2018-2019数学新学案同步必修四人教A版全国通用版讲义：第二章 平行向量滚动训练二

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精滚动训练二(§2。1～§2。5)一、选择题1．若非零向量a，b满足｜a｜＝3|b|＝｜a＋2b｜，则a与b的夹角的余弦值是（)A．－eq\f(1，3)B.eq\f（1,3)C.eq\f（2，3）D．－eq\f（2,3）考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的夹角答案A解析由｜a｜＝｜a＋2b|得a2＝a2＋4b2＋4a·b,即a·b＝－b2,所以cosθ＝eq\f(a·b,｜a｜｜b｜）＝eq\f（－b2,3|b｜·|b｜）＝－eq\f(1，3).2．已知向量a＝(eq\r(3），1），b是不平行于x轴的单位向量,且a·b＝eq\r(3），则b等于(）A。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（\r（3),2），\f(1,2))） B。eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2)，\f（\r（3)，2）））C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,4)，\f（3\r（3),4））） D．（1，0）考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点已知数量积求向量的坐标答案B解析设b＝(x，y），其中y≠0，则a·b＝eq\r(3）x＋y＝eq\r(3）.由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＋y2＝1，，\r(3）x＋y＝\r（3),，y≠0，))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\f(1,2），，y＝\f（\r（3），2)，）)即b＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)，\f(\r（3），2)))。故选B.3．(2017·辽宁葫芦岛高一期末）已知向量a＝(k,3)，b＝(1，4）,c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为（）A．－eq\f（9,2)B．0C．3D.eq\f(15,2）考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点已知坐标形式下的向量夹角求参数答案C解析∵2a－3b＝（2k－3，－6）．又（2a－3b)⊥c，∴(2a－3b）·c＝0，即(2k－3)×2＋(－6)×1＝0，解得k＝3。4．如图，O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角,M是边BC的中点,则eq\o（AM，\s\up6（→））·eq\o（AO,\s\up6（→）)等于（)A．4 B．5C．6 D．7考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义答案B解析取AB,AC的中点D，E，连接OD，OE,可知OD⊥AB，OE⊥AC。∵M是边BC的中点,∴eq\o（AM,\s\up6(→）)＝eq\f(1，2）(eq\o(AB，\s\up6(→））＋eq\o（AC,\s\up6(→))),∴eq\o（AM，\s\up6（→)）·eq\o(AO，\s\up6（→））＝eq\f(1,2)（eq\o(AB，\s\up6（→）)＋eq\o（AC,\s\up6(→)）)·eq\o(AO,\s\up6（→）)＝eq\f(1，2）eq\o（AB，\s\up6(→)）·eq\o(AO，\s\up6（→)）＋eq\f(1,2)eq\o（AC,\s\up6(→))·eq\o(AO，\s\up6（→))＝eq\o(AD，\s\up6（→)）·eq\o(AO，\s\up6(→））＋eq\o(AE,\s\up6（→)）·eq\o（AO,\s\up6（→))。由数量积的定义可得eq\o(AD,\s\up6(→）)·eq\o（AO，\s\up6（→））＝｜eq\o（AD，\s\up6（→））|｜eq\o(AO,\s\up6（→）)｜cos<eq\o（AD，\s\up6（→)），eq\o（AO,\s\up6（→）)>，而|eq\o(AO,\s\up6（→))｜·cos〈eq\o(AD，\s\up6(→）），eq\o（AO,\s\up6（→）)>＝|eq\o（AD,\s\up6(→))|，故eq\o（AD,\s\up6（→)）·eq\o(AO，\s\up6(→))＝|eq\o（AD，\s\up6(→））|2＝4,同理可得eq\o（AE，\s\up6(→）)·eq\o(AO，\s\up6(→))＝｜eq\o(AE，\s\up6（→))｜2＝1，故eq\o(AD,\s\up6(→）)·eq\o（AO，\s\up6(→））＋eq\o（AE，\s\up6（→)）·eq\o(AO,\s\up6(→)）＝5，故选B。5．已知向量a＝(1，－2)，b＝（m，4)，且a∥b，那么2a－b等于（)A．（4，0） B．(0,4）C．（4，－8） D．（－4,8)考点向量共线的坐标表示的应用题点已知向量共线求向量的坐标答案C解析由a∥b知4＋2m＝0，所以m＝－2，2a－b＝（2，－4）－(m，4）＝（2－m，－8）＝（4，－8)．6．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且｜eq\o(OA，\s\up6（→)）|＝｜eq\o（OB,\s\up6（→）)｜＝｜eq\o（OC,\s\up6（→)）｜，eq\o(NA,\s\up6（→）)＋eq\o（NB，\s\up6(→))＋eq\o（NC,\s\up6(→）)＝0,eq\o(PA，\s\up6（→))·eq\o（PB，\s\up6（→））＝eq\o（PB，\s\up6(→））·eq\o(PC，\s\up6(→))＝eq\o（PC,\s\up6(→））·eq\o(PA,\s\up6（→)），则点O，N，P依次是△ABC的(）A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心考点平面向量数量积的应用题点数量积在三角形中的应用答案C解析如图，D为BC的中点，因为eq\o(NA,\s\up6（→））＋eq\o（NB,\s\up6(→）)＋eq\o(NC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o（NB,\s\up6（→）)＋eq\o(NC,\s\up6(→）)＝－eq\o(NA，\s\up6(→))，依向量加法的平行四边形法则，知|eq\o(NA,\s\up6（→))｜＝2|eq\o（ND,\s\up6（→））|，故点N为△ABC的重心，因为eq\o(PA,\s\up6（→)）·eq\o(PB,\s\up6（→))＝eq\o（PB,\s\up6（→）)·eq\o(PC，\s\up6（→）)，所以（eq\o(PA,\s\up6（→）)－eq\o(PC,\s\up6(→）)）·eq\o（PB,\s\up6(→)）＝eq\o（CA，\s\up6（→)）·eq\o（PB，\s\up6(→)）＝0,同理eq\o(AB,\s\up6（→))·eq\o(PC，\s\up6(→）)＝0，eq\o(BC，\s\up6（→）)·eq\o(PA，\s\up6(→）)＝0，所以点P为△ABC的垂心．由|eq\o（OA，\s\up6（→)）|＝|eq\o(OB，\s\up6（→))｜＝｜eq\o（OC，\s\up6(→）)｜,知点O为△ABC的外心．7．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(x，y)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v｜个单位）．设开始时点P的坐标为（12,12)，6秒后点P的坐标为（0，18），则(x＋y）2017等于()A．－1B．1C．0D．2012考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案A解析由题意，（12，12)＋6（x，y）＝（0,18）,即(12＋6x，12＋6y)＝(0,18）,解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－2,,y＝1，)）故（x＋y）2017＝(－2＋1）2017＝－1。二、填空题8．已知｜eq\o(OA,\s\up6（→）)｜＝|eq\o（OB，\s\up6(→)）|＝1,｜eq\o(AB，\s\up6(→）)｜＝eq\r(3）,则eq\o（OA,\s\up6（→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝________，｜eq\o（OA,\s\up6(→)）＋eq\o(OB,\s\up6(→)）|＝________.考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模答案－eq\f(1，2)1解析由|eq\o(OA,\s\up6（→))｜＝｜eq\o（OB,\s\up6（→))|＝1，｜eq\o（AB，\s\up6(→)）｜＝eq\r(3），可知以向量eq\o（OA,\s\up6(→）），eq\o（OB,\s\up6(→))为邻边的平行四边形是菱形，eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB，\s\up6（→）)的夹角为eq\f（2π,3），∴eq\o(OA，\s\up6（→））·eq\o（OB，\s\up6(→）)＝coseq\f（2π,3)＝－eq\f（1,2）,｜eq\o(OA,\s\up6（→））＋eq\o(OB,\s\up6(→））｜＝eq\r（1＋1－1）＝1.9．(2017·山东）已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若eq\r(3）e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．考点平面向量数量积的应用题点已知向量夹角求参数答案eq\f(\r(3），3）解析由题意知｜e1|＝|e2｜＝1，e1·e2＝0,｜eq\r（3)e1－e2｜＝eq\r(\r（3）e1－e22）＝eq\r（3e\o\al(2，1)－2\r（3）e1·e2＋e\o\al(2，2）)＝eq\r(3－0＋1）＝2。同理|e1＋λe2｜＝eq\r（1＋λ2)。所以cos60°＝eq\f(\r（3）e1－e2·e1＋λe2,｜\r(3)e1－e2|｜e1＋λe2｜)＝eq\f(\r(3）e\o\al（2，1）＋\r（3）λ－1e1·e2－λe\o\al(2,2),2\r(1＋λ2)）＝eq\f(\r（3）－λ，2\r（1＋λ2））＝eq\f（1，2），解得λ＝eq\f(\r(3）,3).10．已知点A（1，－2)，若向量eq\o（AB,\s\up6（→））与a＝(2，3)同向，且｜eq\o(AB，\s\up6（→))｜＝2eq\r（13）,则点B的坐标为________．考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点已知数量积求向量的坐标答案(5，4)解析设eq\o(AB,\s\up6（→))＝（2λ，3λ)(λ〉0）,则｜eq\o（AB，\s\up6（→）)｜＝eq\r(4λ2＋9λ2）＝2eq\r(13）,∴13λ2＝13×22，∴λ＝2，∴eq\o（AB，\s\up6(→)）＝（4,6），∴eq\o(OB,\s\up6(→）)＝eq\o（OA，\s\up6(→)）＋eq\o(AB,\s\up6（→）)＝（1，－2）＋(4,6）＝(5，4）．∴点B的坐标为（5,4)．11．关于平面向量有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c;②已知a＝(k，3)，b＝（－2，6),若a∥b，则k＝－1；③eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a,|a|）＋\f(b,｜b｜)））·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,｜a|)－\f（b,｜b｜）)）＝0。其中正确的命题为________．(写出所有正确命题的序号)考点平面向量数量积的运算性质与法则题点向量的运算性质与法则答案②③解析①中，由a·b＝a·c,得a·(b－c）＝0，当a＝0，b≠c时也成立，故①错；②中，若a∥b，则有6×k＝－2×3，得k＝－1,故②正确；③中，eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（a，｜a|)＋\f（b，|b｜）））·eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(a，｜a|）－\f(b，|b|)))＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(a，｜a|)))2－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(b，|b｜）））2＝eq\f(a2，｜a｜2)－eq\f（b2，｜b｜2）＝0，故③正确．12．设x，y∈R，向量a＝（x,2），b＝（4,y），c＝（1，－2）,且a⊥c，b∥c.则|a＋b|＝________.考点向量平行与垂直的坐标表示的应用题点向量平行与垂直的坐标表示的综合应用答案10解析由a⊥c及b∥c，得x－4＝0且x×（－2)－y＝0,即x＝4，y＝－8.∵a＝（4，2），b＝(4，－8），∴a＋b＝(4，2)＋(4,－8)＝（8，－6)．∴｜a＋b|＝eq\r（82＋－62）＝10.三、解答题13．（2017·福州高一检测)已知非零向量a，b满足｜a|＝1，且(a－b)·（a＋b)＝eq\f(3,4).(1）求|b｜；(2)当a·b＝－eq\f(1，4)时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．考点平面向量数量积的应用题点向量模与夹角的综合应用解(1）因为（a－b）·(a＋b)＝eq\f（3,4)，即a2－b2＝eq\f（3,4),即|a|2－|b|2＝eq\f（3，4)，所以|b|2＝|a|2－eq\f(3，4)＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1，4），故|b|＝eq\f(1，2）。（2）因为｜a＋2b｜2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b｜＝1。又因为a·(a＋2b）＝｜a|2＋2a·b＝1－eq\f(1,2)＝eq\f（1,2),所以cosθ＝eq\f(a·a＋2b,｜a｜·|a＋2b|)＝eq\f（1，2),又θ∈[0，π],故θ＝eq\f(π，3).四、探究与拓展14．(2017·长春高一检测）已知向量a＝（1，eq\r(3))，b＝（0,t2＋1）,则当t∈[－eq\r(3），2]时，eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(a－t\f（b，｜b｜)))的取值范围是________．考点平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点平面向量模与夹角的坐标表示的综合应用答案［1，eq\r(13）］解析由题意,eq\f(b，｜b｜)＝(