已知函数，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度3（本题满分14分）已知（1）求的最大、小值；（2）求的单调减区间。OAPBEOAPBECDQ图2圆心角为的扇形，的平分线交弧于点，扇形的内接矩形关于对称；设，矩形的面积为.（1）求与的函数关系;（2）求的最大值.（二）三角函数求值题1.求值（1）；（2）。2．若，则的值为．3．已知，则___.4．已知都是锐角，，则_____________5.已知求的值。6.（2013年广东文科16）．(本题满分12分)已知函数，.（1）求的值；（2）若，求的值。7.已知函数（其中，，）的最大值为2，最小正周期为.（1）求函数的解析式；（2）若函数图象上的两点的横坐标依次为，为坐标原点，求的值.8.已知函数(R).求的最小正周期和最大值；若为锐角，且，求的值.9.已知向量,,且，其中．（1）求和的值